Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 42367
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K 𝑘𝜑
iunhoiioolem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 𝑘𝜑
2 eqid 2775 . . . . . 6 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4 ixpf 8277 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6 ioossre 12611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
76rgenw 3097 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9 iunss 4833 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
108, 9sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
115, 10fssd 6356 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6674 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 10865 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 10486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
173adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
19 fvixp2 40865 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 18, 19syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 41180 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1351 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2313, 12posdifd 11024 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴 < (𝐹𝑘) ↔ 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2422, 23mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2514, 24elrpd 12242 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 40862 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 10517 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 40830 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
341, 25, 2, 33rnmptn0 40888 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
351, 2, 14rnmptssd 40862 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36 fiinfcl 8756 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1352 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3827, 37syl5eqel 2867 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3926, 38sseldd 3858 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 41057 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
423elexd 3432 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6343 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1873 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
471, 46nfan 1862 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
48 nfcv 2929 . . . . . . . . . 10 𝑘(1 / 𝑛)
49 nfcv 2929 . . . . . . . . . 10 𝑘 <
50 nfmpt1 5023 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
5150nfrn 5664 . . . . . . . . . . . 12 𝑘ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
52 nfcv 2929 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
5351, 52, 49nfinf 8737 . . . . . . . . . . 11 𝑘inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2927 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶
5548, 49, 54nfbr 4974 . . . . . . . . 9 𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
5647, 55nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
5713adantlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 11479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 10465 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 10486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 702 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 702 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6463adantlr 702 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 ressxr 10480 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6711, 66fssd 6356 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6867ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6968ffvelrnda 6674 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7060adantlr 702 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 739 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7259adantlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 739 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 756 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
7735ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
7832ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
80 ovexd 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8382adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
84 infrefilb 41060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8627, 85syl5eqbr 4962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8786adantlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 10596 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8957adantlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 11038 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
9188, 90mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘))
9270, 71, 91ltled 10584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹𝑘))
93 iooltub 41196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9594ad4ant14 739 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 12600 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9796ex 405 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
9856, 97ralrimi 3163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9943, 45, 983jca 1108 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
100 elixp2 8259 . . . . . 6 (𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10199, 100sylibr 226 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
102101ex 405 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
103102reximdva 3216 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
105 eliun 4794 . 2 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106104, 105sylibr 226 1 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2048  wne 2964  wral 3085  wrex 3086  Vcvv 3412  wss 3828  c0 4177   ciun 4790   class class class wbr 4927  cmpt 5006   Or wor 5322  ran crn 5405   Fn wfn 6181  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6974  Xcixp 8255  Fincfn 8302  infcinf 8696  cr 10330  0cc0 10331  1c1 10332   + caddc 10334  *cxr 10469   < clt 10470  cle 10471  cmin 10666   / cdiv 11094  cn 11435  +crp 12201  (,)cioo 12551  [,)cico 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-ixp 8256  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-ioo 12555  df-ico 12557  df-fl 12974
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  42368
  Copyright terms: Public domain W3C validator