Theorem stoweidlem62 46053

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem62.2	⊢ Ⅎ𝑓𝜑
stoweidlem62.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem62.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem62.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem62.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem62.14	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem62.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2		nfmpt1 5191	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
3	1, 2	nfcxfr 2889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
4		stoweidlem62.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		stoweidlem62.5	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		stoweidlem62.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
7		stoweidlem62.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		stoweidlem62.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
9		stoweidlem62.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10		stoweidlem62.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ ℎ ∈ 𝐴))
12	11	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴)))
13		fveq1 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
14	13	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡)))
15	14	mpteq2dv 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))))
16	15	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
17	12, 16	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	17, 18	chvarvv 1989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20	13	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))))
22	21	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
23	12, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
25	23, 24	chvarvv 1989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
26		stoweidlem62.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
27		stoweidlem62.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
29	28	nfrn 5894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
30		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ℝ
31		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 <
32	29, 30, 31	nfinf 9373	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34		cmptop 23280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
37	36, 9	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 46020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
39	38	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 46038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
41	1, 40	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐶)
42	38	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
43	42	r19.21bi 3221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
44	5, 7, 9, 36	fcnre 45013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
45	44	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
46	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	45, 46	subge0d 11710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
48	43, 47	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
50	45, 46	resubcld 11548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
51	1	fvmpt2 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	49, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
53	48, 52	breqtrrd 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ (𝐻‘𝑡)))
55	4, 54	ralrimi 3227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
57	56	rphalfcld 12949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
58	56	rpred 12937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	rehalfcld 12371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60		3re 12208	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		3ne0 12234	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
62	60, 61	rereccli 11889	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64		rphalflt 12924	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 11277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 46052	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69		nfra1 3253	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
70	4, 69	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71		rsp 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
72	56	rpcnd 12939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73		2cnd 12206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 11902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
77	76	breq2d 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
78	77	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
79	71, 78	sylan9r 508	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
80	70, 79	ralrimi 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
82	81	reximdv 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
83	68, 82	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
84		nfmpt1 5191	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
86		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ℎ ∈ 𝐴
87		nfra1 3253	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸
88	86, 87	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
89	4, 88	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
90		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
91	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
92	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93	18	3adant1r 1178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	26	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
96	10	sseld 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ 𝐶))
97	9	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
98	96, 97	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
100		uniretop 24648	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
101	5	unieqi 4870	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
102	100, 101	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
103	99, 102	cnf 23131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ)
104	98, 103	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
105		feq2 6631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∪ 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
107	104, 106	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:𝑇⟶ℝ))
108	95, 107	ralrimi 3227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109	108	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ℎ ∈ 𝐴)
111	52	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻‘𝑡))
112	111	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡)))
113	112	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
114	113	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
115		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
116		rspa 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
117	115, 116	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
118	114, 117	eqbrtrd 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119	118	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
120	89, 119	ralrimi 3227	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 46012	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
122	83, 121	rexlimddv 3136	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ran crn 5620  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  infcinf 9331  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  2c2 12183  3c3 12184  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  abscabs 15141  topGenctg 17341  Topctop 22778   Cn ccn 23109  Compccmp 23271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208

This theorem is referenced by:  stoweid  46054