Theorem mtyf 35695

Description: The type function maps variables to variable typecodes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mtyf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mtyf.f	⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
mtyf.y	⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mtyf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Proof of Theorem mtyf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mtyf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		mtyf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 35694	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5		ffn 6660	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌 Fn 𝑉)
6		dffn4 6750	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑉 ↔ 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉⟶(mTC‘𝑇) → 𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌)
8		fof 6744	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑉–onto→ran 𝑌 → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
9	4, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
10		mtyf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mVT‘𝑇)
11	10, 3	mvtval 35643	. . 3 ⊢ 𝐹 = ran 𝑌
12		feq3 6640	. . 3 ⊢ (𝐹 = ran 𝑌 → (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌:𝑉⟶𝐹 ↔ 𝑌:𝑉⟶ran 𝑌)
14	9, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝑌:𝑉⟶𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  mVRcmvar 35604  mTypecmty 35605  mVTcmvt 35606  mTCcmtc 35607  mFScmfs 35619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fo 6496  df-fv 6498  df-mvt 35628  df-mfs 35639

This theorem is referenced by: (None)