Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 32158
Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20630 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 485 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (.g𝑅) = (.g𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
85, 6, 7zrhmulg 20809 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
98fveq2d 6823 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
103, 4, 9syl2anc 584 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
11 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
1312, 7ringidcl 19894 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
1712, 15, 16, 6nmmulg 32157 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1370 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1916, 15zlmnm 32155 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
2120fveq1d 6821 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)))
22 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 23925 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
267, 25nzrnz 20629 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
2816, 7zlm1 32150 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑍)
2916, 25zlm0 32149 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑍)
3028, 29isnzr 20628 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3124, 27, 30sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
3332, 28nm1 23929 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3521, 34eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3635oveq2d 7345 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
3710, 18, 363eqtrd 2780 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
384zcnd 12520 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39 abscl 15081 . . . 4 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
4039recnd 11096 . . 3 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41 mulid1 11066 . . 3 ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4337, 42eqtrd 2776 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  1c1 10965   · cmul 10969  cz 12412  abscabs 15036  Basecbs 17001  0gc0g 17239  .gcmg 18788  1rcur 19824  Ringcrg 19870  NzRingcnzr 20626  ℤRHomczrh 20799  ℤModczlm 20800  normcnm 23830  NrmRingcnrg 23833  NrmModcnlm 23834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-rp 12824  df-ico 13178  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-rnghom 20046  df-subrg 20119  df-abv 20175  df-lmod 20223  df-nzr 20627  df-cnfld 20696  df-zring 20769  df-zrh 20803  df-zlm 20804  df-nm 23836  df-nrg 23839  df-nlm 23840
This theorem is referenced by:  qqhnm  32179
  Copyright terms: Public domain W3C validator