Theorem allbutfiinf 46175

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
allbutfiinf.a	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
allbutfiinf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
allbutfiinf.n	⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑛)   𝐴(𝑚, 𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚, 𝑛)   𝑁(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4037	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ 𝑍
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ))
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	1, 4	sseqtri 3988	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
9	4, 8	allbutfi 46149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
11		nfrab1 3439	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
12		nfcv 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∅
13	11, 12	nfne 3064	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅
14		rabid 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	bicomi 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
17	16	ne0d 4298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
18	17	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
19	13, 18	rexlimi 3268	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
21	10, 20	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12974	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
23	6, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
24	3, 23	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
25	1, 24	sselid 3938	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
26		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
27		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 <
28	11, 26, 27	nfinf 9453	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
29	2, 28	nfcxfr 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
30		nfcv 2928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
31		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℤ≥
32	31, 29	nffv 6898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑁)
33		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑋 ∈ 𝐵
34	32, 33	nfralw 3315	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵
35		nfcv 2928	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑛)
36		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚ℤ≥
37		nfra1 3292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵
38		nfcv 2928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
39	37, 38	nfrabw 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
40		nfcv 2928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
41		nfcv 2928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 <
42	39, 40, 41	nfinf 9453	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
43	2, 42	nfcxfr 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝑁
44	36, 43	nffv 6898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑁)
45		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑁))
46	35, 44, 45	raleqd 45896	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
47	29, 30, 34, 46	elrabf 3650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
48	47	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
49	48	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
50	24, 49	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
51	25, 50	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {crab 3419   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∪ ciun 4961  ∩ ciin 4962  ‘cfv 6543  infcinf 9411  ℝcr 11117   < clt 11261  ℤ_≥cuz 12880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881

This theorem is used by: (None)