Theorem zrhnm 30554

Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhnm	⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 19629	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simpr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zrhnm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
7		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	5, 6, 7	zrhmulg 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9	8	fveq2d 6441	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
10	3, 4, 9	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
11		simpl1 1246	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12		nmmulg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13	12, 7	ringidcl 18929	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16		nmmulg.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
17	12, 15, 16, 6	nmmulg 30553	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
18	11, 4, 14, 17	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
19	16, 15	zlmnm 30551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
20	1, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
21	20	fveq1d 6439	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)))
22		simpl2 1248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23		nrgring 22844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	7, 25	nzrnz 19628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
27	1, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
28	16, 7	zlm1 30548	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑍)
29	16, 25	zlm0 30547	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑍)
30	28, 29	isnzr 19627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
31	24, 27, 30	sylanbrc 578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
33	32, 28	nm1 22848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
34	22, 31, 33	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
35	21, 34	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
36	35	oveq2d 6926	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
37	10, 18, 36	3eqtrd 2865	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
38	4	zcnd 11818	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		abscl 14402	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10392	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41		mulid1 10361	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
42	38, 40, 41	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
43	37, 42	eqtrd 2861	1 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  1c1 10260   · cmul 10264  ℤcz 11711  abscabs 14358  Basecbs 16229  0_gc0g 16460  ._gcmg 17901  1_rcur 18862  Ringcrg 18908  NzRingcnzr 19625  ℤRHomczrh 20215  ℤModczlm 20216  normcnm 22758  NrmRingcnrg 22761  NrmModcnlm 22762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-abv 19180  df-lmod 19228  df-nzr 19626  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-zlm 20220  df-nm 22764  df-nrg 22767  df-nlm 22768

This theorem is referenced by:  qqhnm  30575