Theorem stoweidlem62 46248

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem62.2	⊢ Ⅎ𝑓𝜑
stoweidlem62.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem62.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem62.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem62.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem62.14	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem62.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2		nfmpt1 5195	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
3	1, 2	nfcxfr 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
4		stoweidlem62.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		stoweidlem62.5	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		stoweidlem62.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
7		stoweidlem62.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		stoweidlem62.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
9		stoweidlem62.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10		stoweidlem62.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		eleq1w 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ ℎ ∈ 𝐴))
12	11	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴)))
13		fveq1 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
14	13	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡)))
15	14	mpteq2dv 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))))
16	15	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
17	12, 16	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	17, 18	chvarvv 1990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20	13	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))))
22	21	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
23	12, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
25	23, 24	chvarvv 1990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
26		stoweidlem62.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
27		stoweidlem62.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
29	28	nfrn 5899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
30		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ℝ
31		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 <
32	29, 30, 31	nfinf 9384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34		cmptop 23337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
37	36, 9	eleqtrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 46215	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
39	38	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 46233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
41	1, 40	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐶)
42	38	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
43	42	r19.21bi 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
44	5, 7, 9, 36	fcnre 45212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
45	44	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
46	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	45, 46	subge0d 11725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
48	43, 47	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
50	45, 46	resubcld 11563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
51	1	fvmpt2 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	49, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
53	48, 52	breqtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ (𝐻‘𝑡)))
55	4, 54	ralrimi 3232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
57	56	rphalfcld 12959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
58	56	rpred 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	rehalfcld 12386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60		3re 12223	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		3ne0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
62	60, 61	rereccli 11904	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64		rphalflt 12934	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 46247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69		nfra1 3258	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
70	4, 69	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71		rsp 3222	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
72	56	rpcnd 12949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73		2cnd 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 11917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
77	76	breq2d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
78	77	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
79	71, 78	sylan9r 508	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
80	70, 79	ralrimi 3232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
82	81	reximdv 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
83	68, 82	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
84		nfmpt1 5195	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85		nfcv 2896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
86		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ℎ ∈ 𝐴
87		nfra1 3258	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸
88	86, 87	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
89	4, 88	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
90		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
91	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
92	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93	18	3adant1r 1178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	26	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
96	10	sseld 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ 𝐶))
97	9	eleq2i 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
98	96, 97	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
100		uniretop 24704	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
101	5	unieqi 4873	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
102	100, 101	eqtr4i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
103	99, 102	cnf 23188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ)
104	98, 103	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
105		feq2 6639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∪ 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
107	104, 106	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:𝑇⟶ℝ))
108	95, 107	ralrimi 3232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109	108	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ℎ ∈ 𝐴)
111	52	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻‘𝑡))
112	111	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡)))
113	112	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
114	113	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
115		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
116		rspa 3223	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
117	115, 116	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
118	114, 117	eqbrtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119	118	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
120	89, 119	ralrimi 3232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 46207	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
122	83, 121	rexlimddv 3141	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  infcinf 9342  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  3c3 12199  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  abscabs 15155  topGenctg 17355  Topctop 22835   Cn ccn 23166  Compccmp 23328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264

This theorem is referenced by:  stoweid  46249