Theorem nfsup 9335

Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfsup.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfsup.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfsup.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfsup	⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsup2 9328	. 2 ⊢ sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = ∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
2		nfsup.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfsup.3	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
4	3	nfcnv 5817	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
5		nfsup.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	4, 5	nfima 6016	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝑅 “ 𝐴)
7	2, 6	nfdif 4076	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	nfima 6016	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))
9	6, 8	nfun 4117	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))))
10	2, 9	nfdif 4076	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
11	10	nfuni 4863	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
12	1, 11	nfcxfr 2892	1 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2879   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895  ∪ cuni 4856  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  supcsup 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-sup 9326

This theorem is referenced by:  nfinf  9367  itg2cnlem1  25689  esum2d  34106  nfwlim  35864  totbndbnd  37828  aomclem8  43153  binomcxplemdvbinom  44445  binomcxplemdvsum  44447  binomcxplemnotnn0  44448  ssfiunibd  45409  uzub  45528  limsupubuz  45810  fourierdlem20  46224  fourierdlem31  46235  fourierdlem79  46282  sge0ltfirp  46497  pimdecfgtioc  46812  decsmflem  46863  smfsup  46911  smfsupxr  46913  smflimsup  46925