Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh0g 37260
Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z 0 = (0g𝑈)
dvh0g.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvh0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dvh0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dvh0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvh0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 36299 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6 eqid 2777 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dvh0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
82, 3, 4, 6, 7tendo0cl 36939 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9 dvh0g.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2777 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11 eqid 2777 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
12 eqid 2777 . . . . 5 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
133, 4, 6, 9, 10, 11, 12dvhopvadd 37242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
141, 5, 8, 5, 8, 13syl122anc 1447 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15 f1oi 6428 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
16 f1of 6391 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
17 fcoi2 6329 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20 eqid 2777 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
213, 4, 6, 9, 10, 20, 12dvhfplusr 37233 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
2221oveqd 6939 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂))
232, 3, 4, 6, 7, 20tendo0pl 36940 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
248, 23mpdan 677 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtrd 2813 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
2619, 25opeq12d 4644 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
2714, 26eqtrd 2813 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
283, 9, 1dvhlmod 37259 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
303, 4, 6, 9, 29dvhelvbasei 37237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
311, 5, 8, 30syl12anc 827 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32 dvh0g.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
3329, 11, 32lmod0vid 19287 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3428, 31, 33syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
3527, 34mpbid 224 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  cop 4403  cmpt 4965   I cid 5260  cres 5357  ccom 5359  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Scalarcsca 16341  0gc0g 16486  LModclmod 19255  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250  TEndoctendo 36901  DVecHcdvh 37227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35102
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lvec 19498  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308  df-tendo 36904  df-edring 36906  df-dvech 37228
This theorem is referenced by:  dvheveccl  37261  dib0  37313  dihmeetlem4preN  37455  dihmeetlem13N  37468  dihatlat  37483  dihpN  37485
  Copyright terms: Public domain W3C validator