Theorem nfsup 9421

Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfsup.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfsup.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfsup.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfsup	⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsup2 9414	. 2 ⊢ sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = ∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
2		nfsup.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfsup.3	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
4	3	nfcnv 5858	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
5		nfsup.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	4, 5	nfima 6064	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝑅 “ 𝐴)
7	2, 6	nfdif 4077	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	nfima 6064	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))
9	6, 8	nfun 4117	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))))
10	2, 9	nfdif 4077	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
11	10	nfuni 4874	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
12	1, 11	nfcxfr 2920	1 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  Ⅎwnfc 2907   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  supcsup 9410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-sup 9412

This theorem is used by:  nfinf  9453  itg2cnlem1  25989  esum2d  34603  nfwlim  36399  totbndbnd  38539  aomclem8  43902  binomcxplemdvbinom  45177  binomcxplemdvsum  45179  binomcxplemnotnn0  45180  ssfiunibd  46142  uzub  46259  limsupubuz  46541  fourierdlem20  46955  fourierdlem31  46966  fourierdlem79  47013  sge0ltfirp  47228  pimdecfgtioc  47543  decsmflem  47594  smfsup  47642  smfsupxr  47644  smflimsup  47656