Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidlhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngidlhash 33462
Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
drngidlhash.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngidlhash (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 drngidlhash.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
41, 2, 3drngnidl 21253 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)})
54fveq2d 6910 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6 drngnzr 20748 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20516 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
91, 8ringidcl 20262 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 2nzrnz 20515 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
12 nelsn 4666 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → ¬ (1r𝑅) ∈ {(0g𝑅)})
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r𝑅) ∈ {(0g𝑅)})
14 nelne1 3039 . . . . . . . 8 (((1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r𝑅) ∈ {(0g𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g𝑅)})
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g𝑅)})
1615necomd 2996 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
176, 16syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18 snex 5436 . . . . . 6 {(0g𝑅)} ∈ V
19 fvex 6919 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
20 hashprg 14434 . . . . . 6 (({(0g𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
2118, 19, 20mp2an 692 . . . . 5 ({(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
2217, 21sylib 218 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
235, 22eqtrd 2777 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
2423adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27 2re 12340 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2826, 27eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
3130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g𝑅) ∈ V
33 hashsng 14408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0g𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g𝑅)}) = 1)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘{(0g𝑅)}) = 1
3531, 34eqtr3di 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
361, 20ringidl 33449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g𝑅)}})
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g𝑅)}})
383, 37eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g𝑅)}})
3938fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g𝑅)}}))
40 hashsng 14408 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(0g𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g𝑅)}}) = 1)
4118, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{{(0g𝑅)}}) = 1
4239, 41eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44 1lt2 12437 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
4543, 44eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
4628, 45ltned 11397 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
4746neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
4826, 47pm2.65da 817 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
4948neqned 2947 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
501, 2, 801eq0ring 20530 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g𝑅)})
5150eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅))
5251ex 412 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) = (1r𝑅) → {(0g𝑅)} = (Base‘𝑅)))
5352necon3d 2961 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ({(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g𝑅) ≠ (1r𝑅)))
5425, 49, 53sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g𝑅) ≠ (1r𝑅))
5554necomd 2996 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
568, 2isnzr 20514 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
5725, 55, 56sylanbrc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
583fvexi 6920 . . . . 5 𝑈 ∈ V
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
613, 2lidl0 21240 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → {(0g𝑅)} ∈ 𝑈)
6225, 61syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g𝑅)} ∈ 𝑈)
633, 1lidl1 21243 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
6425, 63syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65 hash2prd 14514 . . . . 5 ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6665imp 406 . . . 4 (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)})
6759, 60, 62, 64, 49, 66syl23anc 1379 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)})
681, 2, 3drngidl 33461 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6968biimpar 477 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
7057, 67, 69syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
7124, 70impbida 801 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295  2c2 12321  chash 14369  Basecbs 17247  0gc0g 17484  1rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  DivRingcdr 20729  LIdealclidl 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator