Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 47589

Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 47592. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j	⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1lem1	⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11261	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → < Or ℝ)
3		eluz2nn 12854	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5		prmdvdsfi 27024	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin)
7		exprmfct 16681	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
9		rabn0 4355	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅)
11		ssrab2 4046	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℙ
12		prmssnn 16653	. . . . . 6 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
13		nnssre 12197	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 3959	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
15	11, 14	sstri 3959	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)
17		fiinfcl 9461	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
18	2, 6, 10, 16, 17	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
19		prmdvdsfmtnof1lem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
20	19	eleq1i 2820	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹})
21		eluz2nn 12854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23		prmdvdsfi 27024	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin)
25		exprmfct 16681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
27		rabn0 4355	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐺)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅)
29		ssrab2 4046	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℙ
30	29, 14	sstri 3959	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)
32		fiinfcl 9461	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
33	2, 24, 28, 31, 32	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
34		prmdvdsfmtnof1lem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
35	34	eleq1i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺})
36		nfrab1 3429	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}
37		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝ℝ
38		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝 <
39	36, 37, 38	nfinf 9441	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < )
40	34, 39	nfcxfr 2890	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝𝐽
41		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝ℙ
42		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 ∥
43		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐺
44	40, 42, 43	nfbr 5157	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐽 ∥ 𝐺
45		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝐽 → (𝑝 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
46	40, 41, 44, 45	elrabf 3658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺))
47		nfrab1 3429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}
48	47, 37, 38	nfinf 9441	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < )
49	19, 48	nfcxfr 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝐼
50		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑝𝐹
51	49, 42, 50	nfbr 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝 𝐼 ∥ 𝐹
52		breq1 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
53	49, 41, 51, 52	elrabf 3658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹))
54		simp2l 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐹)
56		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽 ∥ 𝐺)
57		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
58	57	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∥ 𝐺 ↔ 𝐽 ∥ 𝐺))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∥ 𝐺)
60	54, 55, 59	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))
61	60	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
62	53, 61	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽 ∥ 𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
63	46, 62	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
65	35, 64	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))))
66	33, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
67	20, 66	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺))))
68	18, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   Or wor 5548  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  infcinf 9399  ℝcr 11074   < clt 11215  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤ_≥cuz 12800   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47592