Theorem iundisjf 32408

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. Cf. iundisj 25505. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisjf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
iundisjf.2	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisjf.3	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iundisjf	⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjf

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4077	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℕ
2		nnuz 12905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	sseqtri 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1)
4		rabn0 4389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		infssuzcl 12956	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
7	3, 5, 6	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		nfrab1 3450	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
10		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 <
11	8, 9, 10	nfinf 9515	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
12		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13	11	nfcsb1 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
14	13	nfcri 2886	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴
15		csbeq1a 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
16	15	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3680	. . . . . . . 8 ⊢ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
18	7, 17	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴))
19	18	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
20	18	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
21	19	nnred 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 11388	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
23		eliun 5004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵)
24		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
25		iundisjf.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
26	25	nfcri 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ 𝐴
27	24, 26	nfrexw 3308	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴
28	26, 24	nfrabw 3467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
29		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
30		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31	28, 29, 30	nfinf 9515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
32	31, 30, 31	nfbr 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
33	21	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
34		elfzouz 13678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
35	34, 2	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nnred 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
38		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
40		iundisjf.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
41	40	nfcri 2886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
42		iundisjf.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
43	42	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
44	39, 12, 41, 43	elrabf 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
45	36, 38, 44	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
46		infssuzle 12955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47	3, 45, 46	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
48		elfzolt2 13683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	48	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	33, 37, 33, 47, 49	lelttrd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
51	50	exp31 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → (𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))))
52	27, 32, 51	rexlimd 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝑥 ∈ 𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
53	23, 52	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
54	22, 53	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
55	20, 54	eldifd 3960	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
56		csbeq1 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴)
57	31	nfeq2 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )
58		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(1..^𝑚)
59		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘1
60		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘..^
61	59, 60, 31	nfov 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
62		oveq2 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
63		eqidd 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → 𝐵 = 𝐵)
64	57, 58, 61, 62, 63	iuneq12df 5026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
65	56, 64	difeq12d 4123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
66	65	eleq2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
67	66	rspcev 3611	. . . . . 6 ⊢ ((inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (⦋inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
68	19, 55, 67	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
69		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
70		nfcsb1v 3919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
71		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(1..^𝑚)
72	71, 40	nfiun 5030	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
73	70, 72	nfdif 4125	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
74	73	nfcri 2886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
75		csbeq1a 3908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
76		oveq2 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
77	76	iuneq1d 5027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
78	75, 77	difeq12d 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
79	78	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
80	69, 74, 79	cbvrexw 3302	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
81	68, 80	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
82		eldifi 4127	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
83	82	reximi 3081	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
84	81, 83	impbii 208	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
85		eliun 5004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ 𝐴)
86		eliun 5004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
87	84, 85, 86	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
88	87	eqriv 2725	1 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  {crab 3430  ⦋csb 3894   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ∪ ciun 5000   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9474  ℝcr 11147  1c1 11149   < clt 11288   ≤ cle 11289  ℕcn 12252  ℤ_≥cuz 12862  ..^cfzo 13669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670

This theorem is referenced by:  iundisjcnt  32595