Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh0g 40584
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dvh0g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh0g.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)
Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4idltrn 39623 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
6 eqid 2728 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 40263 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
9 dvh0g.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 40566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1377 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
15 f1oi 6877 . . . . . 6 ( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡
16 f1of 6839 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡)
17 fcoi2 6772 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
20 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 40557 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
2221oveqd 7437 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 40264 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 686 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2768 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4882 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)), (𝑂(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
2714, 26eqtrd 2768 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
283, 9, 1dvhlmod 40583 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
29 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 40561 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
311, 5, 8, 30syl12anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
3329, 11, 32lmod0vid 20776 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3428, 31, 33syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
3527, 34mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6547  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  0gc0g 17420  LModclmod 20742  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  TEndoctendo 40225  DVecHcdvh 40551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lvec 20987  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dvech 40552
This theorem is referenced by:  dvheveccl  40585  dib0  40637  dihmeetlem4preN  40779  dihmeetlem13N  40792  dihatlat  40807  dihpN  40809
  Copyright terms: Public domain W3C validator