Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem62 44863
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem62.2 β„²π‘“πœ‘
stoweidlem62.3 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem62.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem62.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem62.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem62.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem62.14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweidlem62.15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
stoweidlem62.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝐸,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝐻,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐹(𝑑,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐻(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2 nfmpt1 5256 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
31, 2nfcxfr 2901 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐻
4 stoweidlem62.3 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
5 stoweidlem62.5 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
6 stoweidlem62.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
7 stoweidlem62.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
8 stoweidlem62.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
9 stoweidlem62.8 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
10 stoweidlem62.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 eleq1w 2816 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ β„Ž ∈ 𝐴))
12113anbi3d 1442 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴)))
13 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (β„Žβ€˜π‘‘))
1413oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘)))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))))
1615eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
1712, 16imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
18 stoweidlem62.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1917, 18chvarvv 2002 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2013oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘)))
2120mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))))
2221eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
2312, 22imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
24 stoweidlem62.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2523, 24chvarvv 2002 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
26 stoweidlem62.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem62.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐹
2928nfrn 5951 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ran 𝐹
30 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ℝ
31 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 <
3229, 30, 31nfinf 9479 . . . . . 6 Ⅎ𝑑inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34 cmptop 22906 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3736, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 44830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
3938simp2d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 44848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐢)
411, 40eqeltrid 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐢)
4238simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4342r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
445, 7, 9, 36fcnre 43797 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
4544ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4639adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4745, 46subge0d 11806 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5045, 46resubcld 11644 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
511fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5348, 52breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
5453ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
554, 54ralrimi 3254 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
56 stoweidlem62.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
5756rphalfcld 13030 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5856rpred 13018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5958rehalfcld 12461 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60 3re 12294 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
61 3ne0 12320 . . . . . . 7 3 β‰  0
6260, 61rereccli 11981 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
64 rphalflt 13005 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
6556, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
66 stoweidlem62.17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 11377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < (1 / 3))
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 44862 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
69 nfra1 3281 . . . . . . 7 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))
704, 69nfan 1902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
71 rsp 3244 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))))
7256rpcnd 13020 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
73 2cnd 12292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
74 2ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
7672, 73, 75divcan2d 11994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7776breq2d 5160 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) ↔ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7877biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7971, 78sylan9r 509 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8070, 79ralrimi 3254 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
8180ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8281reximdv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8368, 82mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
84 nfmpt1 5256 . . 3 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85 nfcv 2903 . . 3 β„²π‘‘β„Ž
86 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑑 β„Ž ∈ 𝐴
87 nfra1 3281 . . . . 5 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸
8886, 87nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑑(β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
894, 88nfan 1902 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
90 eqid 2732 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
9144adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
9239adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93183adant1r 1177 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9426adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
95 stoweidlem62.2 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
9610sseld 3981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ 𝐢))
979eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝐢 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9896, 97imbitrdi 250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
100 uniretop 24286 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1015unieqi 4921 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
102100, 101eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ 𝐾
10399, 102cnf 22757 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„)
10498, 103syl6 35 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
105 feq2 6699 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
1067, 105mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
107104, 106sylibrd 258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
10895, 107ralrimi 3254 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
109108adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
110 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ β„Ž ∈ 𝐴)
11152eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (π»β€˜π‘‘))
112111oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘)))
113112fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
114113adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
115 simplrr 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
116 rspa 3245 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
117115, 116sylancom 588 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
118114, 117eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119118ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
12089, 119ralrimi 3254 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
12184, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120stoweidlem21 44822 . 2 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
12283, 121rexlimddv 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  3c3 12270  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  abscabs 15183  topGenctg 17385  Topctop 22402   Cn ccn 22735  Compccmp 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835
This theorem is referenced by:  stoweid  44864
  Copyright terms: Public domain W3C validator