Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 46252

Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 46255. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j	⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1	⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11294	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → < Or ℝ)
3		eluz2nn 12868	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
4	3	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5		prmdvdsfi 26611	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
7		exprmfct 16641	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
8	7	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
9		rabn0 4386	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅)
11		ssrab2 4078	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℙ
12		prmssnn 16613	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
13		nnssre 12216	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 3992	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
15	11, 14	sstri 3992	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)
17		fiinfcl 9496	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
18	2, 6, 10, 16, 17	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
19		prmdvdsfmtnof1lem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
20	19	eleq1i 2825	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
21		eluz2nn 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
22	21	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23		prmdvdsfi 26611	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
25		exprmfct 16641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
26	25	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
27		rabn0 4386	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
28	26, 27	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅)
29		ssrab2 4078	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℙ
30	29, 14	sstri 3992	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)
32		fiinfcl 9496	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
33	2, 24, 28, 31, 32	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
34		prmdvdsfmtnof1lem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
35	34	eleq1i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
36		nfrab1 3452	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}
37		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝ℝ
38		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝 <
39	36, 37, 38	nfinf 9477	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
40	34, 39	nfcxfr 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝𝐽
41		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝ℙ
42		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 ∥
43		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐺
44	40, 42, 43	nfbr 5196	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐽 ∥ 𝐺
45		breq1 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝐽 → (𝑝 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
46	40, 41, 44, 45	elrabf 3680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺))
47		nfrab1 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}
48	47, 37, 38	nfinf 9477	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
49	19, 48	nfcxfr 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐼
50		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝𝐹
51	49, 42, 50	nfbr 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐼 ∥ 𝐹
52		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
53	49, 41, 51, 52	elrabf 3680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹))
54		simp2l 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐹)
56		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽 ∥ 𝐺)
57		breq1 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
58	57	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐺)
60	54, 55, 59	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))
61	60	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
62	53, 61	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
63	46, 62	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
65	35, 64	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
66	33, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
67	20, 66	biimtrrid 242	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
68	18, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  infcinf 9436  ℝcr 11109   < clt 11248  ℕcn 12212  2c2 12267  ℤ_≥cuz 12822   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  46255