Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 33968
Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20516 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 484 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (.g𝑅) = (.g𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
85, 6, 7zrhmulg 21520 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
98fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
103, 4, 9syl2anc 584 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
11 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
1312, 7ringidcl 20262 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
1712, 15, 16, 6nmmulg 33967 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1373 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1916, 15zlmnm 33965 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
2120fveq1d 6908 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)))
22 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 24684 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
267, 25nzrnz 20515 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
2816, 7zlm1 33960 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑍)
2916, 25zlm0 33959 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑍)
3028, 29isnzr 20514 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3124, 27, 30sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
3332, 28nm1 24688 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3521, 34eqtrd 2777 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3635oveq2d 7447 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
3710, 18, 363eqtrd 2781 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
384zcnd 12723 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39 abscl 15317 . . . 4 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
4039recnd 11289 . . 3 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41 mulrid 11259 . . 3 ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4337, 42eqtrd 2777 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   · cmul 11160  cz 12613  abscabs 15273  Basecbs 17247  0gc0g 17484  .gcmg 19085  1rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  ℤRHomczrh 21510  ℤModczlm 21511  normcnm 24589  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zlm 21515  df-nm 24595  df-nrg 24598  df-nlm 24599
This theorem is referenced by:  qqhnm  33991
  Copyright terms: Public domain W3C validator