Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem31 44939
Description: If 𝐴 is finite and for any element in 𝐴 there is a number 𝑚 such that a property holds for all numbers larger than 𝑚, then there is a number 𝑛 such that the property holds for all numbers larger than 𝑛 and for all elements in 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i 𝑖𝜑
fourierdlem31.r 𝑟𝜑
fourierdlem31.iv 𝑖𝑉
fourierdlem31.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem31.exm (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
fourierdlem31.m 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
fourierdlem31.v 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
fourierdlem31.n 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑟   𝐴,𝑛,𝑖,𝑟   𝑛,𝑁   𝜒,𝑚   𝜒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝜒(𝑖,𝑟)   𝑀(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑟)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12225 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 rzal 4508 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑖𝐴 𝜒)
32ralrimivw 3150 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
4 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛(,)+∞) = (1(,)+∞))
54raleqdv 3325 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
65rspcev 3612 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (1(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
71, 3, 6sylancr 587 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
87adantl 482 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
9 fourierdlem31.n . . . 4 𝑁 = sup(ran 𝑉, ℝ, < )
10 fourierdlem31.i . . . . . . 7 𝑖𝜑
11 fourierdlem31.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
12 fourierdlem31.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑀 = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
1413infeq1d 9474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) = inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ))
15 ssrab2 4077 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ ℕ
16 nnuz 12867 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1)
18 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖𝐴𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
1918r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
20 rabn0 4385 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅)
22 infssuzcl 12918 . . . . . . . . . 10 (({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ≠ ∅) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2317, 21, 22sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
2415, 23sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2514, 24eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2610, 11, 25rnmptssd 43980 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℕ)
28 ltso 11296 . . . . . . 7 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → < Or ℝ)
30 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
31 mptfi 9353 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < )) ∈ Fin)
3311, 32eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
34 rnfi 9337 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ran 𝑉 ∈ Fin)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑉 ∈ Fin)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ∈ Fin)
37 neqne 2948 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
38 n0 4346 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝐴)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → ∃𝑖 𝑖𝐴)
4039adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑖 𝑖𝐴)
41 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑖 ¬ 𝐴 = ∅
4210, 41nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)
43 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10 𝑖𝑉
4443nfrn 5951 . . . . . . . . 9 𝑖ran 𝑉
45 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑖
4644, 45nfne 3043 . . . . . . . 8 𝑖ran 𝑉 ≠ ∅
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
4811elrnmpt1 5957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
4947, 25, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5049ne0d 4335 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ≠ ∅)
5150ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5251adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5342, 46, 52exlimd 2211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∃𝑖 𝑖𝐴 → ran 𝑉 ≠ ∅))
5440, 53mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ≠ ∅)
55 nnssre 12218 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
5627, 55sstrdi 3994 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
57 fisupcl 9466 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝑉 ∈ Fin ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ran 𝑉 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5829, 36, 54, 56, 57syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ran 𝑉)
5927, 58sseldd 3983 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(ran 𝑉, ℝ, < ) ∈ ℕ)
609, 59eqeltrid 2837 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑁 ∈ ℕ)
61 fourierdlem31.r . . . . 5 𝑟𝜑
62 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖
63 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 <
6444, 62, 63nfsup 9448 . . . . . . . . . . 11 𝑖sup(ran 𝑉, ℝ, < )
659, 64nfcxfr 2901 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑁
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖(,)
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖+∞
6865, 66, 67nfov 7441 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑁(,)+∞)
6968nfcri 2890 . . . . . . . 8 𝑖 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)
7010, 69nfan 1902 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
7111fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝐴 ∧ inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℕ) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7247, 25, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) = inf(𝑀, ℝ, < ))
7325nnxrd 44068 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
7472, 73eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
78 elioore 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
7978adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8072, 25eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℕ)
8180nnred 12229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
83 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝐴𝐴 ≠ ∅)
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
8584neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ¬ 𝐴 = ∅)
8685, 60syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
8786nnred 12229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8985, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
9026, 55sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
91 fimaxre2 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9290, 35, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥)
9472, 49eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉)
95 suprub 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran 𝑉 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑉 𝑦𝑥) ∧ (𝑉𝑖) ∈ ran 𝑉) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9689, 50, 93, 94, 95syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ sup(ran 𝑉, ℝ, < ))
9796, 9breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) ≤ 𝑁)
9988rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞))
101 ioogtlb 44293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10299, 77, 100, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑁 < 𝑟)
10382, 88, 79, 98, 102lelttrd 11374 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑉𝑖) < 𝑟)
10479ltpnfd 13103 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 < +∞)
10575, 77, 79, 103, 104eliood 44296 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞))
10614, 23eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝐴) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
10772, 106eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒})
108 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝐴
109 nfrab1 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
11012, 109nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑀
111 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚
112 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 <
113110, 111, 112nfinf 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚inf(𝑀, ℝ, < )
114108, 113nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
11511, 114nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑉
116 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑖
117115, 116nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑉𝑖)
118117, 109nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
119117nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑉𝑖) ∈ ℕ
120 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(,)
121 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚+∞
122117, 120, 121nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚((𝑉𝑖)(,)+∞)
123 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚𝜒
124122, 123nfralw 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒
125119, 124nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
126118, 125nfbi 1906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
127 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}))
128 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑉𝑖) ∈ ℕ))
129 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞))
130 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟(𝑚(,)+∞)
131 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟𝐴
132 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒
133 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑟
134132, 133nfrabw 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑟{𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒}
13512, 134nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟𝑀
136 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟
137 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑟 <
138135, 136, 137nfinf 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑟inf(𝑀, ℝ, < )
139131, 138nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑟(𝑖𝐴 ↦ inf(𝑀, ℝ, < ))
14011, 139nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑉
141 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑟𝑖
142140, 141nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(𝑉𝑖)
143 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟(,)
144 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟+∞
145142, 143, 144nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟((𝑉𝑖)(,)+∞)
146130, 145raleqf 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚(,)+∞) = ((𝑉𝑖)(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
147129, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝑉𝑖) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
148128, 147anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
149127, 148bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝑉𝑖) → ((𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))))
150 rabid 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒))
151117, 126, 149, 150vtoclgf 3554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉𝑖) ∈ ℕ → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
15280, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)𝜒} ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)))
153107, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑉𝑖) ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒))
154153simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝐴) → ∀𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)𝜒)
155154r19.21bi 3248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑉𝑖)(,)+∞)) → 𝜒)
156105, 155syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐴) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → 𝜒)
157156an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝜒)
158157ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → (𝑖𝐴𝜒))
15970, 158ralrimi 3254 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)) → ∀𝑖𝐴 𝜒)
160159ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞) → ∀𝑖𝐴 𝜒))
16161, 160ralrimi 3254 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
162161adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
163 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞))
164 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑟(𝑛(,)+∞)
165140nfrn 5951 . . . . . . . . 9 𝑟ran 𝑉
166165, 136, 137nfsup 9448 . . . . . . . 8 𝑟sup(ran 𝑉, ℝ, < )
1679, 166nfcxfr 2901 . . . . . . 7 𝑟𝑁
168167, 143, 144nfov 7441 . . . . . 6 𝑟(𝑁(,)+∞)
169164, 168raleqf 3349 . . . . 5 ((𝑛(,)+∞) = (𝑁(,)+∞) → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
170163, 169syl 17 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒))
171170rspcev 3612 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑁(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
17260, 162, 171syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
1738, 172pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖𝐴 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2883  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Or wor 5587  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  infcinf 9438  cr 11111  1c1 11113  +∞cpnf 11247  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251  cn 12214  cuz 12824  (,)cioo 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-ioo 13330
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  44980
  Copyright terms: Public domain W3C validator