Theorem uvcn0 42663

Description: A unit vector is nonzero. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcn0.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcn0.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcn0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcn0	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Proof of Theorem uvcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 20434	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
5		uvcn0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ NzRing)
7		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	5, 6, 7, 8, 1	uvcvv1 21730	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = (1r‘𝑅))
10		uvcn0.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		nzrring 20435	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
13	10, 2, 12, 7, 8	frlm0vald 42660	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((0g‘𝑌)‘𝐽) = (0g‘𝑅))
14	4, 9, 13	3netr4d 3006	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) ≠ ((0g‘𝑌)‘𝐽))
15		fveq1 6829	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝐽) = (0g‘𝑌) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = ((0g‘𝑌)‘𝐽))
16	15	necon3i 2961	. . 3 ⊢ (((𝑈‘𝐽)‘𝐽) ≠ ((0g‘𝑌)‘𝐽) → (𝑈‘𝐽) ≠ (0g‘𝑌))
17	14, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ (0g‘𝑌))
18		uvcn0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 0 = (0g‘𝑌))
20	17, 19	neeqtrrd 3003	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  0_gc0g 17347  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  NzRingcnzr 20431   freeLMod cfrlm 21687   unitVec cuvc 21723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-nzr 20432  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724

This theorem is referenced by:  0prjspnlem  42744