MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfsup 9445
Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfsup.1 𝑥𝐴
nfsup.2 𝑥𝐵
nfsup.3 𝑥𝑅
Assertion
Ref Expression
nfsup 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup
StepHypRef Expression
1 dfsup2 9438 . 2 sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
2 nfsup.2 . . . 4 𝑥𝐵
3 nfsup.3 . . . . . . 7 𝑥𝑅
43nfcnv 5878 . . . . . 6 𝑥𝑅
5 nfsup.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
64, 5nfima 6067 . . . . 5 𝑥(𝑅𝐴)
72, 6nfdif 4125 . . . . . 6 𝑥(𝐵 ∖ (𝑅𝐴))
83, 7nfima 6067 . . . . 5 𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))
96, 8nfun 4165 . . . 4 𝑥((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴))))
102, 9nfdif 4125 . . 3 𝑥(𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
1110nfuni 4915 . 2 𝑥 (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
121, 11nfcxfr 2901 1 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wnfc 2883  cdif 3945  cun 3946   cuni 4908  ccnv 5675  cima 5679  supcsup 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-sup 9436
This theorem is referenced by:  nfinf  9476  itg2cnlem1  25278  esum2d  33086  nfwlim  34789  totbndbnd  36652  aomclem8  41793  binomcxplemdvbinom  43102  binomcxplemdvsum  43104  binomcxplemnotnn0  43105  ssfiunibd  44009  uzub  44131  limsupubuz  44419  fourierdlem20  44833  fourierdlem31  44844  fourierdlem79  44891  sge0ltfirp  45106  pimdecfgtioc  45421  decsmflem  45472  smfsup  45520  smfsupxr  45522  smflimsup  45534
  Copyright terms: Public domain W3C validator