Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mtyf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mtyf 34856
Description: The type function maps variables to variable typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mtyf.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mtyf.f 𝐹 = (mVTβ€˜π‘‡)
mtyf.y π‘Œ = (mTypeβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mtyf (𝑇 ∈ mFS β†’ π‘Œ:π‘‰βŸΆπΉ)
Proof of Theorem mtyf
StepHypRef Expression
1 mtyf.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 eqid 2731 . . . 4 (mTCβ€˜π‘‡) = (mTCβ€˜π‘‡)
3 mtyf.y . . . 4 π‘Œ = (mTypeβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mtyf2 34855 . . 3 (𝑇 ∈ mFS β†’ π‘Œ:π‘‰βŸΆ(mTCβ€˜π‘‡))
5 ffn 6717 . . . 4 (π‘Œ:π‘‰βŸΆ(mTCβ€˜π‘‡) β†’ π‘Œ Fn 𝑉)
6 dffn4 6811 . . . 4 (π‘Œ Fn 𝑉 ↔ π‘Œ:𝑉–ontoβ†’ran π‘Œ)
75, 6sylib 217 . . 3 (π‘Œ:π‘‰βŸΆ(mTCβ€˜π‘‡) β†’ π‘Œ:𝑉–ontoβ†’ran π‘Œ)
8 fof 6805 . . 3 (π‘Œ:𝑉–ontoβ†’ran π‘Œ β†’ π‘Œ:π‘‰βŸΆran π‘Œ)
94, 7, 83syl 18 . 2 (𝑇 ∈ mFS β†’ π‘Œ:π‘‰βŸΆran π‘Œ)
10 mtyf.f . . . 4 𝐹 = (mVTβ€˜π‘‡)
1110, 3mvtval 34804 . . 3 𝐹 = ran π‘Œ
12 feq3 6700 . . 3 (𝐹 = ran π‘Œ β†’ (π‘Œ:π‘‰βŸΆπΉ ↔ π‘Œ:π‘‰βŸΆran π‘Œ))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (π‘Œ:π‘‰βŸΆπΉ ↔ π‘Œ:π‘‰βŸΆran π‘Œ)
149, 13sylibr 233 1 (𝑇 ∈ mFS β†’ π‘Œ:π‘‰βŸΆπΉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  mVRcmvar 34765  mTypecmty 34766  mVTcmvt 34767  mTCcmtc 34768  mFScmfs 34780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-mvt 34789  df-mfs 34800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator