Theorem nfsup 9473

Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfsup.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfsup.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfsup.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfsup	⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsup2 9466	. 2 ⊢ sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = ∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
2		nfsup.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfsup.3	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
4	3	nfcnv 5864	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
5		nfsup.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	4, 5	nfima 6077	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝑅 “ 𝐴)
7	2, 6	nfdif 4069	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	nfima 6077	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))
9	6, 8	nfun 4172	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))))
10	2, 9	nfdif 4069	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
11	10	nfuni 4877	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
12	1, 11	nfcxfr 2924	1 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  Ⅎwnfc 2911   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  supcsup 9462

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-sup 9464

This theorem is used by:  nfinf  9505  itg2cnlem1  26115  esum2d  34808  nfwlim  36775  totbndbnd  38926  aomclem8  44267  binomcxplemdvbinom  45540  binomcxplemdvsum  45542  binomcxplemnotnn0  45543  ssfiunibd  46540  uzub  46656  limsupubuz  46938  fourierdlem20  47352  fourierdlem31  47363  fourierdlem79  47410  sge0ltfirp  47625  pimdecfgtioc  47940  decsmflem  47991  smfsup  48039  smfsupxr  48041  smflimsup  48053