Theorem allbutfiinf 45335

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
allbutfiinf.a	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
allbutfiinf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
allbutfiinf.n	⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4103	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ 𝑍
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ))
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	1, 4	sseqtri 4045	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
9	4, 8	allbutfi 45308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
11		nfrab1 3464	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
12		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∅
13	11, 12	nfne 3049	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅
14		rabid 3465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
17	16	ne0d 4365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
19	13, 18	rexlimi 3265	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12997	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
23	6, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
24	3, 23	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
25	1, 24	sselid 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
26		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
27		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 <
28	11, 26, 27	nfinf 9551	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
29	2, 28	nfcxfr 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
30		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
31		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℤ≥
32	31, 29	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑁)
33		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑋 ∈ 𝐵
34	32, 33	nfralw 3317	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵
35		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑛)
36		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚ℤ≥
37		nfra1 3290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵
38		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
39	37, 38	nfrabw 3483	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
40		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
41		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 <
42	39, 40, 41	nfinf 9551	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
43	2, 42	nfcxfr 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝑁
44	36, 43	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑁)
45		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑁))
46	35, 44, 45	raleqd 45039	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
47	29, 30, 34, 46	elrabf 3704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
48	47	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
49	48	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
50	24, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
51	25, 50	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ ciun 5015  ∩ ciin 5016  ‘cfv 6573  infcinf 9510  ℝcr 11183   < clt 11324  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by: (None)