Theorem dva0g 41010

Description: The zero vector of partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dva0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dva0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dva0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem dva0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dva0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dva0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dva0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 40133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		dva0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 6, 7	dvavadd 40998	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
9	1, 5, 5, 8	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
10		f1oi 6887	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
11		f1of 6849	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
12		fcoi2 6784	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
14	9, 13	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
15	3, 6	dvalvec 41009	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
16		lveclmod 21123	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
18		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	3, 4, 6, 18	dvavbase 40996	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
20	5, 19	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈))
21		dva0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	18, 7, 21	lmod0vid 20909	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈)) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
24	14, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   I cid 5582   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  DVecAcdveca 40985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986

This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  41053