Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhnm 33469
Description: The norm of the image by β„€RHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmulg.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmulg.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
zrhnm.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhnm (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))

Proof of Theorem zrhnm
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 nzrring 20414 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 484 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 zrhnm.1 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
85, 6, 7zrhmulg 21385 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘€) = (𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
98fveq2d 6886 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
103, 4, 9syl2anc 583 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
12 nmmulg.x . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1312, 7ringidcl 20161 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
143, 13syl 17 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
15 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
16 nmmulg.z . . . . 5 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
1712, 15, 16, 6nmmulg 33468 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1811, 4, 14, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(𝑀(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
1916, 15zlmnm 33466 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
2120fveq1d 6884 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
22 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NrmRing)
23 nrgring 24524 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
267, 25nzrnz 20413 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
271, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
2816, 7zlm1 33461 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘)
2916, 25zlm0 33460 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘)
3028, 29isnzr 20412 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
3124, 27, 30sylanbrc 582 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑍 ∈ NzRing)
32 eqid 2724 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘) = (normβ€˜π‘)
3332, 28nm1 24528 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3422, 31, 33syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3521, 34eqtrd 2764 . . . 4 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3635oveq2d 7418 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
3710, 18, 363eqtrd 2768 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = ((absβ€˜π‘€) Β· 1))
384zcnd 12666 . . 3 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
39 abscl 15227 . . . 4 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4039recnd 11241 . . 3 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
41 mulrid 11211 . . 3 ((absβ€˜π‘€) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4238, 40, 413syl 18 . 2 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· 1) = (absβ€˜π‘€))
4337, 42eqtrd 2764 1 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜(πΏβ€˜π‘€)) = (absβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  1c1 11108   Β· cmul 11112  β„€cz 12557  abscabs 15183  Basecbs 17149  0gc0g 17390  .gcmg 18991  1rcur 20082  Ringcrg 20134  NzRingcnzr 20410  β„€RHomczrh 21375  β„€Modczlm 21376  normcnm 24429  NrmRingcnrg 24432  NrmModcnlm 24433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-abv 20656  df-lmod 20704  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-zlm 21380  df-nm 24435  df-nrg 24438  df-nlm 24439
This theorem is referenced by:  qqhnm  33490
  Copyright terms: Public domain W3C validator