Theorem mtyf 33493

Description: The type function maps variables to variable typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mtyf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mtyf.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mtyf.y	⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mtyf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Proof of Theorem mtyf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mtyf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		mtyf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 33492	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5		ffn 6596	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌 Fn 𝑉)
6		dffn4 6690	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑉 ↔ 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
7	5, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
8		fof 6684	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌 → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
9	4, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
10		mtyf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
11	10, 3	mvtval 33441	. . 3 ⊢ 𝐹 = ran 𝑌
12		feq3 6579	. . 3 ⊢ (𝐹 = ran 𝑌 → (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
14	9, 13	sylibr 233	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ran crn 5589   Fn wfn 6425  ⟶wf 6426  –onto→wfo 6428  ‘cfv 6430  mVRcmvar 33402  mTypecmty 33403  mVTcmvt 33404  mTCcmtc 33405  mFScmfs 33417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fo 6436  df-fv 6438  df-mvt 33426  df-mfs 33437

This theorem is referenced by: (None)