Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 45002
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K β„²π‘˜πœ‘
iunhoiioolem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
iunhoiioolem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
iunhoiioolem.c 𝐢 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐢(π‘˜)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
2 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
4 ixpf 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
6 ioossre 13331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
76rgenw 3065 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
9 iunss 5006 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
115, 10fssd 6687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 11210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
173adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
18 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
19 fvixp2 43507 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡))
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 43819 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜))
2313, 12posdifd 11747 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2422, 23mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
2514, 24elrpd 12959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 43504 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐢 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 11240 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 43476 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
341, 14, 2, 33rnmptn0 6197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ…)
351, 2, 14rnmptssd 43504 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)
36 fiinfcl 9442 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ… ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3827, 37eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3926, 38sseldd 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 43701 . . . 4 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢)
4139, 40syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢)
423elexd 3464 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6670 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ 𝑛 ∈ β„•
471, 46nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)
48 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(1 / 𝑛)
49 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ <
50 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
5150nfrn 5908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
52 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β„
5351, 52, 49nfinf 9423 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜πΆ
5548, 49, 54nfbr 5153 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(1 / 𝑛) < 𝐢
5647, 55nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢)
5713adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 12200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
6463adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
65 ressxr 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
6711, 66fssd 6687 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6968ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7060adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7259adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < 𝐢)
7735ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)
7832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
80 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ V) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
84 infrefilb 12146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8627, 85eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8786adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8957adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 11761 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (1 / 𝑛) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜))
9270, 71, 91ltled 11308 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
93 iooltub 43834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9594ad4ant14 751 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 13320 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
9796ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
9856, 97ralrimi 3239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
9943, 45, 983jca 1129 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
100 elixp2 8842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
10199, 100sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
102101ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑛) < 𝐢 β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
103102reximdva 3162 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
10441, 103mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
105 eliun 4959 . 2 (𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
106104, 105sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Or wor 5545  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  infcinf 9382  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  45003
  Copyright terms: Public domain W3C validator