Theorem nzrnz 20486

Description: One and zero are different in a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnzr.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnzr.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		isnzr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20485	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
4	3	simprbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  NzRingcnzr 20483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6449  df-fv 6501  df-nzr 20484

This theorem is referenced by:  nzrunit  20495  nrhmzr  20508  lringnz  20514  subrgnzr  20565  rrgnz  20675  fidomndrng  20744  uvcf1  21785  lindfind2  21811  nm1  24645  deg1pw  26099  ply1nz  26100  ply1nzb  26101  mon1pid  26132  lgsqrlem4  27329  unitnz  33318  domnprodn0  33354  domnprodeq0  33355  fracfld  33387  drngidl  33511  drngidlhash  33512  drnglidl1ne0  33553  drng0mxidl  33554  qsdrngi  33573  deg1prod  33661  ply1moneq  33666  deg1vr  33670  vr1nz  33671  dimlssid  33795  ply1annnr  33866  algextdeglem4  33883  rtelextdg2lem  33889  zrhnm  34130  idomnnzpownz  42588  idomnnzgmulnz  42589  deg1gprod  42596  deg1pow  42597  domnexpgn0cl  42985  abvexp  42994  fiabv  42998  uvcn0  43004  deg1mhm  43649