Theorem allbutfiinf 42585

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from 𝑁 on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
allbutfiinf.a	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
allbutfiinf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
allbutfiinf.n	⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3983	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ 𝑍
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ))
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	1, 4	sseqtri 3927	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝐵
9	4, 8	allbutfi 42558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵)
11		nfrab1 3289	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
12		nfcv 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∅
13	11, 12	nfne 3035	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅
14		rabid 3283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	bicomi 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
16	15	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑛 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
17	16	ne0d 4240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
18	17	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
19	13, 18	rexlimi 3227	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅))
21	10, 20	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12511	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
23	6, 21, 22	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
24	3, 23	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵})
25	1, 24	sseldi 3889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
26		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
27		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 <
28	11, 26, 27	nfinf 9087	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
29	2, 28	nfcxfr 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
30		nfcv 2900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
31		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℤ≥
32	31, 29	nffv 6716	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑁)
33		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑋 ∈ 𝐵
34	32, 33	nfralw 3140	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵
35		nfcv 2900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑛)
36		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚ℤ≥
37		nfra1 3133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵
38		nfcv 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
39	37, 38	nfrabw 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}
40		nfcv 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
41		nfcv 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 <
42	39, 40, 41	nfinf 9087	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚inf({𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵}, ℝ, < )
43	2, 42	nfcxfr 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝑁
44	36, 43	nffv 6716	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(ℤ≥‘𝑁)
45		fveq2 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑁))
46	35, 44, 45	raleqd 42311	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
47	29, 30, 34, 46	elrabf 3591	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
48	47	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))
49	48	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ 𝑍 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑋 ∈ 𝐵} → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
50	24, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵)
51	25, 50	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)𝑋 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  {crab 3058   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  ∪ ciun 4894  ∩ ciin 4895  ‘cfv 6369  infcinf 9046  ℝcr 10711   < clt 10850  ℤ_≥cuz 12421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-inf 9048  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422

This theorem is referenced by: (None)