Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh0g 40485
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dvh0g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)
Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4idltrn 39524 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
6 eqid 2724 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 40164 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
9 dvh0g.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2724 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2724 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2724 . . . . 5 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 40467 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1376 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
15 f1oi 6862 . . . . . 6 ( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡
16 f1of 6824 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡)
17 fcoi2 6757 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
20 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 40458 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
2221oveqd 7419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 40165 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 684 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2764 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4874 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
2714, 26eqtrd 2764 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
283, 9, 1dvhlmod 40484 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
29 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 40462 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
311, 5, 8, 30syl12anc 834 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
3329, 11, 32lmod0vid 20736 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3428, 31, 33syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3527, 34mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4627   ↦ cmpt 5222   I cid 5564   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20702  HLchlt 38723  LHypclh 39358  LTrncltrn 39475  TEndoctendo 40126  DVecHcdvh 40452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-dvech 40453
This theorem is referenced by:  dvheveccl  40486  dib0  40538  dihmeetlem4preN  40680  dihmeetlem13N  40693  dihatlat  40708  dihpN  40710
  Copyright terms: Public domain W3C validator