Theorem subrgnzr 20595

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 20575	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4, 5	nzrnz 20516	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	1, 4	subrg1 20583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
10	1, 5	subrg0 20580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
12	7, 9, 11	3netr3d 3016	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	13, 14	isnzr 20515	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
16	3, 12, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↾_s cress 17275  0_gc0g 17485  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  NzRingcnzr 20513  SubRingcsubrg 20570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-subg 19142  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-nzr 20514  df-subrg 20571

This theorem is referenced by:  subrdom  33289