Theorem iunhoiioolem 46986

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioolem.K	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiioolem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c	⊢ 𝐶 = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunhoiioolem.K	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
3		iunhoiioolem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4		ixpf 8862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6		ioossre 13327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
7	6	rgenw 3056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9		iunss 5001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
11	5, 10	fssd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
13		iunhoiioolem.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	12, 13	resubcld 11569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
15	13	rexrd 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		iunhoiioolem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
19		fvixp2 45510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 45808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹‘𝑘))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 < (𝐹‘𝑘))
23	13, 12	posdifd 11728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 < (𝐹‘𝑘) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
24	22, 23	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 < ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
25	14, 24	elrpd 12950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
26	1, 2, 25	rnmptssd 45507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27		iunhoiioolem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28		ltso 11217	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
30		iunhoiioolem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
31	2	rnmptfi 45482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33		iunhoiioolem.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
34	1, 14, 2, 33	rnmptn0 6203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
35	1, 2, 14	rnmptssd 45507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36		fiinfcl 9410	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
37	29, 32, 34, 35, 36	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
38	27, 37	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
39	26, 38	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
40		rpgtrecnn 45691	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
42	3	elexd 3465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
44	5	ffnd 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
45	44	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
47	1, 46	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
48		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / 𝑛)
49		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 <
50		nfmpt1 5198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
51	50	nfrn 5902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
52		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
53	51, 52, 49	nfinf 9390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
54	27, 53	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
55	48, 49, 54	nfbr 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
56	47, 55	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
57	13	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58		nnrecre 12191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
59	58	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
60	57, 59	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
62	61	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
63	16	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
64	63	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65		ressxr 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
67	11, 66	fssd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
68	67	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
69	68	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
70	60	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
71	12	ad4ant14 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
72	59	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
73	35, 38	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
74	73	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
75	14	ad4ant14 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
77	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
78	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 → 𝑘 ∈ 𝑋)
80		ovexd 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ V)
81	2	elrnmpt1 5910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
82	79, 80, 81	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
84		infrefilb 12132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
85	77, 78, 83, 84	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
86	27, 85	eqbrtrid 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
87	86	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
88	72, 74, 75, 76, 87	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹‘𝑘) − 𝐴))
89	57	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
90	89, 72, 71	ltaddsub2d 11742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘))
92	70, 71, 91	ltled 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹‘𝑘))
93		iooltub 45823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑘) < 𝐵)
94	15, 16, 20, 93	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) < 𝐵)
95	94	ad4ant14 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) < 𝐵)
96	62, 64, 69, 92, 95	elicod 13315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
97	96	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
98	56, 97	ralrimi 3235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
99	43, 45, 98	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
100		elixp2 8843	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
101	99, 100	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
102	101	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
103	102	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
104	41, 103	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
105		eliun 4951	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106	104, 105	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∪ ciun 4947   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   Or wor 5532  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Xcixp 8839  Fincfn 8887  infcinf 9348  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℝ⁺crp 12909  (,)cioo 13265  [,)cico 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-fl 13716

This theorem is referenced by:  iunhoiioo  46987