Theorem dva0g 41149

Description: The zero vector of partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dva0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dva0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dva0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem dva0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dva0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dva0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dva0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 40272	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		dva0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 6, 7	dvavadd 41137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
9	1, 5, 5, 8	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
10		f1oi 6808	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
11		f1of 6770	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
12		fcoi2 6705	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
14	9, 13	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
15	3, 6	dvalvec 41148	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
16		lveclmod 21044	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
18		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	3, 4, 6, 18	dvavbase 41135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
20	5, 19	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈))
21		dva0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	18, 7, 21	lmod0vid 20831	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈)) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
24	14, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   I cid 5515   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6484  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  0_gc0g 17347  LModclmod 20797  LVecclvec 21040  HLchlt 39472  LHypclh 40106  LTrncltrn 40223  DVecAcdveca 41124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-0g 17349  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lvec 21041  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tgrp 40865  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-dveca 41125

This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  41192