Theorem mtyf 36052

Description: The type function maps variables to variable typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mtyf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mtyf.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mtyf.y	⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mtyf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Proof of Theorem mtyf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mtyf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		mtyf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 36051	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5		ffn 6705	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌 Fn 𝑉)
6		dffn4 6798	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑉 ↔ 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
7	5, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
8		fof 6792	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌 → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
9	4, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
10		mtyf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
11	10, 3	mvtval 36000	. . 3 ⊢ 𝐹 = ran 𝑌
12		feq3 6685	. . 3 ⊢ (𝐹 = ran 𝑌 → (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
14	9, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  mVRcmvar 35961  mTypecmty 35962  mVTcmvt 35963  mTCcmtc 35964  mFScmfs 35976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-mvt 35985  df-mfs 35996

This theorem is used by: (None)