Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 33570
Description: The norm of the image by β„€RHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmulg.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmulg.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
zrhnm.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20455 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 484 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
85, 6, 7zrhmulg 21435 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘€) = (𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
98fveq2d 6901 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
103, 4, 9syl2anc 583 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
11 simpl1 1189 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1312, 7ringidcl 20202 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
1712, 15, 16, 6nmmulg 33569 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1369 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1916, 15zlmnm 33567 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
2120fveq1d 6899 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
22 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 24593 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
267, 25nzrnz 20454 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
2816, 7zlm1 33562 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘)
2916, 25zlm0 33561 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘)
3028, 29isnzr 20453 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
3124, 27, 30sylanbrc 582 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2728 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘) = (normβ€˜π‘)
3332, 28nm1 24597 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3521, 34eqtrd 2768 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3635oveq2d 7436 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
3710, 18, 363eqtrd 2772 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
384zcnd 12698 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
39 abscl 15258 . . . 4 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4039recnd 11273 . . 3 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
41 mulrid 11243 . . 3 ((absβ€˜π‘€) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4337, 42eqtrd 2768 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  1c1 11140   Β· cmul 11144  β„€cz 12589  abscabs 15214  Basecbs 17180  0gc0g 17421  .gcmg 19023  1rcur 20121  Ringcrg 20173  NzRingcnzr 20451  β„€RHomczrh 21425  β„€Modczlm 21426  normcnm 24498  NrmRingcnrg 24501  NrmModcnlm 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-nzr 20452  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-zlm 21430  df-nm 24504  df-nrg 24507  df-nlm 24508
This theorem is referenced by:  qqhnm  33591
  Copyright terms: Public domain W3C validator