Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msrrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msrrcl 34201
Description: If 𝑋 and π‘Œ have the same reduct, then one is a pre-statement iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mpstssv.p 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
msrf.r 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
msrrcl ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))

Proof of Theorem msrrcl
StepHypRef Expression
1 mpstssv.p . . . . 5 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
2 msrf.r . . . . 5 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
31, 2msrf 34200 . . . 4 𝑅:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ
43ffvelcdmi 7038 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃)
54a1i 11 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃))
63ffvelcdmi 7038 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
7 eleq1 2822 . . 3 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 ↔ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃))
86, 7syl5ibr 246 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃))
93fdmi 6684 . . . . . 6 dom 𝑅 = 𝑃
10 0nelxp 5671 . . . . . . 7 Β¬ βˆ… ∈ ((V Γ— V) Γ— V)
111mpstssv 34197 . . . . . . . 8 𝑃 βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
1211sseli 3944 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ 𝑃 β†’ βˆ… ∈ ((V Γ— V) Γ— V))
1310, 12mto 196 . . . . . 6 Β¬ βˆ… ∈ 𝑃
149, 13ndmfvrcl 6882 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1514adantl 483 . . . 4 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
167biimpa 478 . . . . 5 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
179, 13ndmfvrcl 6882 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1915, 182thd 265 . . 3 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
2019ex 414 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃)))
215, 8, 20pm5.21ndd 381 1 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  mPreStcmpst 34131  mStRedcmsr 34132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-mpst 34151  df-msr 34152
This theorem is referenced by:  elmthm  34234
  Copyright terms: Public domain W3C validator