Theorem iundisj 25456

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisj	⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
2		nnuz 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	sseqtri 3998	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
4		rabn0 4355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		infssuzcl 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		nfrab1 3429	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
10		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 <
11	8, 9, 10	nfinf 9441	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
12		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13	11	nfcsb1 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
14	13	nfcri 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
15		csbeq1a 3879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
16	15	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3658	. . . . . . . 8 ⊢ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
18	7, 17	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
19	18	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
20	18	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
21	19	nnred 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
23		eliun 4962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
24	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25		elfzouz 13631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
26	25, 2	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	30, 27, 31	elrabd 3664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
33		infssuzle 12897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
34	3, 32, 33	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
35		elfzolt2 13636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
36	35	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
37	24, 28, 24, 34, 36	lelttrd 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
38	37	rexlimdva2 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
39	23, 38	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
40	22, 39	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
41	20, 40	eldifd 3928	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
42		csbeq1 3868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
43		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
44	43	iuneq1d 4986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
45	42, 44	difeq12d 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
46	45	eleq2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
47	46	rspcev 3591	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
48	19, 41, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
49		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
50		nfcsb1v 3889	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
51		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
52	50, 51	nfdif 4095	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
53	52	nfcri 2884	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
54		csbeq1a 3879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
56	55	iuneq1d 4986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
58	57	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
59	49, 53, 58	cbvrexw 3283	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	48, 59	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
61		eldifi 4097	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	reximi 3068	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
63	60, 62	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
64		eliun 4962	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
65		eliun 4962	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
66	63, 64, 65	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
67	66	eqriv 2727	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  ⦋csb 3865   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℝcr 11074  1c1 11076   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  iunmbl  25461  volsup  25464  sigapildsys  34159  carsgclctunlem3  34318  voliunnfl  37665