Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 44906
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K 𝑘𝜑
iunhoiioolem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 𝑘𝜑
2 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4 ixpf 8858 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
76rgenw 3068 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9 iunss 5005 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
115, 10fssd 6686 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
173adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
19 fvixp2 43409 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 43723 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2313, 12posdifd 11742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴 < (𝐹𝑘) ↔ 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2422, 23mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2514, 24elrpd 12954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 43406 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 11235 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 43378 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
341, 14, 2, 33rnmptn0 6196 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
351, 2, 14rnmptssd 43406 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36 fiinfcl 9437 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3827, 37eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3926, 38sseldd 3945 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 43604 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
423elexd 3465 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
471, 46nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
48 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘(1 / 𝑛)
49 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘 <
50 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
5150nfrn 5907 . . . . . . . . . . . 12 𝑘ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
52 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
5351, 52, 49nfinf 9418 . . . . . . . . . . 11 𝑘inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2905 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶
5548, 49, 54nfbr 5152 . . . . . . . . 9 𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
5647, 55nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
5713adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6463adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6711, 66fssd 6686 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6968ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7060adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7259adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
7735ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
7832ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
80 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
84 infrefilb 12141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8627, 85eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8786adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8957adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 11756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
9188, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘))
9270, 71, 91ltled 11303 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹𝑘))
93 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9594ad4ant14 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 13314 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9796ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
9856, 97ralrimi 3240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9943, 45, 983jca 1128 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
100 elixp2 8839 . . . . . 6 (𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10199, 100sylibr 233 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
102101ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
103102reximdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
105 eliun 4958 . 2 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106104, 105sylibr 233 1 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Xcixp 8835  Fincfn 8883  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fl 13697
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  44907
  Copyright terms: Public domain W3C validator