Theorem smfinf 47205

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinf.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfinf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfinf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfinf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfinf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfinf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
6		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfinf.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6854	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4981	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)
14		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
16		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
17		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
18	10, 17	nffv 6854	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
19	15, 16, 18	nfbr 5147	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
20	7, 19	nfralw 3285	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
21	14, 20	nfrexw 3286	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
22		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfinf.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6854	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4993	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq2d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
33	32	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
35		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
36		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
37		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
38	25, 37	nffv 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
39	35, 36, 38	nfbr 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
40	27	fveq1d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq2d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
42	34, 39, 41	cbvralw 3280	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
44	33, 43	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
45	44	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
46		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
47	46	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
48	47	cbvrexvw 3217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
50	45, 49	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3892	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
52	5, 51	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
53		smfinf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3421	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
55	5, 54	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 18	nfmpt 5198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfinf 9400	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 38, 40	cbvmpt 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	infeq1d 9395	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5200	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfinflem 47204	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  ∩ ciin 4949   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5634  ran crn 5635  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  infcinf 9358  ℝcr 11039   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  SAlgcsalg 46695  SMblFncsmblfn 47082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-ac2 10387  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-ac 10040  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-word 14451  df-concat 14508  df-s1 14534  df-s2 14785  df-s3 14786  df-s4 14787  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-rest 17356  df-topgen 17377  df-top 22855  df-bases 22907  df-salg 46696  df-salgen 46700  df-smblfn 47083

This theorem is referenced by:  smfinfmpt  47206