Theorem iundisjfi 32719

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 25449. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisj3.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisj3.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisjfi	⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4043	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2		fzossnn 13672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		nnuz 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
5	1, 4	sstri 3956	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		rabn0 4352	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
8		infssuzcl 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10	1, 9	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11		nfrab1 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
12		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
13		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
14	11, 12, 13	nfinf 9434	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
15		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑁)
16	14	nfcsb1 3885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
17	16	nfcri 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
18		csbeq1a 3876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
19	18	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
20	14, 15, 17, 19	elrabf 3655	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
21	9, 20	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
22	21	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
23	1, 2	sstri 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
24		nnssre 12190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
25	23, 24	sstri 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
26	25, 9	sselid 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	26	ltnrd 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
28		eliun 4959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
29	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30		elfzouz2 13635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
31		fzoss2 13648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
32	10, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
33	32	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
35	2, 34	sselid 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
39		iundisj3.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
40	39	nfcri 2883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
41		iundisj3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
42	41	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
43	38, 15, 40, 42	elrabf 3655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
44	34, 37, 43	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
45		infssuzle 12890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	5, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47		elfzolt2 13629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
48	47	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	29, 36, 29, 46, 48	lelttrd 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	49	rexlimdva2 3136	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
51	28, 50	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
52	27, 51	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
53	22, 52	eldifd 3925	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
54		csbeq1 3865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
56	55	iuneq1d 4983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
58	57	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
59	58	rspcev 3588	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	10, 53, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
62		nfcsb1v 3886	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
63		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑚)
64	63, 39	nfiun 4987	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
65	62, 64	nfdif 4092	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
66	65	nfcri 2883	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
67		csbeq1a 3876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
68		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
69	68	iuneq1d 4983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
70	67, 69	difeq12d 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
71	70	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
72	61, 66, 71	cbvrexw 3281	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
73	60, 72	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
74		eldifi 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
75	74	reximi 3067	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
76	73, 75	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
77		eliun 4959	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
78		eliun 4959	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
79	76, 77, 78	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
80	79	eqriv 2726	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405  ⦋csb 3862   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℝcr 11067  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32721