Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dva0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dva0g 40984
Description: The zero vector of partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dva0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dva0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.z 0 = (0g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dva0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem dva0g
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dva0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dva0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dva0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 40107 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6 dva0g.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2740 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
83, 4, 6, 7dvavadd 40972 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵)(+g𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
91, 5, 5, 8syl12anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
10 f1oi 6900 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
11 f1of 6862 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
12 fcoi2 6796 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1310, 11, 12mp2b 10 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
149, 13eqtrdi 2796 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
153, 6dvalvec 40983 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
16 lveclmod 21128 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
18 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
193, 4, 6, 18dvavbase 40970 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
205, 19eleqtrrd 2847 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈))
21 dva0g.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
2218, 7, 21lmod0vid 20914 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈)) → ((( I ↾ 𝐵)(+g𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
2317, 20, 22syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝐵)(+g𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
2414, 23mpbid 232 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108   I cid 5592  cres 5702  ccom 5704  wf 6569  1-1-ontowf1o 6572  cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  0gc0g 17499  LModclmod 20880  LVecclvec 21124  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  DVecAcdveca 40959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lvec 21125  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960
This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  41027
  Copyright terms: Public domain W3C validator