Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47174
Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47177. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1
StepHypRef Expression
1 ltso 11346 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → < Or ℝ)
3 eluz2nn 12922 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
43adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5 prmdvdsfi 27138 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
7 exprmfct 16707 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
87adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
9 rabn0 4390 . . . 4 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
108, 9sylibr 233 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅)
11 ssrab2 4076 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℙ
12 prmssnn 16679 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
13 nnssre 12270 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3989 . . . . 5 ℙ ⊆ ℝ
1511, 14sstri 3989 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)
17 fiinfcl 9546 . . 3 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
182, 6, 10, 16, 17syl13anc 1369 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
19 prmdvdsfmtnof1lem1.i . . . 4 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
2019eleq1i 2817 . . 3 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
21 eluz2nn 12922 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
2221adantl 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23 prmdvdsfi 27138 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
25 exprmfct 16707 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2625adantl 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
27 rabn0 4390 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2826, 27sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅)
29 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℙ
3029, 14sstri 3989 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)
32 fiinfcl 9546 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
332, 24, 28, 31, 32syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
34 prmdvdsfmtnof1lem1.j . . . . . 6 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
3534eleq1i 2817 . . . . 5 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
36 nfrab1 3439 . . . . . . . . . 10 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}
37 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑝
38 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑝 <
3936, 37, 38nfinf 9527 . . . . . . . . 9 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
4034, 39nfcxfr 2890 . . . . . . . 8 𝑝𝐽
41 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑝
42 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑝
43 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑝𝐺
4440, 42, 43nfbr 5202 . . . . . . . 8 𝑝 𝐽𝐺
45 breq1 5158 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐽 → (𝑝𝐺𝐽𝐺))
4640, 41, 44, 45elrabf 3677 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺))
47 nfrab1 3439 . . . . . . . . . . 11 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}
4847, 37, 38nfinf 9527 . . . . . . . . . 10 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
4919, 48nfcxfr 2890 . . . . . . . . 9 𝑝𝐼
50 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑝𝐹
5149, 42, 50nfbr 5202 . . . . . . . . 9 𝑝 𝐼𝐹
52 breq1 5158 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐼 → (𝑝𝐹𝐼𝐹))
5349, 41, 51, 52elrabf 3677 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹))
54 simp2l 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55 simp2r 1197 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐹)
56 simp1r 1195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽𝐺)
57 breq1 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
58573ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
5956, 58mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐺)
6054, 55, 593jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))
61603exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6253, 61biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6346, 62sylbi 216 . . . . . 6 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6535, 64biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6633, 65mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6720, 66biimtrrid 242 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6818, 67mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  {crab 3419  wss 3947  c0 4325   class class class wbr 5155   Or wor 5595  cfv 6556  Fincfn 8976  infcinf 9486  cr 11159   < clt 11300  cn 12266  2c2 12321  cuz 12876  cdvds 16258  cprime 16674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-rp 13031  df-fz 13541  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-dvds 16259  df-prm 16675
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47177
  Copyright terms: Public domain W3C validator