MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgnzr 20017
Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgnzr.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgnzr ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem subrgnzr
StepHypRef Expression
1 subrgnzr.1 . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
21subrgring 19514 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
32adantl 484 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4 eqid 2820 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 eqid 2820 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
64, 5nzrnz 20009 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
76adantr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
81, 4subrg1 19521 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
98adantl 484 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
101, 5subrg0 19518 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
1110adantl 484 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
127, 9, 113netr3d 3082 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ≠ (0g𝑆))
13 eqid 2820 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
14 eqid 2820 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1513, 14isnzr 20008 . 2 (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r𝑆) ≠ (0g𝑆)))
163, 12, 15sylanbrc 585 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  cfv 6331  (class class class)co 7133  s cress 16463  0gc0g 16692  1rcur 19230  Ringcrg 19276  SubRingcsubrg 19507  NzRingcnzr 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-nzr 20007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator