Theorem iundisj 23752

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisj	⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
2		nnuz 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	sseqtri 3856	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
4		rabn0 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpri 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		infssuzcl 12079	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
7	3, 5, 6	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		nfrab1 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9		nfcv 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
10		nfcv 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 <
11	8, 9, 10	nfinf 8676	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
12		nfcv 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13	11	nfcsb1 3766	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
14	13	nfcri 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
15		csbeq1a 3760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
16	15	eleq2d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3568	. . . . . . . 8 ⊢ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
18	7, 17	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
19	18	simpld 490	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
20	18	simprd 491	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
21	19	nnred 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 10510	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
23		eliun 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
24	21	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25		elfzouz 12793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
26	25, 2	syl6eleqr 2870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	26	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
28	27	nnred 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
31	30	eleq2d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
32	31	elrab 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
33	27, 29, 32	sylanbrc 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
34		infssuzle 12078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
35	3, 33, 34	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
36		elfzolt2 12798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
37	36	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 10534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
39	38	rexlimdva2 3216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
40	23, 39	syl5bi 234	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
41	22, 40	mtod 190	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
42	20, 41	eldifd 3803	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
43		csbeq1 3754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
44		oveq2 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
45	44	iuneq1d 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
46	43, 45	difeq12d 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
47	46	eleq2d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
48	47	rspcev 3511	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
49	19, 42, 48	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
50		nfv 1957	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
51		nfcsb1v 3767	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
52		nfcv 2934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
53	51, 52	nfdif 3954	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
54	53	nfcri 2929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
55		csbeq1a 3760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
56		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
57	56	iuneq1d 4778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
58	55, 57	difeq12d 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
59	58	eleq2d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
60	50, 54, 59	cbvrex 3364	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61	49, 60	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
62		eldifi 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	62	reximi 3192	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
64	61, 63	impbii 201	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
65		eliun 4757	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
66		eliun 4757	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
67	64, 65, 66	3bitr4i 295	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
68	67	eqriv 2775	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  {crab 3094  ⦋csb 3751   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ∪ ciun 4753   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  infcinf 8635  ℝcr 10271  1c1 10273   < clt 10411   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  ℤ_≥cuz 11992  ..^cfzo 12784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785

This theorem is referenced by:  iunmbl  23757  volsup  23760  sigapildsys  30823  carsgclctunlem3  30980  voliunnfl  34079