MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfsup 9489
Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfsup.1 𝑥𝐴
nfsup.2 𝑥𝐵
nfsup.3 𝑥𝑅
Assertion
Ref Expression
nfsup 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup
StepHypRef Expression
1 dfsup2 9482 . 2 sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
2 nfsup.2 . . . 4 𝑥𝐵
3 nfsup.3 . . . . . . 7 𝑥𝑅
43nfcnv 5892 . . . . . 6 𝑥𝑅
5 nfsup.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
64, 5nfima 6088 . . . . 5 𝑥(𝑅𝐴)
72, 6nfdif 4139 . . . . . 6 𝑥(𝐵 ∖ (𝑅𝐴))
83, 7nfima 6088 . . . . 5 𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))
96, 8nfun 4180 . . . 4 𝑥((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴))))
102, 9nfdif 4139 . . 3 𝑥(𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
1110nfuni 4919 . 2 𝑥 (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
121, 11nfcxfr 2901 1 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wnfc 2888  cdif 3960  cun 3961   cuni 4912  ccnv 5688  cima 5692  supcsup 9478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-sup 9480
This theorem is referenced by:  nfinf  9520  itg2cnlem1  25811  esum2d  34074  nfwlim  35804  totbndbnd  37776  aomclem8  43050  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemdvsum  44351  binomcxplemnotnn0  44352  ssfiunibd  45260  uzub  45381  limsupubuz  45669  fourierdlem20  46083  fourierdlem31  46094  fourierdlem79  46141  sge0ltfirp  46356  pimdecfgtioc  46671  decsmflem  46722  smfsup  46770  smfsupxr  46772  smflimsup  46784
  Copyright terms: Public domain W3C validator