Theorem zrhnm 33940

Description: The norm of the image by ℤRHom of an integer in a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
zrhnm.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhnm	⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem zrhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20401	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Ring)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zrhnm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	5, 6, 7	zrhmulg 21416	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9	8	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
10	3, 4, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
11		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
12		nmmulg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13	12, 7	ringidcl 20150	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
15		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16		nmmulg.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
17	12, 15, 16, 6	nmmulg 33939	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
18	11, 4, 14, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))))
19	16, 15	zlmnm 33937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑁 = (norm‘𝑍))
20	1, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
21	20	fveq1d 6824	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)))
22		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
23		nrgring 24549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	7, 25	nzrnz 20400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
27	1, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
28	16, 7	zlm1 33934	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑍)
29	16, 25	zlm0 33933	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑍)
30	28, 29	isnzr 20399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ NzRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
31	24, 27, 30	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ NzRing)
32		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
33	32, 28	nm1 24553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑍 ∈ NzRing) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
34	22, 31, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((norm‘𝑍)‘(1r‘𝑅)) = 1)
35	21, 34	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
36	35	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = ((abs‘𝑀) · 1))
37	10, 18, 36	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · 1))
38	4	zcnd 12581	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		abscl 15185	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11143	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
41		mulrid 11113	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℂ → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
42	38, 40, 41	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 1) = (abs‘𝑀))
43	37, 42	eqtrd 2764	1 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁‘(𝐿‘𝑀)) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   · cmul 11014  ℤcz 12471  abscabs 15141  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  ._gcmg 18946  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  NzRingcnzr 20397  ℤRHomczrh 21406  ℤModczlm 21407  normcnm 24462  NrmRingcnrg 24465  NrmModcnlm 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-abv 20694  df-lmod 20765  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zlm 21411  df-nm 24468  df-nrg 24471  df-nlm 24472

This theorem is referenced by:  qqhnm  33963