Theorem iundisjfi 32798

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 25583. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisj3.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisj3.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisjfi	⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4080	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2		fzossnn 13751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3		nnuz 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
5	1, 4	sstri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		rabn0 4389	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
8		infssuzcl 12974	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10	1, 9	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11		nfrab1 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
12		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
13		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
14	11, 12, 13	nfinf 9522	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
15		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑁)
16	14	nfcsb1 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
17	16	nfcri 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
18		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
19	18	eleq2d 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
20	14, 15, 17, 19	elrabf 3688	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
21	9, 20	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
22	21	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
23	1, 2	sstri 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
24		nnssre 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
25	23, 24	sstri 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
26	25, 9	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	26	ltnrd 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
28		eliun 4995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
29	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30		elfzouz2 13714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
31		fzoss2 13727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
32	10, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
33	32	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
35	2, 34	sselid 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
39		iundisj3.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
40	39	nfcri 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
41		iundisj3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
42	41	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
43	38, 15, 40, 42	elrabf 3688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
44	34, 37, 43	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
45		infssuzle 12973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	5, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47		elfzolt2 13708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
48	47	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	29, 36, 29, 46, 48	lelttrd 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	49	rexlimdva2 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
51	28, 50	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
52	27, 51	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
53	22, 52	eldifd 3962	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
54		csbeq1 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
55		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
56	55	iuneq1d 5019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
57	54, 56	difeq12d 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
58	57	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
59	58	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
60	10, 53, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
62		nfcsb1v 3923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
63		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑚)
64	63, 39	nfiun 5023	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
65	62, 64	nfdif 4129	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
66	65	nfcri 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
67		csbeq1a 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
68		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
69	68	iuneq1d 5019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
70	67, 69	difeq12d 4127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
71	70	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
72	61, 66, 71	cbvrexw 3307	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
73	60, 72	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
74		eldifi 4131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
75	74	reximi 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
76	73, 75	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
77		eliun 4995	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ 𝐴)
78		eliun 4995	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
79	76, 77, 78	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
80	79	eqriv 2734	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436  ⦋csb 3899   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  ℝcr 11154  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32800