MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfsup 9446
Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfsup.1 𝑥𝐴
nfsup.2 𝑥𝐵
nfsup.3 𝑥𝑅
Assertion
Ref Expression
nfsup 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup
StepHypRef Expression
1 dfsup2 9439 . 2 sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
2 nfsup.2 . . . 4 𝑥𝐵
3 nfsup.3 . . . . . . 7 𝑥𝑅
43nfcnv 5879 . . . . . 6 𝑥𝑅
5 nfsup.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
64, 5nfima 6068 . . . . 5 𝑥(𝑅𝐴)
72, 6nfdif 4126 . . . . . 6 𝑥(𝐵 ∖ (𝑅𝐴))
83, 7nfima 6068 . . . . 5 𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))
96, 8nfun 4166 . . . 4 𝑥((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴))))
102, 9nfdif 4126 . . 3 𝑥(𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
1110nfuni 4916 . 2 𝑥 (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
121, 11nfcxfr 2902 1 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wnfc 2884  cdif 3946  cun 3947   cuni 4909  ccnv 5676  cima 5680  supcsup 9435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-sup 9437
This theorem is referenced by:  nfinf  9477  itg2cnlem1  25279  esum2d  33091  nfwlim  34794  totbndbnd  36657  aomclem8  41803  binomcxplemdvbinom  43112  binomcxplemdvsum  43114  binomcxplemnotnn0  43115  ssfiunibd  44019  uzub  44141  limsupubuz  44429  fourierdlem20  44843  fourierdlem31  44854  fourierdlem79  44901  sge0ltfirp  45116  pimdecfgtioc  45431  decsmflem  45482  smfsup  45530  smfsupxr  45532  smflimsup  45544
  Copyright terms: Public domain W3C validator