MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfsup 9383
Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfsup.1 𝑥𝐴
nfsup.2 𝑥𝐵
nfsup.3 𝑥𝑅
Assertion
Ref Expression
nfsup 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup
StepHypRef Expression
1 dfsup2 9376 . 2 sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
2 nfsup.2 . . . 4 𝑥𝐵
3 nfsup.3 . . . . . . 7 𝑥𝑅
43nfcnv 5832 . . . . . 6 𝑥𝑅
5 nfsup.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
64, 5nfima 6019 . . . . 5 𝑥(𝑅𝐴)
72, 6nfdif 4083 . . . . . 6 𝑥(𝐵 ∖ (𝑅𝐴))
83, 7nfima 6019 . . . . 5 𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))
96, 8nfun 4123 . . . 4 𝑥((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴))))
102, 9nfdif 4083 . . 3 𝑥(𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
1110nfuni 4870 . 2 𝑥 (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
121, 11nfcxfr 2903 1 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wnfc 2885  cdif 3905  cun 3906   cuni 4863  ccnv 5630  cima 5634  supcsup 9372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-sup 9374
This theorem is referenced by:  nfinf  9414  itg2cnlem1  25110  esum2d  32561  nfwlim  34267  totbndbnd  36215  aomclem8  41326  binomcxplemdvbinom  42575  binomcxplemdvsum  42577  binomcxplemnotnn0  42578  ssfiunibd  43479  uzub  43602  limsupubuz  43886  fourierdlem20  44300  fourierdlem31  44311  fourierdlem79  44358  sge0ltfirp  44573  pimdecfgtioc  44888  decsmflem  44939  smfsup  44987  smfsupxr  44989  smflimsup  45001
  Copyright terms: Public domain W3C validator