Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msrrcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem msrrcl 34529
Description: If 𝑋 and π‘Œ have the same reduct, then one is a pre-statement iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mpstssv.p 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
msrf.r 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
msrrcl ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
Proof of Theorem msrrcl
StepHypRef Expression
1 mpstssv.p . . . . 5 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
2 msrf.r . . . . 5 𝑅 = (mStRedβ€˜π‘‡)
31, 2msrf 34528 . . . 4 𝑅:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ
43ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃)
54a1i 11 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃))
63ffvelcdmi 7085 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
7 eleq1 2821 . . 3 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 ↔ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃))
86, 7imbitrrid 245 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃))
93fdmi 6729 . . . . . 6 dom 𝑅 = 𝑃
10 0nelxp 5710 . . . . . . 7 Β¬ βˆ… ∈ ((V Γ— V) Γ— V)
111mpstssv 34525 . . . . . . . 8 𝑃 βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
1211sseli 3978 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ 𝑃 β†’ βˆ… ∈ ((V Γ— V) Γ— V))
1310, 12mto 196 . . . . . 6 Β¬ βˆ… ∈ 𝑃
149, 13ndmfvrcl 6927 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1514adantl 482 . . . 4 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
167biimpa 477 . . . . 5 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ (π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
179, 13ndmfvrcl 6927 . . . . 5 ((π‘…β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1915, 182thd 264 . . 3 (((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
2019ex 413 . 2 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘‹) ∈ 𝑃 β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃)))
215, 8, 20pm5.21ndd 380 1 ((π‘…β€˜π‘‹) = (π‘…β€˜π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  mPreStcmpst 34459  mStRedcmsr 34460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-mpst 34479  df-msr 34480
This theorem is referenced by:  elmthm  34562
  Copyright terms: Public domain W3C validator