Theorem lmod0vrid 20983

Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 31265 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vrid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem lmod0vrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20957	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grprid 19025	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 591	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  LModclmod 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-lmod 20952

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20995  lssvscl  21045  lspfixed  21221  lsmcv  21234  lspsolvlem  21235  lspsolv  21236  lfl0  39701  lflmul  39704  lshpkrlem1  39746  lclkrlem2j  42152  lcfrlem7  42184  mapdh6dN  42375  hdmap1l6d  42449