Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 46630
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K 𝑘𝜑
iunhoiioolem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 𝑘𝜑
2 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4 ixpf 8958 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
76rgenw 3062 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9 iunss 5049 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
108, 9sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
115, 10fssd 6753 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 11308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
173adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
19 fvixp2 45141 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 45447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2313, 12posdifd 11847 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴 < (𝐹𝑘) ↔ 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2422, 23mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2514, 24elrpd 13071 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 45138 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 11338 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 45113 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
341, 14, 2, 33rnmptn0 6265 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
351, 2, 14rnmptssd 45138 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36 fiinfcl 9538 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3827, 37eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3926, 38sseldd 3995 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 45329 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
423elexd 3501 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
471, 46nfan 1896 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
48 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘(1 / 𝑛)
49 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘 <
50 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
5150nfrn 5965 . . . . . . . . . . . 12 𝑘ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
52 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
5351, 52, 49nfinf 9519 . . . . . . . . . . 11 𝑘inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2900 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶
5548, 49, 54nfbr 5194 . . . . . . . . 9 𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
5647, 55nfan 1896 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
5713adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 12305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 11287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6463adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6711, 66fssd 6753 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6867ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6968ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7060adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7259adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
7735ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
7832ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
80 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
84 infrefilb 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8627, 85eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8786adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8957adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 11861 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘))
9270, 71, 91ltled 11406 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹𝑘))
93 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9594ad4ant14 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 13433 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9796ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
9856, 97ralrimi 3254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9943, 45, 983jca 1127 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
100 elixp2 8939 . . . . . 6 (𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10199, 100sylibr 234 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
102101ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
103102reximdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
105 eliun 4999 . 2 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106104, 105sylibr 234 1 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338   ciun 4995   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5595  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Xcixp 8935  Fincfn 8983  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fl 13828
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  46631
  Copyright terms: Public domain W3C validator