Theorem dvh0g 42261

Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvh0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dvh0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dvh0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dvh0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 41300	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dvh0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 41940	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9		dvh0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 4, 6, 9, 10, 11, 12	dvhopvadd 42243	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
14	1, 5, 8, 5, 8, 13	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15		f1oi 6863	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
16		f1of 6824	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
17		fcoi2 6757	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
21	3, 4, 6, 9, 10, 20, 12	dvhfplusr 42234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
22	21	oveqd 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
23	2, 3, 4, 6, 7, 20	tendo0pl 41941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
24	8, 23	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
25	22, 24	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
26	19, 25	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
27	14, 26	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
28	3, 9, 1	dvhlmod 42260	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	3, 4, 6, 9, 29	dvhelvbasei 42238	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
31	1, 5, 8, 30	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32		dvh0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
33	29, 11, 32	lmod0vid 21174	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
34	28, 31, 33	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
35	27, 34	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  Scalarcsca 17436  0_gc0g 17615  LModclmod 21140  HLchlt 40500  LHypclh 41134  LTrncltrn 41251  TEndoctendo 41902  DVecHcdvh 42228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lvec 21383  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-dvech 42229

This theorem is used by:  dvheveccl  42262  dib0  42314  dihmeetlem4preN  42456  dihmeetlem13N  42469  dihatlat  42484  dihpN  42486