Theorem stoweidlem62 46513

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem62.2	⊢ Ⅎ𝑓𝜑
stoweidlem62.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem62.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem62.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem62.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem62.14	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem62.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2		nfmpt1 5172	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
3	1, 2	nfcxfr 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
4		stoweidlem62.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		stoweidlem62.5	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		stoweidlem62.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
7		stoweidlem62.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		stoweidlem62.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
9		stoweidlem62.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10		stoweidlem62.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		eleq1w 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ ℎ ∈ 𝐴))
12	11	3anbi3d 1450	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴)))
13		fveq1 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
14	13	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡)))
15	14	mpteq2dv 5167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))))
16	15	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
17	12, 16	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	17, 18	chvarvv 1996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20	13	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 5167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))))
22	21	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
23	12, 22	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
25	23, 24	chvarvv 1996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
26		stoweidlem62.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
27		stoweidlem62.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
29	28	nfrn 5895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
30		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ℝ
31		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 <
32	29, 30, 31	nfinf 9387	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34		cmptop 23379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
37	36, 9	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 46480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
39	38	simp2d 1149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 46498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
41	1, 40	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐶)
42	38	simp3d 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
43	42	r19.21bi 3231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
44	5, 7, 9, 36	fcnre 45482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
45	44	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
46	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	45, 46	subge0d 11732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
48	43, 47	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
50	45, 46	resubcld 11570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
51	1	fvmpt2 6948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	49, 50, 51	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
53	48, 52	breqtrrd 5101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
54	53	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ (𝐻‘𝑡)))
55	4, 54	ralrimi 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
57	56	rphalfcld 12990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
58	56	rpred 12978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	rehalfcld 12416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60		3re 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		3ne0 12279	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
62	60, 61	rereccli 11912	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64		rphalflt 12965	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 11299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 46512	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69		nfra1 3263	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
70	4, 69	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71		rsp 3227	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
72	56	rpcnd 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73		2cnd 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 11925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
77	76	breq2d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
78	77	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
79	71, 78	sylan9r 513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
80	70, 79	ralrimi 3237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
81	80	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
82	81	reximdv 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
83	68, 82	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
84		nfmpt1 5172	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85		nfcv 2901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
86		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ℎ ∈ 𝐴
87		nfra1 3263	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸
88	86, 87	nfan 1906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
89	4, 88	nfan 1906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
90		eqid 2739	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
91	44	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
92	39	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93	18	3adant1r 1184	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	26	adantlr 721	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
96	10	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ 𝐶))
97	9	eleq2i 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
98	96, 97	imbitrdi 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
100		uniretop 24746	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
101	5	unieqi 4851	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
102	100, 101	eqtr4i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
103	99, 102	cnf 23230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ)
104	98, 103	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
105		feq2 6635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∪ 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
107	104, 106	sylibrd 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:𝑇⟶ℝ))
108	95, 107	ralrimi 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109	108	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110		simprl 776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ℎ ∈ 𝐴)
111	52	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻‘𝑡))
112	111	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡)))
113	112	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
114	113	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
115		simplrr 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
116		rspa 3228	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
117	115, 116	sylancom 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
118	114, 117	eqbrtrd 5095	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119	118	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
120	89, 119	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 46472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
122	83, 121	rexlimddv 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  {csn 4556  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154   × cxp 5617  ran crn 5620  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  infcinf 9345  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  -cneg 11370   / cdiv 11799  2c2 12228  3c3 12229  ℝ⁺crp 12934  (,)cioo 13290  abscabs 15188  topGenctg 17392  Topctop 22877   Cn ccn 23208  Compccmp 23370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306

This theorem is referenced by:  stoweid  46514