Theorem lmod0vid 21169

Description: Identity equivalent to the value of the zero vector. Provides a convenient way to compute the value. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Proof of Theorem lmod0vid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 21142	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpid 19186	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  LModclmod 21135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-lmod 21137

This theorem is used by:  lmod0vs  21170  dva0g  42127  dvh0g  42211