Theorem dvh0g 38279

Description: The zero vector of vector space H has the zero translation as its first member and the zero trace-preserving endomorphism as the second. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvh0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvh0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dvh0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dvh0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dvh0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dvh0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 37318	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dvh0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8	2, 3, 4, 6, 7	tendo0cl 37958	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
9		dvh0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
12		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
13	3, 4, 6, 9, 10, 11, 12	dvhopvadd 38261	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
14	1, 5, 8, 5, 8, 13	syl122anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
15		f1oi 6638	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
16		f1of 6601	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
17		fcoi2 6539	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
20		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
21	3, 4, 6, 9, 10, 20, 12	dvhfplusr 38252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
22	21	oveqd 7159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
23	2, 3, 4, 6, 7, 20	tendo0pl 37959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
24	8, 23	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
25	22, 24	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑂)
26	19, 25	opeq12d 4797	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨(( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)), (𝑂(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
27	14, 26	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
28	3, 9, 1	dvhlmod 38278	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
29		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	3, 4, 6, 9, 29	dvhelvbasei 38256	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
31	1, 5, 8, 30	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
32		dvh0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
33	29, 11, 32	lmod0vid 19649	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
34	28, 31, 33	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩(+g‘𝑈)⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
35	27, 34	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4559   ↦ cmpt 5132   I cid 5445   ↾ cres 5543   ∘ ccom 5545  ⟶wf 6337  –1-1-onto→wf1o 6340  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142   ∈ cmpo 7144  Basecbs 16466  +_gcplusg 16548  Scalarcsca 16551  0_gc0g 16696  LModclmod 19617  HLchlt 36518  LHypclh 37152  LTrncltrn 37269  TEndoctendo 37920  DVecHcdvh 38246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-riotaBAD 36121

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7878  df-undef 7925  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-0g 16698  df-proset 17521  df-poset 17539  df-plt 17551  df-lub 17567  df-glb 17568  df-join 17569  df-meet 17570  df-p0 17632  df-p1 17633  df-lat 17639  df-clat 17701  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-oppr 19356  df-dvdsr 19374  df-unit 19375  df-invr 19405  df-dvr 19416  df-drng 19487  df-lmod 19619  df-lvec 19858  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-llines 36666  df-lplanes 36667  df-lvols 36668  df-lines 36669  df-psubsp 36671  df-pmap 36672  df-padd 36964  df-lhyp 37156  df-laut 37157  df-ldil 37272  df-ltrn 37273  df-trl 37327  df-tendo 37923  df-edring 37925  df-dvech 38247

This theorem is referenced by:  dvheveccl  38280  dib0  38332  dihmeetlem4preN  38474  dihmeetlem13N  38487  dihatlat  38502  dihpN  38504