Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfiinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfiinf 42054
Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfiinf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfiinf.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
allbutfiinf.x (𝜑𝑋𝐴)
allbutfiinf.n 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
allbutfiinf (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4010 . . 3 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ 𝑍
2 allbutfiinf.n . . . . 5 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ))
4 allbutfiinf.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
51, 4sseqtri 3954 . . . . . 6 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀))
7 allbutfiinf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐴)
8 allbutfiinf.a . . . . . . . 8 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
94, 8allbutfi 42026 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
107, 9sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
11 nfrab1 3340 . . . . . . . . 9 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
12 nfcv 2958 . . . . . . . . 9 𝑛
1311, 12nfne 3090 . . . . . . . 8 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅
14 rabid 3334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1514bicomi 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1615biimpi 219 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1716ne0d 4254 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
1817ex 416 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
1913, 18rexlimi 3277 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12324 . . . . 5 (({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
236, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
243, 23eqeltrd 2893 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
251, 24sseldi 3916 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
26 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑛
27 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑛 <
2811, 26, 27nfinf 8934 . . . . . . 7 𝑛inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
292, 28nfcxfr 2956 . . . . . 6 𝑛𝑁
30 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑛𝑍
31 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑛
3231, 29nffv 6659 . . . . . . 7 𝑛(ℤ𝑁)
33 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑛 𝑋𝐵
3432, 33nfralw 3192 . . . . . 6 𝑛𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵
35 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑛)
36 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑚
37 nfra1 3186 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵
38 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑍
3937, 38nfrabw 3341 . . . . . . . . . 10 𝑚{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
40 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑚
41 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑚 <
4239, 40, 41nfinf 8934 . . . . . . . . 9 𝑚inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
432, 42nfcxfr 2956 . . . . . . . 8 𝑚𝑁
4436, 43nffv 6659 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑁)
45 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑁))
4635, 44, 45raleqd 41770 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4729, 30, 34, 46elrabf 3627 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4847biimpi 219 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4948simprd 499 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5024, 49syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5125, 50jca 515 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  wss 3884  c0 4246   ciun 4884   ciin 4885  cfv 6328  infcinf 8893  cr 10529   < clt 10668  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator