Theorem dva0g 40437

Description: The zero vector of partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dva0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dva0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dva0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dva0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dva0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem dva0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dva0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dva0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dva0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	idltrn 39560	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
6		dva0g.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 6, 7	dvavadd 40425	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
9	1, 5, 5, 8	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
10		f1oi 6871	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
11		f1of 6833	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
12		fcoi2 6766	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
14	9, 13	eqtrdi 2783	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
15	3, 6	dvalvec 40436	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
16		lveclmod 20980	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
18		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	3, 4, 6, 18	dvavbase 40423	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
20	5, 19	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈))
21		dva0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	18, 7, 21	lmod0vid 20766	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ (Base‘𝑈)) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
23	17, 20, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝐵)(+g‘𝑈)( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 0 = ( I ↾ 𝐵)))
24	14, 23	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   I cid 5569   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  0_gc0g 17412  LModclmod 20732  LVecclvec 20976  HLchlt 38759  LHypclh 39394  LTrncltrn 39511  DVecAcdveca 40412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lvec 20977  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tgrp 40153  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-dveca 40413

This theorem is referenced by:  dia2dimlem7  40480