Theorem zrhnm 31320

Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhnm	⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20027	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zrhnm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
7		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	5, 6, 7	zrhmulg 20203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9	8	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
10	3, 4, 9	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
11		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12		nmmulg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13	12, 7	ringidcl 19314	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16		nmmulg.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
17	12, 15, 16, 6	nmmulg 31319	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
18	11, 4, 14, 17	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
19	16, 15	zlmnm 31317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
20	1, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
21	20	fveq1d 6647	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)))
22		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23		nrgring 23269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	7, 25	nzrnz 20026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
27	1, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
28	16, 7	zlm1 31314	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑍)
29	16, 25	zlm0 31313	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑍)
30	28, 29	isnzr 20025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
31	24, 27, 30	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
33	32, 28	nm1 23273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
34	22, 31, 33	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
35	21, 34	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
36	35	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
37	10, 18, 36	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
38	4	zcnd 12076	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		abscl 14630	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10658	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41		mulid1 10628	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
42	38, 40, 41	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
43	37, 42	eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   · cmul 10531  ℤcz 11969  abscabs 14585  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  ._gcmg 18216  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  NzRingcnzr 20023  ℤRHomczrh 20193  ℤModczlm 20194  normcnm 23183  NrmRingcnrg 23186  NrmModcnlm 23187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-nzr 20024  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zlm 20198  df-nm 23189  df-nrg 23192  df-nlm 23193

This theorem is referenced by:  qqhnm  31341