Theorem allbutfiinf 45775

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
allbutfiinf.a	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
allbutfiinf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
allbutfiinf.n	⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ 𝑍
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ))
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	1, 4	sseqtri 3984	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
9	4, 8	allbutfi 45748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
11		nfrab1 3421	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
12		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∅
13	11, 12	nfne 3034	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅
14		rabid 3422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
17	16	ne0d 4296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
19	13, 18	rexlimi 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12857	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
23	6, 21, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
24	3, 23	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
25	1, 24	sselid 3933	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
26		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
27		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 <
28	11, 26, 27	nfinf 9398	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
29	2, 28	nfcxfr 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
30		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
31		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℤ≥
32	31, 29	nffv 6852	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑁)
33		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑋 ∈ 𝐵
34	32, 33	nfralw 3285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵
35		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑛)
36		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚ℤ≥
37		nfra1 3262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵
38		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
39	37, 38	nfrabw 3438	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
40		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
41		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 <
42	39, 40, 41	nfinf 9398	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
43	2, 42	nfcxfr 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝑁
44	36, 43	nffv 6852	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑁)
45		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑁))
46	35, 44, 45	raleqd 45493	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
47	29, 30, 34, 46	elrabf 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
48	47	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
49	48	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
50	24, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
51	25, 50	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ ciun 4948  ∩ ciin 4949  ‘cfv 6500  infcinf 9356  ℝcr 11037   < clt 11178  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by: (None)