Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfiinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfiinf 43591
Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfiinf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfiinf.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
allbutfiinf.x (𝜑𝑋𝐴)
allbutfiinf.n 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
allbutfiinf (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4035 . . 3 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ 𝑍
2 allbutfiinf.n . . . . 5 𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑁 = inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ))
4 allbutfiinf.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
51, 4sseqtri 3978 . . . . . 6 {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀))
7 allbutfiinf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐴)
8 allbutfiinf.a . . . . . . . 8 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
94, 8allbutfi 43564 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
107, 9sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
11 nfrab1 3424 . . . . . . . . 9 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
12 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑛
1311, 12nfne 3043 . . . . . . . 8 𝑛{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅
14 rabid 3425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1514bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1615biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
1716ne0d 4293 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
1817ex 413 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
1913, 18rexlimi 3240 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅))
2110, 20mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12849 . . . . 5 (({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
236, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
243, 23eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵})
251, 24sselid 3940 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
26 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛
27 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛 <
2811, 26, 27nfinf 9414 . . . . . . 7 𝑛inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
292, 28nfcxfr 2903 . . . . . 6 𝑛𝑁
30 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑛𝑍
31 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛
3231, 29nffv 6849 . . . . . . 7 𝑛(ℤ𝑁)
33 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑛 𝑋𝐵
3432, 33nfralw 3292 . . . . . 6 𝑛𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵
35 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑛)
36 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑚
37 nfra1 3265 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵
38 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑍
3937, 38nfrabw 3438 . . . . . . . . . 10 𝑚{𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}
40 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚
41 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚 <
4239, 40, 41nfinf 9414 . . . . . . . . 9 𝑚inf({𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵}, ℝ, < )
432, 42nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑚𝑁
4436, 43nffv 6849 . . . . . . 7 𝑚(ℤ𝑁)
45 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑁))
4635, 44, 45raleqd 43289 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4729, 30, 34, 46elrabf 3639 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} ↔ (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4847biimpi 215 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
4948simprd 496 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑛𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5024, 49syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵)
5125, 50jca 512 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405  wss 3908  c0 4280   ciun 4952   ciin 4953  cfv 6493  infcinf 9373  cr 11046   < clt 11185  cuz 12759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator