Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47508

Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47511. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j	⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1	⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11338	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → < Or ℝ)
3		eluz2nn 12921	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5		prmdvdsfi 27164	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
7		exprmfct 16737	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
9		rabn0 4394	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅)
11		ssrab2 4089	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℙ
12		prmssnn 16709	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
13		nnssre 12267	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 4004	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
15	11, 14	sstri 4004	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)
17		fiinfcl 9538	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
18	2, 6, 10, 16, 17	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
19		prmdvdsfmtnof1lem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
20	19	eleq1i 2829	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
21		eluz2nn 12921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23		prmdvdsfi 27164	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
25		exprmfct 16737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
27		rabn0 4394	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅)
29		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℙ
30	29, 14	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)
32		fiinfcl 9538	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
33	2, 24, 28, 31, 32	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
34		prmdvdsfmtnof1lem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
35	34	eleq1i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
36		nfrab1 3453	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}
37		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝ℝ
38		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝 <
39	36, 37, 38	nfinf 9519	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
40	34, 39	nfcxfr 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝𝐽
41		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝ℙ
42		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 ∥
43		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐺
44	40, 42, 43	nfbr 5194	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐽 ∥ 𝐺
45		breq1 5150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝐽 → (𝑝 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
46	40, 41, 44, 45	elrabf 3690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺))
47		nfrab1 3453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}
48	47, 37, 38	nfinf 9519	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
49	19, 48	nfcxfr 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐼
50		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝𝐹
51	49, 42, 50	nfbr 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐼 ∥ 𝐹
52		breq1 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
53	49, 41, 51, 52	elrabf 3690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹))
54		simp2l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55		simp2r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐹)
56		simp1r 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽 ∥ 𝐺)
57		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
58	57	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐺)
60	54, 55, 59	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))
61	60	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
62	53, 61	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
63	46, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
65	35, 64	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
66	33, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
67	20, 66	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
68	18, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  {crab 3432   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338   class class class wbr 5147   Or wor 5595  ‘cfv 6562  Fincfn 8983  infcinf 9478  ℝcr 11151   < clt 11292  ℕcn 12263  2c2 12318  ℤ_≥cuz 12875   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47511