Theorem uvcn0 42530

Description: A unit vector is nonzero. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcn0.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcn0.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcn0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcn0	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Proof of Theorem uvcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 20424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
5		uvcn0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ NzRing)
7		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	5, 6, 7, 8, 1	uvcvv1 21698	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = (1r‘𝑅))
10		uvcn0.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		nzrring 20425	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
13	10, 2, 12, 7, 8	frlm0vald 42527	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((0g‘𝑌)‘𝐽) = (0g‘𝑅))
14	4, 9, 13	3netr4d 3002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) ≠ ((0g‘𝑌)‘𝐽))
15		fveq1 6857	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝐽) = (0g‘𝑌) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = ((0g‘𝑌)‘𝐽))
16	15	necon3i 2957	. . 3 ⊢ (((𝑈‘𝐽)‘𝐽) ≠ ((0g‘𝑌)‘𝐽) → (𝑈‘𝐽) ≠ (0g‘𝑌))
17	14, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ (0g‘𝑌))
18		uvcn0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 0 = (0g‘𝑌))
20	17, 19	neeqtrrd 2999	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421   freeLMod cfrlm 21655   unitVec cuvc 21691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-nzr 20422  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692

This theorem is referenced by:  0prjspnlem  42611