Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem31 46094
Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i 𝑖𝜑
fourierdlem31.r 𝑟𝜑
fourierdlem31.iv 𝑖𝑉
fourierdlem31.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12275 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 rzal 4515 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑖𝐴 𝜒)
32ralrimivw 3148 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
4 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
54raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
65rspcev 3622 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
71, 3, 6sylancr 587 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
87adantl 481 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
9 fourierdlem31.n . . . 4 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10 fourierdlem31.i . . . . . . 7 𝑖𝜑
11 fourierdlem31.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
12 fourierdlem31.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
1413infeq1d 9515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
15 ssrab2 4090 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
16 nnuz 12919 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16sseqtri 4032 . . . . . . . . . 10 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1)
18 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
1918r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
20 rabn0 4395 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
2119, 20sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12972 . . . . . . . . . 10 (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2317, 21, 22sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2415, 23sselid 3993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2514, 24eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2610, 11, 25rnmptssd 45139 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
28 ltso 11339 . . . . . . 7 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
30 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
31 mptfi 9389 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3311, 32eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
34 rnfi 9378 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
37 neqne 2946 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
38 n0 4359 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝐴)
3937, 38sylib 218 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖𝐴)
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖𝐴)
41 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
4210, 41nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
43 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10 𝑖𝑉
4443nfrn 5966 . . . . . . . . 9 𝑖ran 𝑉
45 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑖
4644, 45nfne 3041 . . . . . . . 8 𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
4811elrnmpt1 5974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
4947, 25, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5049ne0d 4348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
5150ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5342, 46, 52exlimd 2216 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5440, 53mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
55 nnssre 12268 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
5627, 55sstrdi 4008 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
57 fisupcl 9507 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5829, 36, 54, 56, 57syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5927, 58sseldd 3996 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
609, 59eqeltrid 2843 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
61 fourierdlem31.r . . . . 5 𝑟𝜑
62 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖
63 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 <
6444, 62, 63nfsup 9489 . . . . . . . . . . 11 𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
659, 64nfcxfr 2901 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑁
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖(,)
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖+∞
6865, 66, 67nfov 7461 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑁(,)+∞)
6968nfcri 2895 . . . . . . . 8 𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
7010, 69nfan 1897 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
7111fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7247, 25, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7325nnxrd 45224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
7472, 73eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
78 elioore 13414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8072, 25eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℕ)
8180nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
83 ne0i 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝐴𝐴 ≠ ∅)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
8584neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
8685, 60syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
8786nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8985, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
9026, 55sstrdi 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
91 fimaxre2 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9290, 35, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9472, 49eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉)
95 suprub 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥) ∧ (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9689, 50, 93, 94, 95syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9796, 9breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9988rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
100 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
101 ioogtlb 45448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10299, 77, 100, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10382, 88, 79, 98, 102lelttrd 11417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) < 𝑟)
10479ltpnfd 13161 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
10575, 77, 79, 103, 104eliood 45451 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞))
10614, 23eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
10772, 106eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
108 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝐴
109 nfrab1 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
11012, 109nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑀
111 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚
112 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 <
113110, 111, 112nfinf 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
114108, 113nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
11511, 114nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑉
116 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑖
117115, 116nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑉𝑖)
118117, 109nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
119117nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑉𝑖) ∈ ℕ
120 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(,)
121 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚+∞
122117, 120, 121nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝑉𝑖)(,)+∞)
123 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝜒
124122, 123nfralw 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒
125119, 124nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
126118, 125nfbi 1901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
127 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
128 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉𝑖) ∈ ℕ))
129 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞))
130 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟(𝑚(,)+∞)
131 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟𝐴
132 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
133 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟
134132, 133nfrabw 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13512, 134nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟𝑀
136 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟
137 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟 <
138135, 136, 137nfinf 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
139131, 138nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑟(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
14011, 139nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑉
141 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑖
142140, 141nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(𝑉𝑖)
143 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(,)
144 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟+∞
145142, 143, 144nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟((𝑉𝑖)(,)+∞)
146130, 145raleqf 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
147129, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
148128, 147anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
149127, 148bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))))
150 rabid 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
151117, 126, 149, 150vtoclgf 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
15280, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
153107, 152mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
154153simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
155154r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
156105, 155syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
157156an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝜒)
158157ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖𝐴𝜒))
15970, 158ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖𝐴 𝜒)
160159ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖𝐴 𝜒))
16161, 160ralrimi 3255 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
162161adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
163 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
164 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑟(𝑛(,)+∞)
165140nfrn 5966 . . . . . . . . 9 𝑟ran 𝑉
166165, 136, 137nfsup 9489 . . . . . . . 8 𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
1679, 166nfcxfr 2901 . . . . . . 7 𝑟𝑁
168167, 143, 144nfov 7461 . . . . . 6 𝑟(𝑁(,)+∞)
169164, 168raleqf 3351 . . . . 5 ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
170163, 169syl 17 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
171170rspcev 3622 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
17260, 162, 171syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
1738, 172pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Or wor 5596  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  infcinf 9479  cr 11152  1c1 11154  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  cuz 12876  (,)cioo 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46135
  Copyright terms: Public domain W3C validator