Theorem mvtss 35589

Description: The set of variable typecodes is a subset of all typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvtss.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mvtss.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvtss	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem mvtss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvtss.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
3	1, 2	mvtval 35536	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (mType‘𝑇)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
5		mvtss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
6	4, 5, 2	mtyf2 35587	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):(mVR‘𝑇)⟶𝐾)
7	6	frnd 6654	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ran (mType‘𝑇) ⊆ 𝐾)
8	3, 7	eqsstrid 3968	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ran crn 5612  ‘cfv 6476  mVRcmvar 35497  mTypecmty 35498  mVTcmvt 35499  mTCcmtc 35500  mFScmfs 35512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-mvt 35521  df-mfs 35532

This theorem is referenced by: (None)