Theorem fourierdlem31 43686

Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem31.i	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fourierdlem31.r	⊢ Ⅎ𝑟𝜑
fourierdlem31.iv	⊢ Ⅎ𝑖𝑉
fourierdlem31.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐴 ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m	⊢ 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n	⊢ 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem31	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11993	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		rzal 4440	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
3	2	ralrimivw 3105	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
4		oveq1 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
5	4	raleqdv 3349	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒))
6	5	rspcev 3562	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
7	1, 3, 6	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
9		fourierdlem31.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10		fourierdlem31.i	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		fourierdlem31.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
12		fourierdlem31.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
14	13	infeq1d 9245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
15		ssrab2 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
16		nnuz 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	sseqtri 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ≥‘1)
18		fourierdlem31.exm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐴 ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
19	18	r19.21bi 3135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
20		rabn0 4320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
22		infssuzcl 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
23	17, 21, 22	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
24	15, 23	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
25	14, 24	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
26	10, 11, 25	rnmptssd 42742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
28		ltso 11064	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
30		fourierdlem31.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
31		mptfi 9127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
33	11, 32	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
34		rnfi 9111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
37		neqne 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
38		n0 4281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ 𝐴)
39	37, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖 ∈ 𝐴)
41		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
42	10, 41	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
43		fourierdlem31.iv	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖𝑉
44	43	nfrn 5864	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖ran 𝑉
45		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∅
46	44, 45	nfne 3046	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
47		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
48	11	elrnmpt1 5870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
49	47, 25, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
50	49	ne0d 4270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
51	50	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖 ∈ 𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
53	42, 46, 52	exlimd 2212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖 ∈ 𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
54	40, 53	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
55		nnssre 11986	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
56	27, 55	sstrdi 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
57		fisupcl 9237	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
58	29, 36, 54, 56, 57	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
59	27, 58	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
60	9, 59	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
61		fourierdlem31.r	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑟𝜑
62		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖ℝ
63		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖 <
64	44, 62, 63	nfsup 9219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
65	9, 64	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖𝑁
66		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖(,)
67		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖+∞
68	65, 66, 67	nfov 7314	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑁(,)+∞)
69	68	nfcri 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
70	10, 69	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
71	11	fvmpt2 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉‘𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
72	47, 25, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
73	25	nnxrd 42592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
74	72, 73	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ*)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ*)
76		pnfxr 11038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
78		elioore 13118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
80	72, 25	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℕ)
81	80	nnred 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
83		ne0i 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
85	84	neneqd 2949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
86	85, 60	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
87	86	nnred 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89	85, 56	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
90	26, 55	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
91		fimaxre2 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦 ≤ 𝑥)
92	90, 35, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦 ≤ 𝑥)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦 ≤ 𝑥)
94	72, 49	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ∈ ran 𝑉)
95		suprub 11945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑉‘𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉‘𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
96	89, 50, 93, 94, 95	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
97	96, 9	breqtrrdi 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ≤ 𝑁)
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉‘𝑖) ≤ 𝑁)
99	88	rexrd 11034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
100		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
101		ioogtlb 43040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
102	99, 77, 100, 101	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
103	82, 88, 79, 98, 102	lelttrd 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉‘𝑖) < 𝑟)
104	79	ltpnfd 12866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
105	75, 77, 79, 103, 104	eliood 43043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞))
106	14, 23	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
107	72, 106	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
108		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
109		nfrab1 3318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
110	12, 109	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑚𝑀
111		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑚ℝ
112		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑚 <
113	110, 111, 112	nfinf 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
114	108, 113	nfmpt 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
115	11, 114	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚𝑉
116		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚𝑖
117	115, 116	nffv 6793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑉‘𝑖)
118	117, 109	nfel 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
119	117	nfel1 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑉‘𝑖) ∈ ℕ
120		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑚(,)
121		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑚+∞
122	117, 120, 121	nfov 7314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑉‘𝑖)(,)+∞)
123		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑚𝜒
124	122, 123	nfralw 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒
125	119, 124	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒)
126	118, 125	nfbi 1907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒))
127		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
128		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉‘𝑖) ∈ ℕ))
129		oveq1 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉‘𝑖)(,)+∞))
130		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑚(,)+∞)
131		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑟𝐴
132		nfra1 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
133		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ
134	132, 133	nfrabw 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
135	12, 134	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑟𝑀
136		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
137		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑟 <
138	135, 136, 137	nfinf 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
139	131, 138	nfmpt 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑖 ∈ 𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
140	11, 139	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑟𝑉
141		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑟𝑖
142	140, 141	nffv 6793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑉‘𝑖)
143		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑟(,)
144		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑟+∞
145	142, 143, 144	nfov 7314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟((𝑉‘𝑖)(,)+∞)
146	130, 145	raleqf 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉‘𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒))
147	129, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒))
148	128, 147	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒)))
149	127, 148	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝑉‘𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒))))
150		rabid 3311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
151	117, 126, 149, 150	vtoclgf 3504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒)))
152	80, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑉‘𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒)))
153	107, 152	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑉‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒))
154	153	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)𝜒)
155	154	r19.21bi 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
156	105, 155	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
157	156	an32s 649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝜒)
158	157	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖 ∈ 𝐴 → 𝜒))
159	70, 158	ralrimi 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
160	159	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒))
161	61, 160	ralrimi 3142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
162	161	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
163		oveq1 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
164		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑛(,)+∞)
165	140	nfrn 5864	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟ran 𝑉
166	165, 136, 137	nfsup 9219	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
167	9, 166	nfcxfr 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟𝑁
168	167, 143, 144	nfov 7314	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑁(,)+∞)
169	164, 168	raleqf 3333	. . . . 5 ⊢ ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒))
170	163, 169	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒))
171	170	rspcev 3562	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
172	60, 162, 171	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)
173	8, 172	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ 𝐴 𝜒)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2888   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  {crab 3069   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158   Or wor 5503  ran crn 5591  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  supcsup 9208  infcinf 9209  ℝcr 10879  1c1 10881  +∞cpnf 11015  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018   ≤ cle 11019  ℕcn 11982  ℤ_≥cuz 12591  (,)cioo 13088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-ioo 13092

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  43727