Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjfi 32609
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 25495. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0 Ⅎ𝑛𝐡
iundisj3.1 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
iundisjfi βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝑁   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4069 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† (1..^𝑁)
2 fzossnn 13713 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) βŠ† β„•
3 nnuz 12895 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
42, 3sseqtri 4009 . . . . . . . . 9 (1..^𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
51, 4sstri 3982 . . . . . . . 8 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
6 rabn0 4381 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴)
76biimpri 227 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ…)
8 infssuzcl 12946 . . . . . . . 8 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
95, 7, 8sylancr 585 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
101, 9sselid 3970 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11 nfrab1 3439 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}
12 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛ℝ
13 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 <
1411, 12, 13nfinf 9505 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )
15 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(1..^𝑁)
1614nfcsb1 3908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄
1716nfcri 2882 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄
18 csbeq1a 3898 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄)
1918eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄))
2014, 15, 17, 19elrabf 3670 . . . . . . . . 9 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄))
219, 20sylib 217 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄))
2221simprd 494 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄)
231, 2sstri 3982 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† β„•
24 nnssre 12246 . . . . . . . . . . 11 β„• βŠ† ℝ
2523, 24sstri 3982 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ
2625, 9sselid 3970 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2726ltnrd 11378 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
28 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))π‘₯ ∈ 𝐡)
2926ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30 elfzouz2 13679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
31 fzoss2 13692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )) β†’ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )) βŠ† (1..^𝑁))
3210, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )) βŠ† (1..^𝑁))
3332sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑁))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑁))
352, 34sselid 3970 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3635nnred 12257 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
37 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
38 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›π‘˜
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛𝐡
4039nfcri 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ 𝐡
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
4241eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
4338, 15, 40, 42elrabf 3670 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} ↔ (π‘˜ ∈ (1..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
4434, 37, 43sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
45 infssuzle 12945 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}) β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≀ π‘˜)
465, 44, 45sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≀ π‘˜)
47 elfzolt2 13673 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )) β†’ π‘˜ < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
4847ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 11402 . . . . . . . . . 10 (((βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
5049rexlimdva2 3147 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
5128, 50biimtrid 241 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡 β†’ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
5227, 51mtod 197 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡)
5322, 52eldifd 3950 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡))
54 csbeq1 3887 . . . . . . . . 9 (π‘š = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄)
55 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘š = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ (1..^π‘š) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
5655iuneq1d 5018 . . . . . . . . 9 (π‘š = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡)
5754, 56difeq12d 4115 . . . . . . . 8 (π‘š = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡) = (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡))
5857eleq2d 2811 . . . . . . 7 (π‘š = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) β†’ (π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡)))
5958rspcev 3601 . . . . . 6 ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐡)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡))
6010, 53, 59syl2anc 582 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡))
61 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘š π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)
62 nfcsb1v 3909 . . . . . . . 8 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄
63 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(1..^π‘š)
6463, 39nfiun 5021 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡
6562, 64nfdif 4117 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡)
6665nfcri 2882 . . . . . 6 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡)
67 csbeq1a 3898 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ 𝐴 = β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
68 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (1..^𝑛) = (1..^π‘š))
6968iuneq1d 5018 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡)
7067, 69difeq12d 4115 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) = (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡))
7170eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡)))
7261, 66, 71cbvrexw 3295 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘š)𝐡))
7360, 72sylibr 233 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
74 eldifi 4119 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7574reximi 3074 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴)
7673, 75impbii 208 . . 3 (βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
77 eliun 4995 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ 𝐴)
78 eliun 4995 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (1..^𝑁)π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
7976, 77, 783bitr4i 302 . 2 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
8079eqriv 2722 1 βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = βˆͺ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  β¦‹csb 3884   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  infcinf 9464  β„cr 11137  1c1 11139   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  β„€β‰₯cuz 12852  ..^cfzo 13659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32611
  Copyright terms: Public domain W3C validator