Theorem drngidlhash 33965

Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngidlhash.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidlhash	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		drngidlhash.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21511	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
5	4	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6		drngnzr 20982	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidcl 20474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 2	nzrnz 20745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12		nelsn 4627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
14		nelne1 3053	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
15	10, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
19		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20		hashprg 14519	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
22	17, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
23	5, 22	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
24	23	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27		2re 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
31	30	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32		fvex 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
33		hashsng 14493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
35	31, 34	eqtr3di 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
36	1, 2	0ringidl 21494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
37	29, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
38	3, 37	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}})
39	38	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}}))
40		hashsng 14493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1)
41	18, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1
42	39, 41	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44		1lt2 12496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
45	43, 44	eqbrtrdi 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
46	28, 45	ltned 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
47	46	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
48	26, 47	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
49	48	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
50	1, 2, 8	01eq0ring 20761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g‘𝑅)})
51	50	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
52	51	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)))
53	52	necon3d 2977	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
54	25, 49, 53	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
55	54	necomd 3011	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
56	8, 2	isnzr 20744	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
57	25, 55, 56	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
58	3	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
61	3, 2	lidl0 21490	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
62	25, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
63	3, 1	lidl1 21493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
64	25, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65		hash2prd 14600	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
66	65	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
67	59, 60, 62, 64, 49, 66	syl23anc 1404	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
68	1, 2, 3	drngidl 21519	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
69	68	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
70	57, 67, 69	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
71	24, 70	impbida 813	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6531  ℝcr 11180  1c1 11182   < clt 11324  2c2 12378  ♯chash 14454  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  NzRingcnzr 20742  DivRingcdr 20960  LIdealclidl 21464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-nzr 20743  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467

This theorem is used by: (None)