Theorem iundisjfi 32646

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 25521. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisj3.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisj3.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisjfi	⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4073	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2		fzossnn 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		nnuz 12898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 4013	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
5	1, 4	sstri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		rabn0 4387	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
8		infssuzcl 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
9	5, 7, 8	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10	1, 9	sselid 3974	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11		nfrab1 3438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
12		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
13		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
14	11, 12, 13	nfinf 9507	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
15		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑁)
16	14	nfcsb1 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
17	16	nfcri 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
18		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
19	18	eleq2d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
20	14, 15, 17, 19	elrabf 3675	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
21	9, 20	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
22	21	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
23	1, 2	sstri 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
24		nnssre 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
25	23, 24	sstri 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
26	25, 9	sselid 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	26	ltnrd 11380	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
28		eliun 5001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
29	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30		elfzouz2 13682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
31		fzoss2 13695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
32	10, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
33	32	sselda 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
34	33	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
35	2, 34	sselid 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
39		iundisj3.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
40	39	nfcri 2882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
41		iundisj3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
42	41	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
43	38, 15, 40, 42	elrabf 3675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
44	34, 37, 43	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
45		infssuzle 12948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	5, 44, 45	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47		elfzolt2 13676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	29, 36, 29, 46, 48	lelttrd 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	49	rexlimdva2 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
51	28, 50	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
52	27, 51	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
53	22, 52	eldifd 3955	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
54		csbeq1 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
56	55	iuneq1d 5024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
58	57	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
59	58	rspcev 3606	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	10, 53, 59	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
62		nfcsb1v 3914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
63		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑚)
64	63, 39	nfiun 5027	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
65	62, 64	nfdif 4121	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
66	65	nfcri 2882	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
67		csbeq1a 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
68		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
69	68	iuneq1d 5024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
70	67, 69	difeq12d 4119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
71	70	eleq2d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
72	61, 66, 71	cbvrexw 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
73	60, 72	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
74		eldifi 4123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
75	74	reximi 3073	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
76	73, 75	impbii 208	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
77		eliun 5001	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
78		eliun 5001	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
79	76, 77, 78	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
80	79	eqriv 2722	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  {crab 3418  ⦋csb 3889   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  ℝcr 11139  1c1 11141   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℕcn 12245  ℤ_≥cuz 12855  ..^cfzo 13662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32648