Theorem nzrnz 20598

Description: One and zero are different in a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnzr.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnzr.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		isnzr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20597	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
4	3	simprbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  0_gc0g 17492  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  NzRingcnzr 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-iota 6493  df-fv 6545  df-nzr 20596

This theorem is referenced by:  drnglidl1ne0  20602  nzrunit  20608  nrhmzr  20622  lringnz  20628  subrgnzr  20679  rrgnz  20789  fidomndrng  20855  uvcf1  21911  lindfind2  21937  nm1  24793  deg1pw  26247  ply1nz  26248  ply1nzb  26249  mon1pid  26280  lgsqrlem4  27479  unitnz  33499  domnprodn0  33539  domnprodeq0  33540  ricnzr1  33549  fracfld  33572  drngidl  33685  drngidlhash  33686  drng0mxidl  33703  qsdrngi  33722  drnglring  33727  deg1prod  33818  ply1moneq  33823  deg1vr  33827  vr1nz  33828  psrnzr  33847  dimlssid  33967  ply1annnr  34038  algextdeglem4  34055  rtelextdg2lem  34061  zrhnm  34302  idomnnzpownz  42823  idomnnzgmulnz  42824  deg1gprod  42831  deg1pow  42832  domnexpgn0cl  43217  abvexp  43226  fiabv  43230  uvcn0  43236  deg1mhm  43853  smprngprmrng  49027