Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh0g 39970
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dvh0g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)
Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4idltrn 39009 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
6 eqid 2732 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 39649 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
9 dvh0g.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 39952 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1379 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
15 f1oi 6868 . . . . . 6 ( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡
16 f1of 6830 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡)
17 fcoi2 6763 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 39943 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
2221oveqd 7422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 39650 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 685 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4880 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
2714, 26eqtrd 2772 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
283, 9, 1dvhlmod 39969 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
29 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 39947 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
311, 5, 8, 30syl12anc 835 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
3329, 11, 32lmod0vid 20496 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3428, 31, 33syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3527, 34mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381  LModclmod 20463  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  TEndoctendo 39611  DVecHcdvh 39937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dvech 39938
This theorem is referenced by:  dvheveccl  39971  dib0  40023  dihmeetlem4preN  40165  dihmeetlem13N  40178  dihatlat  40193  dihpN  40195
  Copyright terms: Public domain W3C validator