Theorem dvh0g 41113

Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvh0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dvh0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dvh0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dvh0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 40152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dvh0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 40792	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9		dvh0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 4, 6, 9, 10, 11, 12	dvhopvadd 41095	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
14	1, 5, 8, 5, 8, 13	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15		f1oi 6886	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
16		f1of 6848	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
17		fcoi2 6783	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
21	3, 4, 6, 9, 10, 20, 12	dvhfplusr 41086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
22	21	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
23	2, 3, 4, 6, 7, 20	tendo0pl 40793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
24	8, 23	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
25	22, 24	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
26	19, 25	opeq12d 4881	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
27	14, 26	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
28	3, 9, 1	dvhlmod 41112	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	3, 4, 6, 9, 29	dvhelvbasei 41090	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
31	1, 5, 8, 30	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32		dvh0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
33	29, 11, 32	lmod0vid 20892	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
34	28, 31, 33	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
35	27, 34	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754  DVecHcdvh 41080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lvec 21102  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dvech 41081

This theorem is referenced by:  dvheveccl  41114  dib0  41166  dihmeetlem4preN  41308  dihmeetlem13N  41321  dihatlat  41336  dihpN  41338