Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem31 40835
Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i 𝑖𝜑
fourierdlem31.r 𝑟𝜑
fourierdlem31.iv 𝑖𝑉
fourierdlem31.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 11319 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 rzal 4275 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑖𝐴 𝜒)
32ralrimivw 3162 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
4 oveq1 6884 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
54raleqdv 3340 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
65rspcev 3509 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
71, 3, 6sylancr 577 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
87adantl 469 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
9 fourierdlem31.n . . . 4 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10 fourierdlem31.i . . . . . . . 8 𝑖𝜑
11 fourierdlem31.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
1312infeq1d 8625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
14 ssrab2 3891 . . . . . . . . . . 11 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
15 nnuz 11944 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15sseqtri 3841 . . . . . . . . . . . 12 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1)
17 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
1817r19.21bi 3127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
19 rabn0 4165 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
2018, 19sylibr 225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
21 infssuzcl 11994 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2216, 20, 21sylancr 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2314, 22sseldi 3803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2413, 23eqeltrd 2892 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2524ex 399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝐴 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ))
2610, 25ralrimi 3152 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖𝐴 inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
27 fourierdlem31.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
2827rnmptss 6617 . . . . . . 7 (∀𝑖𝐴 inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
3029adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
31 ltso 10406 . . . . . . 7 < Or ℝ
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
33 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
34 mptfi 8507 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3627, 35syl5eqel 2896 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
37 rnfi 8491 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
3938adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
40 neqne 2993 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
41 n0 4139 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝐴)
4240, 41sylib 209 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖𝐴)
4342adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖𝐴)
44 nfv 2005 . . . . . . . . 9 𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
4510, 44nfan 1990 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
46 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10 𝑖𝑉
4746nfrn 5576 . . . . . . . . 9 𝑖ran 𝑉
48 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑖
4947, 48nfne 3085 . . . . . . . 8 𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
50 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
5127elrnmpt1 5582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5250, 24, 51syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5352ne0d 4130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
5453ex 399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5554adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5645, 49, 55exlimd 2255 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5743, 56mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
58 nnssre 11312 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
5930, 58syl6ss 3817 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
60 fisupcl 8617 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
6132, 39, 57, 59, 60syl13anc 1484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
6230, 61sseldd 3806 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
639, 62syl5eqel 2896 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
64 fourierdlem31.r . . . . 5 𝑟𝜑
65 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . 12 𝑖
66 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 <
6747, 65, 66nfsup 8599 . . . . . . . . . . 11 𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
689, 67nfcxfr 2953 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑁
69 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑖(,)
70 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑖+∞
7168, 69, 70nfov 6907 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑁(,)+∞)
7271nfcri 2949 . . . . . . . 8 𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
7310, 72nfan 1990 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
7427fvmpt2 6515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7550, 24, 74syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7624nnxrd 39696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
7775, 76eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
7877adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
79 pnfxr 10380 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
81 elioore 12426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
8281adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8375, 24eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℕ)
8483nnred 11323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8584adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
86 ne0i 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝐴𝐴 ≠ ∅)
8786adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
8887neneqd 2990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
8988, 63syldan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
9089nnred 11323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
9190adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9288, 59syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
9329, 58syl6ss 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
94 fimaxre2 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9593, 38, 94syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9695adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9775, 52eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉)
98 suprub 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥) ∧ (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9992, 53, 96, 97, 98syl31anc 1485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
10099, 9syl6breqr 4893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
101100adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
10291rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
103 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
104 ioogtlb 40202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
105102, 80, 103, 104syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10685, 91, 82, 101, 105lelttrd 10483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) < 𝑟)
10782ltpnfd 12174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
10878, 80, 82, 106, 107eliood 40205 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞))
10913, 22eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
11075, 109eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
111 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝐴
112 nfrab1 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
11311, 112nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑀
114 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚
115 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 <
116113, 114, 115nfinf 8630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
117111, 116nfmpt 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
11827, 117nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑉
119 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑖
120118, 119nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑉𝑖)
121120, 112nfel 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
122120nfel1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑉𝑖) ∈ ℕ
123 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(,)
124 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚+∞
125120, 123, 124nfov 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝑉𝑖)(,)+∞)
126 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝜒
127125, 126nfral 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒
128122, 127nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
129121, 128nfbi 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
130 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
131 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉𝑖) ∈ ℕ))
132 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞))
133 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟(𝑚(,)+∞)
134 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟𝐴
135 nfra1 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
136 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟
137135, 136nfrab 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13811, 137nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟𝑀
139 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟
140 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟 <
141138, 139, 140nfinf 8630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
142134, 141nfmpt 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑟(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
14327, 142nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑉
144 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑖
145143, 144nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(𝑉𝑖)
146 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(,)
147 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟+∞
148145, 146, 147nfov 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟((𝑉𝑖)(,)+∞)
149133, 148raleqf 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
150132, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
151131, 150anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
152130, 151bibi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))))
153 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
154120, 129, 152, 153vtoclgf 3464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
15583, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
156110, 155mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
157156simprd 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
158157r19.21bi 3127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
159108, 158syldan 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
160159an32s 634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝜒)
161160ex 399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖𝐴𝜒))
16273, 161ralrimi 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖𝐴 𝜒)
163162ex 399 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖𝐴 𝜒))
16464, 163ralrimi 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
165164adantr 468 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
166 oveq1 6884 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
167 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑟(𝑛(,)+∞)
168143nfrn 5576 . . . . . . . . 9 𝑟ran 𝑉
169168, 139, 140nfsup 8599 . . . . . . . 8 𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
1709, 169nfcxfr 2953 . . . . . . 7 𝑟𝑁
171170, 146, 147nfov 6907 . . . . . 6 𝑟(𝑁(,)+∞)
172167, 171raleqf 3330 . . . . 5 ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
173166, 172syl 17 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
174173rspcev 3509 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
17563, 165, 174syl2anc 575 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
1768, 175pm2.61dan 838 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wnf 1863  wcel 2157  wnfc 2942  wne 2985  wral 3103  wrex 3104  {crab 3107  wss 3776  c0 4123   class class class wbr 4851  cmpt 4930   Or wor 5238  ran crn 5319  cfv 6104  (class class class)co 6877  Fincfn 8195  supcsup 8588  infcinf 8589  cr 10223  1c1 10225  +∞cpnf 10359  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  cn 11308  cuz 11907  (,)cioo 12396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-ioo 12400
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40876
  Copyright terms: Public domain W3C validator