Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfiinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfiinf 45431
Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfiinf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfiinf.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
allbutfiinf.x (𝜑𝑋𝐴)
allbutfiinf.n 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
allbutfiinf (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . 3 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ 𝑍
2 allbutfiinf.n . . . . 5 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ))
4 allbutfiinf.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
51, 4sseqtri 4032 . . . . . 6 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀))
7 allbutfiinf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐴)
8 allbutfiinf.a . . . . . . . 8 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
94, 8allbutfi 45404 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
107, 9sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
11 nfrab1 3457 . . . . . . . . 9 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
12 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑛
1311, 12nfne 3043 . . . . . . . 8 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅
14 rabid 3458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1514bicomi 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1615biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1716ne0d 4342 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
1817ex 412 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
1913, 18rexlimi 3259 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12974 . . . . 5 (({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
236, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
243, 23eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
251, 24sselid 3981 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
26 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛
27 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛 <
2811, 26, 27nfinf 9522 . . . . . . 7 𝑛inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
292, 28nfcxfr 2903 . . . . . 6 𝑛𝑁
30 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑛𝑍
31 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛
3231, 29nffv 6916 . . . . . . 7 𝑛(ℤ𝑁)
33 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑛 𝑋𝐵
3432, 33nfralw 3311 . . . . . 6 𝑛𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵
35 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑛)
36 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑚
37 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵
38 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑍
3937, 38nfrabw 3475 . . . . . . . . . 10 𝑚{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
40 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚
41 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚 <
4239, 40, 41nfinf 9522 . . . . . . . . 9 𝑚inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
432, 42nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑚𝑁
4436, 43nffv 6916 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑁)
45 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑁))
4635, 44, 45raleqd 45142 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4729, 30, 34, 46elrabf 3688 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4847biimpi 216 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4948simprd 495 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5024, 49syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5125, 50jca 511 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   ciun 4991   ciin 4992  cfv 6561  infcinf 9481  cr 11154   < clt 11295  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator