Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinf 41667
Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinf.n 𝑛𝐹
smfinf.x 𝑥𝐹
smfinf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinf (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf
Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfinf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfinf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfinf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfinf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfinf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
6 nfcv 2907 . . . 4 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
7 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥𝑍
8 smfinf.x . . . . . . 7 𝑥𝐹
9 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑚
108, 9nffv 6387 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5538 . . . . 5 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4707 . . . 4 𝑥 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
13 nfv 2009 . . . 4 𝑤𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)
14 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥
15 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑧
16 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥
17 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
1810, 17nffv 6387 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤)
1915, 16, 18nfbr 4858 . . . . . 6 𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
207, 19nfral 3092 . . . . 5 𝑥𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
2114, 20nfrex 3153 . . . 4 𝑥𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
22 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑚dom (𝐹𝑛)
23 smfinf.n . . . . . . . 8 𝑛𝐹
24 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛𝑚
2523, 24nffv 6387 . . . . . . 7 𝑛(𝐹𝑚)
2625nfdm 5538 . . . . . 6 𝑛dom (𝐹𝑚)
27 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
2827dmeqd 5496 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
2922, 26, 28cbviin 4716 . . . . 5 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
3029a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
31 fveq2 6377 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
3231breq2d 4823 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
3332ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
34 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤)
35 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
36 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛
37 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑤
3825, 37nffv 6387 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤)
3935, 36, 38nfbr 4858 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)
4027fveq1d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4140breq2d 4823 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4234, 39, 41cbvral 3315 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4433, 43bitrd 270 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4544rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
46 breq1 4814 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4746ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
4847cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4948a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
5045, 49bitrd 270 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
516, 12, 13, 21, 30, 50cbvrabcsf 3728 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)}
525, 51eqtri 2787 . 2 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹𝑚)‘𝑤)}
53 smfinf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
555, 54nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2907 . . . 4 𝑤𝐷
57 nfcv 2907 . . . 4 𝑤inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
587, 18nfmpt 4907 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
5958nfrn 5539 . . . . 5 𝑥ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
60 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥 <
6159, 14, 60nfinf 8597 . . . 4 𝑥inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
6231mpteq2dv 4906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
63 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤)
6463, 38, 40cbvmpt 4910 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6662, 65eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6766rneqd 5523 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6867infeq1d 8592 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
6955, 56, 57, 61, 68cbvmptf 4909 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
7053, 69eqtri 2787 . 2 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ inf(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
711, 2, 3, 4, 52, 70smfinflem 41666 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059   ciin 4679   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  infcinf 8556  cr 10190   < clt 10330  cle 10331  cz 11626  cuz 11889  SAlgcsalg 41168  SMblFncsmblfn 41552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-ac2 9540  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-ac 9192  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545  df-s1 13570  df-s2 13880  df-s3 13881  df-s4 13882  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-rest 16352  df-topgen 16373  df-top 20981  df-bases 21033  df-salg 41169  df-salgen 41173  df-smblfn 41553
This theorem is referenced by:  smfinfmpt  41668
  Copyright terms: Public domain W3C validator