Theorem iundisj 25515

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisj	⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
2		nnuz 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	sseqtri 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
4		rabn0 4329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		infssuzcl 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
7	3, 5, 6	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		nfrab1 3409	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
10		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 <
11	8, 9, 10	nfinf 9396	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
12		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13	11	nfcsb1 3860	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
14	13	nfcri 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
15		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
16	15	eleq2d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3631	. . . . . . . 8 ⊢ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
18	7, 17	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
19	18	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
20	18	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
21	19	nnred 12189	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
23		eliun 4937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
24	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25		elfzouz 13618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
26	25, 2	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	26	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	30, 27, 31	elrabd 3636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
33		infssuzle 12881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
34	3, 32, 33	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
35		elfzolt2 13623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
36	35	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
37	24, 28, 24, 34, 36	lelttrd 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
38	37	rexlimdva2 3140	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
39	23, 38	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
40	22, 39	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
41	20, 40	eldifd 3900	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
42		csbeq1 3840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
43		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
44	43	iuneq1d 4961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
45	42, 44	difeq12d 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
46	45	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
47	46	rspcev 3564	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
48	19, 41, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
49		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
50		nfcsb1v 3861	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
51		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
52	50, 51	nfdif 4069	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
53	52	nfcri 2890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
54		csbeq1a 3851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
56	55	iuneq1d 4961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
58	57	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
59	49, 53, 58	cbvrexw 3280	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	48, 59	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
61		eldifi 4071	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	reximi 3075	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
63	60, 62	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
64		eliun 4937	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
65		eliun 4937	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
66	63, 64, 65	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
67	66	eqriv 2733	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389  ⦋csb 3837   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ ciun 4933   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  infcinf 9354  ℝcr 11037  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  iunmbl  25520  volsup  25523  sigapildsys  34306  carsgclctunlem3  34464  voliunnfl  37985