Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 45689
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K β„²π‘˜πœ‘
iunhoiioolem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
iunhoiioolem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
iunhoiioolem.c 𝐢 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐢(π‘˜)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
2 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
4 ixpf 8916 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
6 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
76rgenw 3063 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
9 iunss 5047 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
115, 10fssd 6734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11646 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 11268 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
173adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
18 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
19 fvixp2 44196 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡))
2017, 18, 19syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 44506 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜))
2313, 12posdifd 11805 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2422, 23mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
2514, 24elrpd 13017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 44193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐢 = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 11298 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 44168 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
341, 14, 2, 33rnmptn0 6242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ…)
351, 2, 14rnmptssd 44193 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)
36 fiinfcl 9498 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ… ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3827, 37eqeltrid 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3926, 38sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 44388 . . . 4 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢)
4139, 40syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢)
423elexd 3493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ 𝑛 ∈ β„•
471, 46nfan 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)
48 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(1 / 𝑛)
49 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ <
50 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
5150nfrn 5950 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
52 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β„
5351, 52, 49nfinf 9479 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜πΆ
5548, 49, 54nfbr 5194 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(1 / 𝑛) < 𝐢
5647, 55nfan 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢)
5713adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 12258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
6463adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
65 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
6711, 66fssd 6734 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6867ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6968ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7060adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 748 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7259adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < 𝐢)
7735ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)
7832ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
80 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ V) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
84 infrefilb 12204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)), ℝ, < ) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8627, 85eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8786adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))
8957adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 11819 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (1 / 𝑛) < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
9188, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜))
9270, 71, 91ltled 11366 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
93 iooltub 44521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9594ad4ant14 748 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝐡)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 13378 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
9796ex 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
9856, 97ralrimi 3252 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
9943, 45, 983jca 1126 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
100 elixp2 8897 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
10199, 100sylibr 233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
102101ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑛) < 𝐢 β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
103102reximdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / 𝑛) < 𝐢 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡)))
10441, 103mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
105 eliun 5000 . 2 (𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
106104, 105sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  Fincfn 8941  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fl 13761
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  45690
  Copyright terms: Public domain W3C validator