Theorem stoweidlem62 46060

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem62.2	⊢ Ⅎ𝑓𝜑
stoweidlem62.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem62.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem62.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem62.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem62.14	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem62.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2		nfmpt1 5206	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
3	1, 2	nfcxfr 2889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
4		stoweidlem62.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		stoweidlem62.5	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		stoweidlem62.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
7		stoweidlem62.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		stoweidlem62.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
9		stoweidlem62.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10		stoweidlem62.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ ℎ ∈ 𝐴))
12	11	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴)))
13		fveq1 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
14	13	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡)))
15	14	mpteq2dv 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))))
16	15	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
17	12, 16	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	17, 18	chvarvv 1989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20	13	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))))
22	21	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
23	12, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
25	23, 24	chvarvv 1989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
26		stoweidlem62.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
27		stoweidlem62.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
29	28	nfrn 5916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
30		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ℝ
31		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 <
32	29, 30, 31	nfinf 9434	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34		cmptop 23282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
37	36, 9	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 46027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
39	38	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 46045	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
41	1, 40	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐶)
42	38	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
43	42	r19.21bi 3229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
44	5, 7, 9, 36	fcnre 45019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
45	44	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
46	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	45, 46	subge0d 11768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
48	43, 47	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
50	45, 46	resubcld 11606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
51	1	fvmpt2 6979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	49, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
53	48, 52	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ (𝐻‘𝑡)))
55	4, 54	ralrimi 3235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
57	56	rphalfcld 13007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
58	56	rpred 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	rehalfcld 12429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60		3re 12266	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		3ne0 12292	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
62	60, 61	rereccli 11947	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64		rphalflt 12982	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 46059	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69		nfra1 3261	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
70	4, 69	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71		rsp 3225	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
72	56	rpcnd 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73		2cnd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
77	76	breq2d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
78	77	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
79	71, 78	sylan9r 508	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
80	70, 79	ralrimi 3235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
82	81	reximdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
83	68, 82	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
84		nfmpt1 5206	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
86		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ℎ ∈ 𝐴
87		nfra1 3261	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸
88	86, 87	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
89	4, 88	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
90		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
91	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
92	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93	18	3adant1r 1178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	26	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
96	10	sseld 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ 𝐶))
97	9	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
98	96, 97	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
100		uniretop 24650	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
101	5	unieqi 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
102	100, 101	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
103	99, 102	cnf 23133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ)
104	98, 103	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
105		feq2 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∪ 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
107	104, 106	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:𝑇⟶ℝ))
108	95, 107	ralrimi 3235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109	108	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ℎ ∈ 𝐴)
111	52	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻‘𝑡))
112	111	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡)))
113	112	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
114	113	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
115		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
116		rspa 3226	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
117	115, 116	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
118	114, 117	eqbrtrd 5129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119	118	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
120	89, 119	ralrimi 3235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 46019	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
122	83, 121	rexlimddv 3140	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  3c3 12242  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  abscabs 15200  topGenctg 17400  Topctop 22780   Cn ccn 23111  Compccmp 23273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210

This theorem is referenced by:  stoweid  46061