Theorem zrhnm 34302

Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhnm	⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20599	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zrhnm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
7		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	5, 6, 7	zrhmulg 21628	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9	8	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
10	3, 4, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
11		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12		nmmulg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13	12, 7	ringidcl 20348	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16		nmmulg.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
17	12, 15, 16, 6	nmmulg 34301	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
18	11, 4, 14, 17	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
19	16, 15	zlmnm 34299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
20	1, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
21	20	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)))
22		simpl2 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23		nrgring 24789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	7, 25	nzrnz 20598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
27	1, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
28	16, 7	zlm1 34296	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑍)
29	16, 25	zlm0 34295	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑍)
30	28, 29	isnzr 20597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
31	24, 27, 30	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
33	32, 28	nm1 24793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
34	22, 31, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
35	21, 34	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
36	35	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
37	10, 18, 36	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
38	4	zcnd 12701	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		abscl 15329	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11237	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41		mulrid 11206	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
42	38, 40, 41	3syl 19	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
43	37, 42	eqtrd 2804	1 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   · cmul 11105  ℤcz 12591  abscabs 15285  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  ._gcmg 19133  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  NzRingcnzr 20595  ℤRHomczrh 21618  ℤModczlm 21619  normcnm 24702  NrmRingcnrg 24705  NrmModcnlm 24706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-abv 20890  df-lmod 20961  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-zlm 21623  df-nm 24708  df-nrg 24711  df-nlm 24712

This theorem is referenced by:  qqhnm  34325