Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem62 44778
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem62.2 β„²π‘“πœ‘
stoweidlem62.3 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem62.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem62.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem62.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem62.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem62.14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweidlem62.15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
stoweidlem62.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝐸,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝐻,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐹(𝑑,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐻(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2 nfmpt1 5257 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
31, 2nfcxfr 2902 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐻
4 stoweidlem62.3 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
5 stoweidlem62.5 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
6 stoweidlem62.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
7 stoweidlem62.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
8 stoweidlem62.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
9 stoweidlem62.8 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
10 stoweidlem62.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 eleq1w 2817 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ β„Ž ∈ 𝐴))
12113anbi3d 1443 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴)))
13 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (β„Žβ€˜π‘‘))
1413oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘)))
1514mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))))
1615eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
1712, 16imbi12d 345 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
18 stoweidlem62.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1917, 18chvarvv 2003 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2013oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘)))
2120mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))))
2221eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
2312, 22imbi12d 345 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
24 stoweidlem62.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2523, 24chvarvv 2003 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (β„Žβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
26 stoweidlem62.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem62.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐹
2928nfrn 5952 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ran 𝐹
30 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑ℝ
31 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 <
3229, 30, 31nfinf 9477 . . . . . 6 Ⅎ𝑑inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 Γ— {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34 cmptop 22899 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3736, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 44745 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
3938simp2d 1144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 44763 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐢)
411, 40eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐢)
4238simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4342r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
445, 7, 9, 36fcnre 43709 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
4544ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4639adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4745, 46subge0d 11804 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5045, 46resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
511fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5249, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5348, 52breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
5453ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
554, 54ralrimi 3255 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
56 stoweidlem62.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
5756rphalfcld 13028 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5856rpred 13016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5958rehalfcld 12459 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60 3re 12292 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
61 3ne0 12318 . . . . . . 7 3 β‰  0
6260, 61rereccli 11979 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
64 rphalflt 13003 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
6556, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
66 stoweidlem62.17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 11375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < (1 / 3))
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 44777 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
69 nfra1 3282 . . . . . . 7 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))
704, 69nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)))
71 rsp 3245 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))))
7256rpcnd 13018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
73 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
74 2ne0 12316 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
7672, 73, 75divcan2d 11992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7776breq2d 5161 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) ↔ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7877biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
7971, 78sylan9r 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8070, 79ralrimi 3255 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
8180ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8281reximdv 3171 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < (2 Β· (𝐸 / 2)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
8368, 82mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
84 nfmpt1 5257 . . 3 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85 nfcv 2904 . . 3 β„²π‘‘β„Ž
86 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 β„Ž ∈ 𝐴
87 nfra1 3282 . . . . 5 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸
8886, 87nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
894, 88nfan 1903 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸))
90 eqid 2733 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
9144adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
9239adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93183adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9426adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
95 stoweidlem62.2 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
9610sseld 3982 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ 𝐢))
979eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝐢 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9896, 97imbitrdi 250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
100 uniretop 24279 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1015unieqi 4922 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
102100, 101eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ 𝐾
10399, 102cnf 22750 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„)
10498, 103syl6 35 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
105 feq2 6700 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
1067, 105mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝑓:βˆͺ π½βŸΆβ„))
107104, 106sylibrd 259 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
10895, 107ralrimi 3255 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
109108adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
110 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ β„Ž ∈ 𝐴)
11152eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (π»β€˜π‘‘))
112111oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘)))
113112fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
114113adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
115 simplrr 777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
116 rspa 3246 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
117115, 116sylancom 589 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)
118114, 117eqbrtrd 5171 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119118ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
12089, 119ralrimi 3255 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
12184, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120stoweidlem21 44737 . 2 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((β„Žβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) < 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
12283, 121rexlimddv 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181  topGenctg 17383  Topctop 22395   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  stoweid  44779
  Copyright terms: Public domain W3C validator