Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinf 42977
 Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinf.n 𝑛𝐹
smfinf.x 𝑥𝐹
smfinf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinf (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf
Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfinf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfinf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfinf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfinf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfinf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
6 nfcv 2982 . . . 4 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
7 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥𝑍
8 smfinf.x . . . . . . 7 𝑥𝐹
9 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑚
108, 9nffv 6679 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5822 . . . . 5 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4947 . . . 4 𝑥 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
13 nfv 1908 . . . 4 𝑤𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)
14 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥
15 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑧
16 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥
17 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
1810, 17nffv 6679 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤)
1915, 16, 18nfbr 5110 . . . . . 6 𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
207, 19nfral 3231 . . . . 5 𝑥𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
2114, 20nfrex 3314 . . . 4 𝑥𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
22 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑚dom (𝐹𝑛)
23 smfinf.n . . . . . . . 8 𝑛𝐹
24 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑛𝑚
2523, 24nffv 6679 . . . . . . 7 𝑛(𝐹𝑚)
2625nfdm 5822 . . . . . 6 𝑛dom (𝐹𝑚)
27 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
2827dmeqd 5773 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
2922, 26, 28cbviin 4959 . . . . 5 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
3029a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
31 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
3231breq2d 5075 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
3332ralbidv 3202 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
34 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)
35 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
36 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑛
37 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑤
3825, 37nffv 6679 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤)
3935, 36, 38nfbr 5110 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
4027fveq1d 6671 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4140breq2d 5075 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4234, 39, 41cbvral 3451 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4433, 43bitrd 280 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4544rexbidv 3302 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
46 breq1 5066 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4746ralbidv 3202 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4847cbvrexv 3459 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4948a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
5045, 49bitrd 280 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
516, 12, 13, 21, 30, 50cbvrabcsf 3932 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)}
525, 51eqtri 2849 . 2 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)}
53 smfinf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54 nfrab1 3390 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
555, 54nfcxfr 2980 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2982 . . . 4 𝑤𝐷
57 nfcv 2982 . . . 4 𝑤inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
587, 18nfmpt 5160 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
5958nfrn 5823 . . . . 5 𝑥ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
60 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥 <
6159, 14, 60nfinf 8940 . . . 4 𝑥inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
6231mpteq2dv 5159 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
63 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤)
6463, 38, 40cbvmpt 5164 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6662, 65eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6766rneqd 5807 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6867infeq1d 8935 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
6955, 56, 57, 61, 68cbvmptf 5162 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
7053, 69eqtri 2849 . 2 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
711, 2, 3, 4, 52, 70smfinflem 42976 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2966  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  {crab 3147  ∩ ciin 4918   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  infcinf 8899  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  SAlgcsalg 42478  SMblFncsmblfn 42862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-s4 14207  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21437  df-bases 21489  df-salg 42479  df-salgen 42483  df-smblfn 42863 This theorem is referenced by:  smfinfmpt  42978
 Copyright terms: Public domain W3C validator