Theorem nfsup 9402

Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfsup.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfsup.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfsup.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfsup	⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsup2 9395	. 2 ⊢ sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = ∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
2		nfsup.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfsup.3	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
4	3	nfcnv 5842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
5		nfsup.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	4, 5	nfima 6039	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝑅 “ 𝐴)
7	2, 6	nfdif 4092	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	nfima 6039	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))
9	6, 8	nfun 4133	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))))
10	2, 9	nfdif 4092	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
11	10	nfuni 4878	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
12	1, 11	nfcxfr 2889	1 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2876   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  supcsup 9391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-sup 9393

This theorem is referenced by:  nfinf  9434  itg2cnlem1  25662  esum2d  34083  nfwlim  35810  totbndbnd  37783  aomclem8  43050  binomcxplemdvbinom  44342  binomcxplemdvsum  44344  binomcxplemnotnn0  44345  ssfiunibd  45307  uzub  45427  limsupubuz  45711  fourierdlem20  46125  fourierdlem31  46136  fourierdlem79  46183  sge0ltfirp  46398  pimdecfgtioc  46713  decsmflem  46764  smfsup  46812  smfsupxr  46814  smflimsup  46826