Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47571
Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47574. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1
StepHypRef Expression
1 ltso 11341 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → < Or ℝ)
3 eluz2nn 12924 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5 prmdvdsfi 27150 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
7 exprmfct 16741 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
87adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
9 rabn0 4389 . . . 4 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
108, 9sylibr 234 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅)
11 ssrab2 4080 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℙ
12 prmssnn 16713 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
13 nnssre 12270 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3993 . . . . 5 ℙ ⊆ ℝ
1511, 14sstri 3993 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)
17 fiinfcl 9541 . . 3 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
182, 6, 10, 16, 17syl13anc 1374 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
19 prmdvdsfmtnof1lem1.i . . . 4 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
2019eleq1i 2832 . . 3 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
21 eluz2nn 12924 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
2221adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23 prmdvdsfi 27150 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
25 exprmfct 16741 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
27 rabn0 4389 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2826, 27sylibr 234 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅)
29 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℙ
3029, 14sstri 3993 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)
32 fiinfcl 9541 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
332, 24, 28, 31, 32syl13anc 1374 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
34 prmdvdsfmtnof1lem1.j . . . . . 6 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
3534eleq1i 2832 . . . . 5 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
36 nfrab1 3457 . . . . . . . . . 10 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}
37 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑝
38 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑝 <
3936, 37, 38nfinf 9522 . . . . . . . . 9 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
4034, 39nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑝𝐽
41 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑝
42 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑝
43 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑝𝐺
4440, 42, 43nfbr 5190 . . . . . . . 8 𝑝 𝐽𝐺
45 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐽 → (𝑝𝐺𝐽𝐺))
4640, 41, 44, 45elrabf 3688 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺))
47 nfrab1 3457 . . . . . . . . . . 11 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}
4847, 37, 38nfinf 9522 . . . . . . . . . 10 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
4919, 48nfcxfr 2903 . . . . . . . . 9 𝑝𝐼
50 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑝𝐹
5149, 42, 50nfbr 5190 . . . . . . . . 9 𝑝 𝐼𝐹
52 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐼 → (𝑝𝐹𝐼𝐹))
5349, 41, 51, 52elrabf 3688 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹))
54 simp2l 1200 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55 simp2r 1201 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐹)
56 simp1r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽𝐺)
57 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
58573ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
5956, 58mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐺)
6054, 55, 593jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))
61603exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6253, 61biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6346, 62sylbi 217 . . . . . 6 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6535, 64biimtrrid 243 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6633, 65mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6720, 66biimtrrid 243 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6818, 67mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Or wor 5591  cfv 6561  Fincfn 8985  infcinf 9481  cr 11154   < clt 11295  cn 12266  2c2 12321  cuz 12878  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47574
  Copyright terms: Public domain W3C validator