Theorem nzrnz 20492

Description: One and zero are different in a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnzr.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnzr.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		isnzr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20491	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
4	3	simprbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  NzRingcnzr 20489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-nzr 20490

This theorem is referenced by:  nzrunit  20501  nrhmzr  20514  lringnz  20520  subrgnzr  20571  rrgnz  20681  fidomndrng  20750  uvcf1  21772  lindfind2  21798  nm1  24632  deg1pw  26086  ply1nz  26087  ply1nzb  26088  mon1pid  26119  lgsqrlem4  27312  unitnz  33300  domnprodn0  33336  domnprodeq0  33337  fracfld  33369  drngidl  33493  drngidlhash  33494  drnglidl1ne0  33535  drng0mxidl  33536  qsdrngi  33555  deg1prod  33643  ply1moneq  33648  deg1vr  33652  vr1nz  33653  dimlssid  33776  ply1annnr  33847  algextdeglem4  33864  rtelextdg2lem  33870  zrhnm  34111  idomnnzpownz  42571  idomnnzgmulnz  42572  deg1gprod  42579  deg1pow  42580  domnexpgn0cl  42968  abvexp  42977  fiabv  42981  uvcn0  42987  deg1mhm  43628