Theorem smfinf 47083

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinf.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfinf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfinf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfinf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfinf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfinf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
6		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfinf.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6844	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4979	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)
14		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
16		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
17		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
18	10, 17	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
19	15, 16, 18	nfbr 5145	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
20	7, 19	nfralw 3283	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
21	14, 20	nfrexw 3284	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
22		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfinf.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4991	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq2d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
33	32	ralbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
35		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
36		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
37		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
38	25, 37	nffv 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
39	35, 36, 38	nfbr 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
40	27	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
42	34, 39, 41	cbvralw 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
44	33, 43	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
45	44	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
46		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
47	46	ralbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
48	47	cbvrexvw 3215	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
50	45, 49	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3890	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
52	5, 51	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
53		smfinf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3419	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
55	5, 54	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 18	nfmpt 5196	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfinf 9388	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 38, 40	cbvmpt 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	infeq1d 9383	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5198	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfinflem 47082	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  ∩ ciin 4947   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  infcinf 9346  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  SAlgcsalg 46573  SMblFncsmblfn 46960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-ac2 10375  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14522  df-s2 14773  df-s3 14774  df-s4 14775  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-top 22840  df-bases 22892  df-salg 46574  df-salgen 46578  df-smblfn 46961

This theorem is referenced by:  smfinfmpt  47084