Theorem uvcn0 39200

Description: A unit vector is nonzero. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcn0.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcn0.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcn0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcn0	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Proof of Theorem uvcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 20033	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
4	3	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
5		uvcn0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ NzRing)
7		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	5, 6, 7, 8, 1	uvcvv1 20933	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = (1r‘𝑅))
10		nzrring 20034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
12		uvcn0.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
13	12, 2	frlm0 20898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
14	11, 7, 13	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
15		uvcn0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
16	14, 15	syl6reqr 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 0 = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
17	16	fveq1d 6672	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝐽) = ((𝐼 × {(0g‘𝑅)})‘𝐽))
18		fvex 6683	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
19	18	fvconst2 6966	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(0g‘𝑅)})‘𝐽) = (0g‘𝑅))
20	8, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(0g‘𝑅)})‘𝐽) = (0g‘𝑅))
21	17, 20	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝐽) = (0g‘𝑅))
22	4, 9, 21	3netr4d 3093	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) ≠ ( 0 ‘𝐽))
23		fveq1 6669	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐽) = 0 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = ( 0 ‘𝐽))
24	23	adantl 484	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ (𝑈‘𝐽) = 0 ) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = ( 0 ‘𝐽))
25	22, 24	mteqand 3122	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {csn 4567   × cxp 5553  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  NzRingcnzr 20030   freeLMod cfrlm 20890   unitVec cuvc 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-nzr 20031  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-uvc 20927

This theorem is referenced by:  0prjspnlem  39317