Theorem allbutfiinf 45395

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
allbutfiinf.a	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
allbutfiinf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
allbutfiinf.n	⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ 𝑍
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ))
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	1, 4	sseqtri 4007	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
9	4, 8	allbutfi 45368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
11		nfrab1 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
12		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∅
13	11, 12	nfne 3033	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅
14		rabid 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
17	16	ne0d 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
19	13, 18	rexlimi 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12946	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
23	6, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
24	3, 23	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
25	1, 24	sselid 3956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
26		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
27		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 <
28	11, 26, 27	nfinf 9493	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
29	2, 28	nfcxfr 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
30		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
31		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℤ≥
32	31, 29	nffv 6885	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑁)
33		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑋 ∈ 𝐵
34	32, 33	nfralw 3291	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵
35		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑛)
36		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚ℤ≥
37		nfra1 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵
38		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
39	37, 38	nfrabw 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
40		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
41		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 <
42	39, 40, 41	nfinf 9493	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
43	2, 42	nfcxfr 2896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝑁
44	36, 43	nffv 6885	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑁)
45		fveq2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑁))
46	35, 44, 45	raleqd 45109	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
47	29, 30, 34, 46	elrabf 3667	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
48	47	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
49	48	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
50	24, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
51	25, 50	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∪ ciun 4967  ∩ ciin 4968  ‘cfv 6530  infcinf 9451  ℝcr 11126   < clt 11267  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by: (None)