Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem31 45555
Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i 𝑖𝜑
fourierdlem31.r 𝑟𝜑
fourierdlem31.iv 𝑖𝑉
fourierdlem31.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12261 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 rzal 4512 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑖𝐴 𝜒)
32ralrimivw 3147 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
4 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
54raleqdv 3323 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
65rspcev 3611 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
71, 3, 6sylancr 585 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
87adantl 480 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
9 fourierdlem31.n . . . 4 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10 fourierdlem31.i . . . . . . 7 𝑖𝜑
11 fourierdlem31.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
12 fourierdlem31.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
1413infeq1d 9508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
15 ssrab2 4077 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
16 nnuz 12903 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1)
18 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
1918r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
20 rabn0 4389 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12954 . . . . . . . . . 10 (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2317, 21, 22sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2415, 23sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2514, 24eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2610, 11, 25rnmptssd 44599 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
2726adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
28 ltso 11332 . . . . . . 7 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
30 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
31 mptfi 9383 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3311, 32eqeltrid 2833 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
34 rnfi 9367 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
3635adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
37 neqne 2945 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
38 n0 4350 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝐴)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖𝐴)
4039adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖𝐴)
41 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
4210, 41nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
43 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10 𝑖𝑉
4443nfrn 5958 . . . . . . . . 9 𝑖ran 𝑉
45 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 𝑖
4644, 45nfne 3040 . . . . . . . 8 𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
4811elrnmpt1 5964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
4947, 25, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5049ne0d 4339 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
5150ex 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5251adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5342, 46, 52exlimd 2206 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5440, 53mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
55 nnssre 12254 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
5627, 55sstrdi 3994 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
57 fisupcl 9500 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5829, 36, 54, 56, 57syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5927, 58sseldd 3983 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
609, 59eqeltrid 2833 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
61 fourierdlem31.r . . . . 5 𝑟𝜑
62 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑖
63 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 <
6444, 62, 63nfsup 9482 . . . . . . . . . . 11 𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
659, 64nfcxfr 2897 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑁
66 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 𝑖(,)
67 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 𝑖+∞
6865, 66, 67nfov 7456 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑁(,)+∞)
6968nfcri 2886 . . . . . . . 8 𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
7010, 69nfan 1894 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
7111fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7247, 25, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7325nnxrd 44684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
7472, 73eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 11306 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
78 elioore 13394 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
7978adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8072, 25eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℕ)
8180nnred 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
83 ne0i 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝐴𝐴 ≠ ∅)
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
8584neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
8685, 60syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
8786nnred 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
8887adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8985, 56syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
9026, 55sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
91 fimaxre2 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9290, 35, 91syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9472, 49eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉)
95 suprub 12213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥) ∧ (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9689, 50, 93, 94, 95syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9796, 9breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9897adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9988rexrd 11302 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
100 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
101 ioogtlb 44909 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10299, 77, 100, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10382, 88, 79, 98, 102lelttrd 11410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) < 𝑟)
10479ltpnfd 13141 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
10575, 77, 79, 103, 104eliood 44912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞))
10614, 23eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
10772, 106eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
108 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝐴
109 nfrab1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
11012, 109nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑀
111 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚
112 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 <
113110, 111, 112nfinf 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
114108, 113nfmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
11511, 114nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑉
116 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑖
117115, 116nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑉𝑖)
118117, 109nfel 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
119117nfel1 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑉𝑖) ∈ ℕ
120 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(,)
121 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚+∞
122117, 120, 121nfov 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝑉𝑖)(,)+∞)
123 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝜒
124122, 123nfralw 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒
125119, 124nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
126118, 125nfbi 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
127 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
128 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉𝑖) ∈ ℕ))
129 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞))
130 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟(𝑚(,)+∞)
131 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟𝐴
132 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
133 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟
134132, 133nfrabw 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13512, 134nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟𝑀
136 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟
137 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟 <
138135, 136, 137nfinf 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
139131, 138nfmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑟(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
14011, 139nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑉
141 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑖
142140, 141nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(𝑉𝑖)
143 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(,)
144 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟+∞
145142, 143, 144nfov 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟((𝑉𝑖)(,)+∞)
146130, 145raleqf 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
147129, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
148128, 147anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
149127, 148bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))))
150 rabid 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
151117, 126, 149, 150vtoclgf 3557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
15280, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
153107, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
154153simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
155154r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
156105, 155syldan 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
157156an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝜒)
158157ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖𝐴𝜒))
15970, 158ralrimi 3252 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖𝐴 𝜒)
160159ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖𝐴 𝜒))
16161, 160ralrimi 3252 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
162161adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
163 oveq1 7433 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
164 nfcv 2899 . . . . . 6 𝑟(𝑛(,)+∞)
165140nfrn 5958 . . . . . . . . 9 𝑟ran 𝑉
166165, 136, 137nfsup 9482 . . . . . . . 8 𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
1679, 166nfcxfr 2897 . . . . . . 7 𝑟𝑁
168167, 143, 144nfov 7456 . . . . . 6 𝑟(𝑁(,)+∞)
169164, 168raleqf 3347 . . . . 5 ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
170163, 169syl 17 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
171170rspcev 3611 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
17260, 162, 171syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
1738, 172pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2879  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  wss 3949  c0 4326   class class class wbr 5152  cmpt 5235   Or wor 5593  ran crn 5683  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  supcsup 9471  infcinf 9472  cr 11145  1c1 11147  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cn 12250  cuz 12860  (,)cioo 13364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-ioo 13368
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  45596
  Copyright terms: Public domain W3C validator