Theorem iundisjfi 32889

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 25534. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisj3.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisj3.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisjfi	⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4012	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2		fzossnn 13658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		nnuz 12819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
5	1, 4	sstri 3924	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		rabn0 4318	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	biimpri 229	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
8		infssuzcl 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
9	5, 7, 8	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10	1, 9	sselid 3913	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11		nfrab1 3411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
12		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
13		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
14	11, 12, 13	nfinf 9387	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
15		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑁)
16	14	nfcsb1 3854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
17	16	nfcri 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
18		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
19	18	eleq2d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
20	14, 15, 17, 19	elrabf 3626	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
21	9, 20	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
22	21	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
23	1, 2	sstri 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
24		nnssre 12170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
25	23, 24	sstri 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
26	25, 9	sselid 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	26	ltnrd 11272	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
28		eliun 4926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
29	26	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30		elfzouz2 13621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
31		fzoss2 13634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
32	10, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
33	32	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
35	2, 34	sselid 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
39		iundisj3.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
40	39	nfcri 2893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
41		iundisj3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
42	41	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
43	38, 15, 40, 42	elrabf 3626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
44	34, 37, 43	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
45		infssuzle 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	5, 44, 45	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47		elfzolt2 13615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
48	47	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	29, 36, 29, 46, 48	lelttrd 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	49	rexlimdva2 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
51	28, 50	biimtrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
52	27, 51	mtod 199	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
53	22, 52	eldifd 3894	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
54		csbeq1 3834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
56	55	iuneq1d 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
58	57	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
59	58	rspcev 3560	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	10, 53, 59	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
62		nfcsb1v 3855	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
63		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑚)
64	63, 39	nfiun 4954	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
65	62, 64	nfdif 4061	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
66	65	nfcri 2893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
67		csbeq1a 3845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
68		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
69	68	iuneq1d 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
70	67, 69	difeq12d 4059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
71	70	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
72	61, 66, 71	cbvrexw 3282	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
73	60, 72	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
74		eldifi 4062	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
75	74	reximi 3077	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
76	73, 75	impbii 210	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
77		eliun 4926	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
78		eliun 4926	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
79	76, 77, 78	3bitr4i 304	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
80	79	eqriv 2736	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  {crab 3391  ⦋csb 3831   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ∪ ciun 4922   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  infcinf 9345  ℝcr 11029  1c1 11031   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℕcn 12166  ℤ_≥cuz 12780  ..^cfzo 13600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32891