Theorem nzrnz 20488

Description: One and zero are different in a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnzr.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnzr.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		isnzr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20487	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
4	3	simprbi 498	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6486  0_gc0g 17394  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  NzRingcnzr 20485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-iota 6442  df-fv 6494  df-nzr 20486

This theorem is referenced by:  nzrunit  20497  nrhmzr  20510  lringnz  20516  subrgnzr  20567  rrgnz  20677  fidomndrng  20746  uvcf1  21768  lindfind2  21794  nm1  24651  deg1pw  26105  ply1nz  26106  ply1nzb  26107  mon1pid  26138  lgsqrlem4  27331  unitnz  33321  domnprodn0  33357  domnprodeq0  33358  ricnzr1  33370  fracfld  33393  drngidl  33517  drngidlhash  33518  drnglidl1ne0  33559  drng0mxidl  33560  qsdrngi  33579  drnglring  33584  deg1prod  33675  ply1moneq  33680  deg1vr  33684  vr1nz  33685  psrnzr  33705  dimlssid  33825  ply1annnr  33896  algextdeglem4  33913  rtelextdg2lem  33919  zrhnm  34160  idomnnzpownz  42626  idomnnzgmulnz  42627  deg1gprod  42634  deg1pow  42635  domnexpgn0cl  43018  abvexp  43027  fiabv  43031  uvcn0  43037  deg1mhm  43654