Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47941

Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47944. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j	⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1	⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11225	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → < Or ℝ)
3		eluz2nn 12813	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5		prmdvdsfi 27085	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
7		exprmfct 16643	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
9		rabn0 4343	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅)
11		ssrab2 4034	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℙ
12		prmssnn 16615	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
13		nnssre 12161	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 3945	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
15	11, 14	sstri 3945	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)
17		fiinfcl 9418	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
18	2, 6, 10, 16, 17	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
19		prmdvdsfmtnof1lem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
20	19	eleq1i 2828	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
21		eluz2nn 12813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23		prmdvdsfi 27085	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
25		exprmfct 16643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
27		rabn0 4343	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅)
29		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℙ
30	29, 14	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)
32		fiinfcl 9418	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
33	2, 24, 28, 31, 32	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
34		prmdvdsfmtnof1lem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
35	34	eleq1i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
36		nfrab1 3421	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}
37		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝ℝ
38		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝 <
39	36, 37, 38	nfinf 9398	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
40	34, 39	nfcxfr 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝𝐽
41		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝ℙ
42		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 ∥
43		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐺
44	40, 42, 43	nfbr 5147	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐽 ∥ 𝐺
45		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝐽 → (𝑝 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
46	40, 41, 44, 45	elrabf 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺))
47		nfrab1 3421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}
48	47, 37, 38	nfinf 9398	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
49	19, 48	nfcxfr 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐼
50		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝𝐹
51	49, 42, 50	nfbr 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐼 ∥ 𝐹
52		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
53	49, 41, 51, 52	elrabf 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹))
54		simp2l 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55		simp2r 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐹)
56		simp1r 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽 ∥ 𝐺)
57		breq1 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
58	57	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐺)
60	54, 55, 59	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))
61	60	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
62	53, 61	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
63	46, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
65	35, 64	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
66	33, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
67	20, 66	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
68	18, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   Or wor 5539  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  infcinf 9356  ℝcr 11037   < clt 11178  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤ_≥cuz 12763   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47944