Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47571

Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47574. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j	⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1	⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11341	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → < Or ℝ)
3		eluz2nn 12924	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5		prmdvdsfi 27150	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
7		exprmfct 16741	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
9		rabn0 4389	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅)
11		ssrab2 4080	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℙ
12		prmssnn 16713	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
13		nnssre 12270	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 3993	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
15	11, 14	sstri 3993	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)
17		fiinfcl 9541	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
18	2, 6, 10, 16, 17	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
19		prmdvdsfmtnof1lem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
20	19	eleq1i 2832	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
21		eluz2nn 12924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23		prmdvdsfi 27150	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
25		exprmfct 16741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
27		rabn0 4389	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅)
29		ssrab2 4080	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℙ
30	29, 14	sstri 3993	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)
32		fiinfcl 9541	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
33	2, 24, 28, 31, 32	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
34		prmdvdsfmtnof1lem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
35	34	eleq1i 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
36		nfrab1 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}
37		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝ℝ
38		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝 <
39	36, 37, 38	nfinf 9522	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
40	34, 39	nfcxfr 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝𝐽
41		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝ℙ
42		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 ∥
43		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐺
44	40, 42, 43	nfbr 5190	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐽 ∥ 𝐺
45		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝐽 → (𝑝 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
46	40, 41, 44, 45	elrabf 3688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺))
47		nfrab1 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}
48	47, 37, 38	nfinf 9522	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
49	19, 48	nfcxfr 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐼
50		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝𝐹
51	49, 42, 50	nfbr 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐼 ∥ 𝐹
52		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
53	49, 41, 51, 52	elrabf 3688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹))
54		simp2l 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐹)
56		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽 ∥ 𝐺)
57		breq1 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
58	57	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐺)
60	54, 55, 59	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))
61	60	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
62	53, 61	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
63	46, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
65	35, 64	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
66	33, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
67	20, 66	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
68	18, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   Or wor 5591  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  infcinf 9481  ℝcr 11154   < clt 11295  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47574