Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem31 46158
Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i 𝑖𝜑
fourierdlem31.r 𝑟𝜑
fourierdlem31.iv 𝑖𝑉
fourierdlem31.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12278 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 rzal 4508 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑖𝐴 𝜒)
32ralrimivw 3149 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
4 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
54raleqdv 3325 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
65rspcev 3621 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
71, 3, 6sylancr 587 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
87adantl 481 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
9 fourierdlem31.n . . . 4 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10 fourierdlem31.i . . . . . . 7 𝑖𝜑
11 fourierdlem31.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
12 fourierdlem31.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
1413infeq1d 9518 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
15 ssrab2 4079 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
16 nnuz 12922 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16sseqtri 4031 . . . . . . . . . 10 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1)
18 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
1918r19.21bi 3250 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
20 rabn0 4388 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
2119, 20sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12975 . . . . . . . . . 10 (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2317, 21, 22sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2415, 23sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2514, 24eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2610, 11, 25rnmptssd 45206 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
28 ltso 11342 . . . . . . 7 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
30 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
31 mptfi 9392 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3311, 32eqeltrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
34 rnfi 9381 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
37 neqne 2947 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
38 n0 4352 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝐴)
3937, 38sylib 218 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖𝐴)
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖𝐴)
41 nfv 1913 . . . . . . . . 9 𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
4210, 41nfan 1898 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
43 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10 𝑖𝑉
4443nfrn 5962 . . . . . . . . 9 𝑖ran 𝑉
45 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑖
4644, 45nfne 3042 . . . . . . . 8 𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
4811elrnmpt1 5970 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
4947, 25, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5049ne0d 4341 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
5150ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5342, 46, 52exlimd 2217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5440, 53mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
55 nnssre 12271 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
5627, 55sstrdi 3995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
57 fisupcl 9510 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5829, 36, 54, 56, 57syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5927, 58sseldd 3983 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
609, 59eqeltrid 2844 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
61 fourierdlem31.r . . . . 5 𝑟𝜑
62 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑖
63 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 <
6444, 62, 63nfsup 9492 . . . . . . . . . . 11 𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
659, 64nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑁
66 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑖(,)
67 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑖+∞
6865, 66, 67nfov 7462 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑁(,)+∞)
6968nfcri 2896 . . . . . . . 8 𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
7010, 69nfan 1898 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
7111fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7247, 25, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7325nnxrd 45290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
7472, 73eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 11316 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
78 elioore 13418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8072, 25eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℕ)
8180nnred 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
83 ne0i 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝐴𝐴 ≠ ∅)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
8584neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
8685, 60syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
8786nnred 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8985, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
9026, 55sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
91 fimaxre2 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9290, 35, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9472, 49eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉)
95 suprub 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥) ∧ (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9689, 50, 93, 94, 95syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9796, 9breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9988rexrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
100 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
101 ioogtlb 45513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10299, 77, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10382, 88, 79, 98, 102lelttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) < 𝑟)
10479ltpnfd 13164 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
10575, 77, 79, 103, 104eliood 45516 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞))
10614, 23eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
10772, 106eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
108 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝐴
109 nfrab1 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
11012, 109nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑀
111 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚
112 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 <
113110, 111, 112nfinf 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
114108, 113nfmpt 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
11511, 114nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑉
116 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑖
117115, 116nffv 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑉𝑖)
118117, 109nfel 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
119117nfel1 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑉𝑖) ∈ ℕ
120 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(,)
121 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚+∞
122117, 120, 121nfov 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝑉𝑖)(,)+∞)
123 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝜒
124122, 123nfralw 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒
125119, 124nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
126118, 125nfbi 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
127 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
128 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉𝑖) ∈ ℕ))
129 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞))
130 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟(𝑚(,)+∞)
131 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟𝐴
132 nfra1 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
133 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟
134132, 133nfrabw 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13512, 134nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟𝑀
136 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟
137 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟 <
138135, 136, 137nfinf 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
139131, 138nfmpt 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑟(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
14011, 139nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑉
141 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑖
142140, 141nffv 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(𝑉𝑖)
143 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(,)
144 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟+∞
145142, 143, 144nfov 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟((𝑉𝑖)(,)+∞)
146130, 145raleqf 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
147129, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
148128, 147anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
149127, 148bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))))
150 rabid 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
151117, 126, 149, 150vtoclgf 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
15280, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
153107, 152mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
154153simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
155154r19.21bi 3250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
156105, 155syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
157156an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝜒)
158157ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖𝐴𝜒))
15970, 158ralrimi 3256 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖𝐴 𝜒)
160159ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖𝐴 𝜒))
16161, 160ralrimi 3256 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
162161adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
163 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
164 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑟(𝑛(,)+∞)
165140nfrn 5962 . . . . . . . . 9 𝑟ran 𝑉
166165, 136, 137nfsup 9492 . . . . . . . 8 𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
1679, 166nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑟𝑁
168167, 143, 144nfov 7462 . . . . . 6 𝑟(𝑁(,)+∞)
169164, 168raleqf 3352 . . . . 5 ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
170163, 169syl 17 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
171170rspcev 3621 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
17260, 162, 171syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
1738, 172pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wnf 1782  wcel 2107  wnfc 2889  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cmpt 5224   Or wor 5590  ran crn 5685  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  supcsup 9481  infcinf 9482  cr 11155  1c1 11157  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cn 12267  cuz 12879  (,)cioo 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ioo 13392
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46199
  Copyright terms: Public domain W3C validator