Theorem mtyf 35903

Description: The type function maps variables to variable typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mtyf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mtyf.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mtyf.y	⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mtyf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Proof of Theorem mtyf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mtyf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		mtyf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 35902	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5		ffn 6692	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌 Fn 𝑉)
6		dffn4 6785	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑉 ↔ 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
7	5, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
8		fof 6779	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌 → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
9	4, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
10		mtyf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
11	10, 3	mvtval 35851	. . 3 ⊢ 𝐹 = ran 𝑌
12		feq3 6672	. . 3 ⊢ (𝐹 = ran 𝑌 → (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
14	9, 13	sylibr 236	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ran crn 5649   Fn wfn 6517  ⟶wf 6518  –onto→wfo 6520  ‘cfv 6522  mVRcmvar 35812  mTypecmty 35813  mVTcmvt 35814  mTCcmtc 35815  mFScmfs 35827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fo 6528  df-fv 6530  df-mvt 35836  df-mfs 35847

This theorem is referenced by: (None)