Theorem lmod0vrid 20828

Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 30986 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vrid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem lmod0vrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20802	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grprid 18883	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Grpcgrp 18848  LModclmod 20795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-lmod 20797

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20840  lssvscl  20890  lspfixed  21067  lsmcv  21080  lspsolvlem  21081  lspsolv  21082  lfl0  39184  lflmul  39187  lshpkrlem1  39229  lclkrlem2j  41635  lcfrlem7  41667  mapdh6dN  41858  hdmap1l6d  41932