Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 30554
Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1250 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 19629 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 479 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (.g𝑅) = (.g𝑅)
7 eqid 2825 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
85, 6, 7zrhmulg 20225 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
98fveq2d 6441 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
103, 4, 9syl2anc 579 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))))
11 simpl1 1246 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
1312, 7ringidcl 18929 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
1712, 15, 16, 6nmmulg 30553 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1494 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))))
1916, 15zlmnm 30551 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
2120fveq1d 6439 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)))
22 simpl2 1248 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 22844 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
267, 25nzrnz 19628 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
2816, 7zlm1 30548 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑍)
2916, 25zlm0 30547 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑍)
3028, 29isnzr 19627 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3124, 27, 30sylanbrc 578 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2825 . . . . . . 7 (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
3332, 28nm1 22848 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r𝑅)) = 1)
3521, 34eqtrd 2861 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3635oveq2d 6926 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
3710, 18, 363eqtrd 2865 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
384zcnd 11818 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39 abscl 14402 . . . 4 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
4039recnd 10392 . . 3 (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41 mulid1 10361 . . 3 ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
4337, 42eqtrd 2861 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿𝑀)) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  1c1 10260   · cmul 10264  cz 11711  abscabs 14358  Basecbs 16229  0gc0g 16460  .gcmg 17901  1rcur 18862  Ringcrg 18908  NzRingcnzr 19625  ℤRHomczrh 20215  ℤModczlm 20216  normcnm 22758  NrmRingcnrg 22761  NrmModcnlm 22762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-abv 19180  df-lmod 19228  df-nzr 19626  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-zlm 20220  df-nm 22764  df-nrg 22767  df-nlm 22768
This theorem is referenced by:  qqhnm  30575
  Copyright terms: Public domain W3C validator