Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjfi 30119
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 23752. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0 𝑛𝐵
iundisj3.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisjfi 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3907 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2 fzossnn 12836 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 nnuz 12029 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3855 . . . . . . . . 9 (1..^𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
51, 4sstri 3829 . . . . . . . 8 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1)
6 rabn0 4187 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
76biimpri 220 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅)
8 infssuzcl 12079 . . . . . . . 8 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
95, 7, 8sylancr 581 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
101, 9sseldi 3818 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11 nfrab1 3308 . . . . . . . . . . 11 𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}
12 nfcv 2933 . . . . . . . . . . 11 𝑛
13 nfcv 2933 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
1411, 12, 13nfinf 8676 . . . . . . . . . 10 𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )
15 nfcv 2933 . . . . . . . . . 10 𝑛(1..^𝑁)
1614nfcsb1 3765 . . . . . . . . . . 11 𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
1716nfcri 2928 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
18 csbeq1a 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
1918eleq2d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
2014, 15, 17, 19elrabf 3567 . . . . . . . . 9 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
219, 20sylib 210 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
2221simprd 491 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
231, 2sstri 3829 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ
24 nnssre 11378 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℝ
2523, 24sstri 3829 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ
2625, 9sseldi 3818 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2726ltnrd 10510 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
28 eliun 4757 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵)
2926ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30 elfzouz2 12803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
31 fzoss2 12815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
3210, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
3332sselda 3820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
3433adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
352, 34sseldi 3818 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
3635nnred 11391 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
38 nfcv 2933 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑘
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐵
4039nfcri 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑥𝐵
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
4241eleq2d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
4338, 15, 40, 42elrabf 3567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝐵))
4434, 37, 43sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
45 infssuzle 12078 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
465, 44, 45sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47 elfzolt2 12798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
4847ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 10534 . . . . . . . . . 10 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
5049rexlimdva2 3215 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5128, 50syl5bi 234 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5227, 51mtod 190 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
5322, 52eldifd 3802 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
54 csbeq1 3753 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑚 / 𝑛𝐴 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
55 oveq2 6930 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5655iuneq1d 4778 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
5754, 56difeq12d 3951 . . . . . . . 8 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
5857eleq2d 2844 . . . . . . 7 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
5958rspcev 3510 . . . . . 6 ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
6010, 53, 59syl2anc 579 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
61 nfv 1957 . . . . . 6 𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
62 nfcsb1v 3766 . . . . . . . 8 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
63 nfcv 2933 . . . . . . . . 9 𝑛(1..^𝑚)
6463, 39nfiun 4781 . . . . . . . 8 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
6562, 64nfdif 3953 . . . . . . 7 𝑛(𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
6665nfcri 2928 . . . . . 6 𝑛 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
67 csbeq1a 3759 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
68 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
6968iuneq1d 4778 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
7067, 69difeq12d 3951 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
7170eleq2d 2844 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
7261, 66, 71cbvrex 3363 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
7360, 72sylibr 226 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
74 eldifi 3954 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥𝐴)
7574reximi 3191 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
7673, 75impbii 201 . . 3 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
77 eliun 4757 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
78 eliun 4757 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
7976, 77, 783bitr4i 295 . 2 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
8079eqriv 2774 1 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wnfc 2918  wne 2968  wrex 3090  {crab 3093  csb 3750  cdif 3788  wss 3791  c0 4140   ciun 4753   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  infcinf 8635  cr 10271  1c1 10273   < clt 10411  cle 10412  cn 11374  cuz 11992  ..^cfzo 12784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  30121
  Copyright terms: Public domain W3C validator