MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj 24912
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iundisj.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iundisj
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4037 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ
2 nnuz 12806 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2sseqtri 3980 . . . . . . . . 9 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1)
4 rabn0 4345 . . . . . . . . . 10 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴)
54biimpri 227 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅)
6 infssuzcl 12857 . . . . . . . . 9 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})
73, 5, 6sylancr 587 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})
8 nfrab1 3426 . . . . . . . . . 10 𝑛{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}
9 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛
10 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
118, 9, 10nfinf 9418 . . . . . . . . 9 𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )
12 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛
1311nfcsb1 3879 . . . . . . . . . 10 𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
1413nfcri 2894 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑥inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
15 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
1615eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
1711, 12, 14, 16elrabf 3641 . . . . . . . 8 (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
187, 17sylib 217 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
1918simpld 495 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
2018simprd 496 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
2119nnred 12168 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2221ltnrd 11289 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
23 eliun 4958 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵)
2421ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25 elfzouz 13576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
2625, 2eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
2827nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
29 iundisj.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
3029eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
3230, 27, 31elrabd 3647 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})
33 infssuzle 12856 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
343, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
35 elfzolt2 13581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
3724, 28, 24, 34, 36lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
3837rexlimdva2 3154 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
3923, 38biimtrid 241 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
4022, 39mtod 197 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
4120, 40eldifd 3921 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
42 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑚 / 𝑛𝐴 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
43 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
4443iuneq1d 4981 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
4542, 44difeq12d 4083 . . . . . . . 8 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
4645eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
4746rspcev 3581 . . . . . 6 ((inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
4819, 41, 47syl2anc 584 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
49 nfv 1917 . . . . . 6 𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
50 nfcsb1v 3880 . . . . . . . 8 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
51 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
5250, 51nfdif 4085 . . . . . . 7 𝑛(𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
5352nfcri 2894 . . . . . 6 𝑛 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
54 csbeq1a 3869 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
55 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
5655iuneq1d 4981 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
5754, 56difeq12d 4083 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
5857eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
5949, 53, 58cbvrexw 3290 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
6048, 59sylibr 233 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
61 eldifi 4086 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥𝐴)
6261reximi 3087 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴)
6360, 62impbii 208 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
64 eliun 4958 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥𝐴)
65 eliun 4958 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
6663, 64, 653bitr4i 302 . 2 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ 𝐴𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
6766eqriv 2733 1 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  csb 3855  cdif 3907  wss 3910  c0 4282   ciun 4954   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  cuz 12763  ..^cfzo 13567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568
This theorem is referenced by:  iunmbl  24917  volsup  24920  sigapildsys  32761  carsgclctunlem3  32920  voliunnfl  36122
  Copyright terms: Public domain W3C validator