Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem62 44235
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem62.2 β„²π‘“πœ‘
stoweidlem62.3 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem62.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem62.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem62.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem62.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem62.14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweidlem62.15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
stoweidlem62.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝐸,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝐻,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐹(𝑑,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐻(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2 nfmpt1 5211 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
31, 2nfcxfr 2903 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐻
4 stoweidlem62.3 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
5 stoweidlem62.5 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
6 stoweidlem62.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
7 stoweidlem62.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
8 stoweidlem62.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
9 stoweidlem62.8 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
10 stoweidlem62.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 eleq1w 2820 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ β„Ž ∈ 𝐴))
12113anbi3d 1442 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴)))
13 fveq1 6838 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (β„Žβ€˜π‘‘))
1413oveq2d 7369 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘)))
1514mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))))
1615eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
1712, 16imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
18 stoweidlem62.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1917, 18chvarvv 2002 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2013oveq2d 7369 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘)))
2120mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))))
2221eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
2312, 22imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
24 stoweidlem62.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2523, 24chvarvv 2002 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
26 stoweidlem62.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem62.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐹
2928nfrn 5905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ran 𝐹
30 nfcv 2905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ℝ
31 nfcv 2905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 <
3229, 30, 31nfinf 9414 . . . . . 6 Ⅎ𝑑inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34 cmptop 22730 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3736, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 44202 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
3938simp2d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 44220 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐢)
411, 40eqeltrid 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐢)
4238simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4342r19.21bi 3232 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
445, 7, 9, 36fcnre 43172 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
4544ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4639adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4745, 46subge0d 11741 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5045, 46resubcld 11579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
511fvmpt2 6956 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5348, 52breqtrrd 5131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
5453ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
554, 54ralrimi 3238 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
56 stoweidlem62.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
5756rphalfcld 12961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5856rpred 12949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5958rehalfcld 12396 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60 3re 12229 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
61 3ne0 12255 . . . . . . 7 3 β‰  0
6260, 61rereccli 11916 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
64 rphalflt 12936 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
6556, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
66 stoweidlem62.17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 11312 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < (1 / 3))
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 44234 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
69 nfra1 3265 . . . . . . 7 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))
704, 69nfan 1902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
71 rsp 3228 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))))
7256rpcnd 12951 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
73 2cnd 12227 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
74 2ne0 12253 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
7672, 73, 75divcan2d 11929 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7776breq2d 5115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) ↔ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7877biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7971, 78sylan9r 509 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8070, 79ralrimi 3238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
8180ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8281reximdv 3165 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8368, 82mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
84 nfmpt1 5211 . . 3 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85 nfcv 2905 . . 3 β„²π‘‘β„Ž
86 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑑 β„Ž ∈ 𝐴
87 nfra1 3265 . . . . 5 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸
8886, 87nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑑(β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
894, 88nfan 1902 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
90 eqid 2736 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
9144adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
9239adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93183adant1r 1177 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9426adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
95 stoweidlem62.2 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
9610sseld 3941 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ 𝐢))
979eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝐢 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9896, 97syl6ib 250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99 eqid 2736 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
100 uniretop 24110 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1015unieqi 4876 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
102100, 101eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ 𝐾
10399, 102cnf 22581 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„)
10498, 103syl6 35 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
105 feq2 6647 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
1067, 105mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
107104, 106sylibrd 258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
10895, 107ralrimi 3238 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
109108adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
110 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ β„Ž ∈ 𝐴)
11152eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (π»β€˜π‘‘))
112111oveq2d 7369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘)))
113112fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
114113adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
115 simplrr 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
116 rspa 3229 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
117115, 116sylancom 588 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
118114, 117eqbrtrd 5125 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119118ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
12089, 119ralrimi 3238 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
12184, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120stoweidlem21 44194 . 2 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
12283, 121rexlimddv 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2885   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  {csn 4584  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5629  ran crn 5632  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  infcinf 9373  β„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   Β· cmul 11052   < clt 11185   ≀ cle 11186   βˆ’ cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11808  2c2 12204  3c3 12205  β„+crp 12907  (,)cioo 13256  abscabs 15111  topGenctg 17311  Topctop 22226   Cn ccn 22559  Compccmp 22721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-cmp 22722  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659
This theorem is referenced by:  stoweid  44236
  Copyright terms: Public domain W3C validator