Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 33698
Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20467 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 483 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2725 . . . . . 6 (.g𝑅) = (.g𝑅)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
85, 6, 7zrhmulg 21452 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
98fveq2d 6900 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
103, 4, 9syl2anc 582 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
1312, 7ringidcl 20214 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
1712, 15, 16, 6nmmulg 33697 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1916, 15zlmnm 33695 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
2120fveq1d 6898 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)))
22 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 24624 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
267, 25nzrnz 20466 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
2816, 7zlm1 33690 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑍)
2916, 25zlm0 33689 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑍)
3028, 29isnzr 20465 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3124, 27, 30sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2725 . . . . . . 7 (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
3332, 28nm1 24628 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3521, 34eqtrd 2765 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3635oveq2d 7435 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
3710, 18, 363eqtrd 2769 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
384zcnd 12700 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39 abscl 15261 . . . 4 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
4039recnd 11274 . . 3 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41 mulrid 11244 . . 3 ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4337, 42eqtrd 2765 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  1c1 11141   · cmul 11145  cz 12591  abscabs 15217  Basecbs 17183  0gc0g 17424  .gcmg 19031  1rcur 20133  Ringcrg 20185  NzRingcnzr 20463  ℤRHomczrh 21442  ℤModczlm 21443  normcnm 24529  NrmRingcnrg 24532  NrmModcnlm 24533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zlm 21447  df-nm 24535  df-nrg 24538  df-nlm 24539
This theorem is referenced by:  qqhnm  33719
  Copyright terms: Public domain W3C validator