Theorem laznegcl 49730

Description: The extended integers are closed under negation. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
laznegcl.r	⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
laznegcl	⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 → -𝐴 ∈ 𝑅))

Proof of Theorem laznegcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laznegcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)
2	1	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))
3		ellazim 49721	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
4		negeq 11586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → -𝐴 = -(𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
5		zcn 12736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
8		zcn 12736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
10		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → 𝑆 ∈ ℂ)
11		mulcl 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑆) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑆) ∈ ℂ)
13	7, 12	negdid 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -(𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = ( -𝑎 + -(𝑏 · 𝑆)))
14	9	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
15	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulneg1d 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ( -𝑏 · 𝑆) = -(𝑏 · 𝑆))
17	16	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -(𝑏 · 𝑆) = ( -𝑏 · 𝑆))
18	17	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ( -𝑎 + -(𝑏 · 𝑆)) = ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)))
19	13, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -(𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)))
20	4, 19	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → -𝐴 = ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)))
21		znegcl 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
22		znegcl 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → -𝑏 ∈ ℤ)
23	21, 22	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ( -𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ))
24		lazlinz 49727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (( -𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ) → ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆)))
25	24	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ ( -𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ ℤ)) → ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆))
26	10, 23, 25	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆))
27	26, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)) ∈ 𝑅)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → ( -𝑎 + ( -𝑏 · 𝑆)) ∈ 𝑅)
29	20, 28	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → -𝐴 ∈ 𝑅)
30	29	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → -𝐴 ∈ 𝑅))
31	30	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → -𝐴 ∈ 𝑅))
32	3, 31	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → -𝐴 ∈ 𝑅)
33	32	ex 418	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) → -𝐴 ∈ 𝑅))
34	2, 33	biimtrid 245	1 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 → -𝐴 ∈ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   · cmul 11242   -cneg 11579  ℤcz 12731  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-z 12732  df-laz 49718

This theorem is used by:  lazsubcl  49733  ezsubrg  49753