Theorem smfinf 46809

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinf.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfinf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfinf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfinf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfinf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfinf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
6		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfinf.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4984	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)
14		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
16		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
17		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
18	10, 17	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
19	15, 16, 18	nfbr 5149	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
20	7, 19	nfralw 3283	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
21	14, 20	nfrexw 3284	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
22		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfinf.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5859	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4996	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
33	32	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
35		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
36		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
37		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
38	25, 37	nffv 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
39	35, 36, 38	nfbr 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
40	27	fveq1d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq2d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
42	34, 39, 41	cbvralw 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
44	33, 43	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
45	44	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
46		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
47	46	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
48	47	cbvrexvw 3214	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
50	45, 49	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3900	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
52	5, 51	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
53		smfinf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3423	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
55	5, 54	nfcxfr 2889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 18	nfmpt 5200	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfinf 9410	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 38, 40	cbvmpt 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	infeq1d 9405	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5202	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfinflem 46808	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  infcinf 9368  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  SAlgcsalg 46299  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-s4 14792  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22814  df-bases 22866  df-salg 46300  df-salgen 46304  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by:  smfinfmpt  46810