Theorem mvtss 35944

Description: The set of variable typecodes is a subset of all typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvtss.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mvtss.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvtss	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem mvtss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvtss.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
3	1, 2	mvtval 35891	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (mType‘𝑇)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
5		mvtss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
6	4, 5, 2	mtyf2 35942	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):(mVR‘𝑇)⟶𝐾)
7	6	frnd 6715	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ran (mType‘𝑇) ⊆ 𝐾)
8	3, 7	eqsstrid 3983	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐹 ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ran crn 5663  ‘cfv 6537  mVRcmvar 35852  mTypecmty 35853  mVTcmvt 35854  mTCcmtc 35855  mFScmfs 35867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-mvt 35876  df-mfs 35887

This theorem is referenced by: (None)