Theorem smfinf 47269

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinf.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfinf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfinf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfinf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfinf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfinf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
6		nfcv 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfinf.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6838	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)
14		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
16		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
17		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
18	10, 17	nffv 6838	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
19	15, 16, 18	nfbr 5120	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
20	7, 19	nfralw 3286	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
21	14, 20	nfrexw 3287	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
22		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfinf.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6838	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5848	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4966	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq2d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
33	32	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
35		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
36		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
37		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
38	25, 37	nffv 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
39	35, 36, 38	nfbr 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
40	27	fveq1d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq2d 5085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
42	34, 39, 41	cbvralw 3281	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
44	33, 43	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
45	44	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
46		breq1 5076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
47	46	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
48	47	cbvrexvw 3218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
50	45, 49	bitrd 280	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3872	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
52	5, 51	eqtri 2762	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
53		smfinf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3411	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
55	5, 54	nfcxfr 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 18	nfmpt 5171	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfinf 9387	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 38, 40	cbvmpt 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	infeq1d 9382	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5173	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2762	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfinflem 47268	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  ∩ ciin 4923   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ran crn 5620  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  infcinf 9345  ℝcr 11029   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  SAlgcsalg 46759  SMblFncsmblfn 47146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-s2 14802  df-s3 14803  df-s4 14804  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22878  df-bases 22930  df-salg 46760  df-salgen 46764  df-smblfn 47147

This theorem is referenced by:  smfinfmpt  47270