Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 32607
Description: The norm of the image by β„€RHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmulg.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmulg.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
zrhnm.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20747 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 486 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
85, 6, 7zrhmulg 20926 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘€) = (𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
98fveq2d 6847 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
103, 4, 9syl2anc 585 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
11 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1312, 7ringidcl 19994 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
1712, 15, 16, 6nmmulg 32606 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1372 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1916, 15zlmnm 32604 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
2120fveq1d 6845 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
22 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 24043 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
267, 25nzrnz 20746 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
2816, 7zlm1 32599 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘)
2916, 25zlm0 32598 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘)
3028, 29isnzr 20745 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
3124, 27, 30sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘) = (normβ€˜π‘)
3332, 28nm1 24047 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3521, 34eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3635oveq2d 7374 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
3710, 18, 363eqtrd 2777 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
384zcnd 12613 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
39 abscl 15169 . . . 4 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4039recnd 11188 . . 3 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
41 mulid1 11158 . . 3 ((absβ€˜π‘€) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4337, 42eqtrd 2773 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057   Β· cmul 11061  β„€cz 12504  abscabs 15125  Basecbs 17088  0gc0g 17326  .gcmg 18877  1rcur 19918  Ringcrg 19969  NzRingcnzr 20743  β„€RHomczrh 20916  β„€Modczlm 20917  normcnm 23948  NrmRingcnrg 23951  NrmModcnlm 23952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-lmod 20338  df-nzr 20744  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zlm 20921  df-nm 23954  df-nrg 23957  df-nlm 23958
This theorem is referenced by:  qqhnm  32628
  Copyright terms: Public domain W3C validator