Theorem mvtss 36084

Description: The set of variable typecodes is a subset of all typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvtss.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mvtss.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvtss	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem mvtss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvtss.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
3	1, 2	mvtval 36031	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (mType‘𝑇)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
5		mvtss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
6	4, 5, 2	mtyf2 36082	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):(mVR‘𝑇)⟶𝐾)
7	6	frnd 6718	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ran (mType‘𝑇) ⊆ 𝐾)
8	3, 7	eqsstrid 3976	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  mVRcmvar 35992  mTypecmty 35993  mVTcmvt 35994  mTCcmtc 35995  mFScmfs 36007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-mvt 36016  df-mfs 36027

This theorem is used by: (None)