Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh0g 38366
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z 0 = (0g𝑈)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 37405 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6 eqid 2822 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 38045 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9 dvh0g.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2822 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11 eqid 2822 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
12 eqid 2822 . . . . 5 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 38348 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1376 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15 f1oi 6634 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
16 f1of 6597 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
17 fcoi2 6534 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 38339 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
2221oveqd 7157 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 38046 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 686 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2857 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4786 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
2714, 26eqtrd 2857 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
283, 9, 1dvhlmod 38365 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 38343 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
311, 5, 8, 30syl12anc 835 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
3329, 11, 32lmod0vid 19657 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3428, 31, 33syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3527, 34mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cop 4545  cmpt 5122   I cid 5436  cres 5534  ccom 5536  wf 6330  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559  0gc0g 16704  LModclmod 19625  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356  TEndoctendo 38007  DVecHcdvh 38333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36208
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lvec 19866  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754  df-lvols 36755  df-lines 36756  df-psubsp 36758  df-pmap 36759  df-padd 37051  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414  df-tendo 38010  df-edring 38012  df-dvech 38334
This theorem is referenced by:  dvheveccl  38367  dib0  38419  dihmeetlem4preN  38561  dihmeetlem13N  38574  dihatlat  38589  dihpN  38591
  Copyright terms: Public domain W3C validator