Theorem dva0g 40764

Description: The zero vector of partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dva0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dva0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dva0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem dva0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dva0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dva0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dva0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 39887	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		dva0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 6, 7	dvavadd 40752	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
9	1, 5, 5, 8	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
10		f1oi 6885	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
11		f1of 6847	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
12		fcoi2 6781	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
14	9, 13	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
15	3, 6	dvalvec 40763	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
16		lveclmod 21106	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	3, 4, 6, 18	dvavbase 40750	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
20	5, 19	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈))
21		dva0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	18, 7, 21	lmod0vid 20892	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈)) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
23	17, 20, 22	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
24	14, 23	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   I cid 5583   ↾ cres 5688   ∘ ccom 5690  ⟶wf 6554  –1-1-onto→wf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Basecbs 17234  +_gcplusg 17287  0_gc0g 17475  LModclmod 20858  LVecclvec 21102  HLchlt 39086  LHypclh 39721  LTrncltrn 39838  DVecAcdveca 40739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-riotaBAD 38689

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-tp 4641  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-fz 13549  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-0g 17477  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-cmn 19802  df-abl 19803  df-mgp 20140  df-rng 20158  df-ur 20187  df-ring 20240  df-oppr 20338  df-dvdsr 20361  df-unit 20362  df-invr 20392  df-dvr 20405  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lvec 21103  df-oposet 38912  df-ol 38914  df-oml 38915  df-covers 39002  df-ats 39003  df-atl 39034  df-cvlat 39058  df-hlat 39087  df-llines 39235  df-lplanes 39236  df-lvols 39237  df-lines 39238  df-psubsp 39240  df-pmap 39241  df-padd 39533  df-lhyp 39725  df-laut 39726  df-ldil 39841  df-ltrn 39842  df-trl 39896  df-tgrp 40480  df-tendo 40492  df-edring 40494  df-dveca 40740

This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  40807