Theorem drngidlhash 33442

Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngidlhash.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidlhash	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		drngidlhash.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21271	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
5	4	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6		drngnzr 20765	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidcl 20280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 2	nzrnz 20532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12		nelsn 4671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
14		nelne1 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18		snex 5442	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
19		fvex 6920	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20		hashprg 14431	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
21	18, 19, 20	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
22	17, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
23	5, 22	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
24	23	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
31	30	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
33		hashsng 14405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
35	31, 34	eqtr3di 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
36	1, 2	0ringidl 33429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
37	29, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
38	3, 37	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}})
39	38	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}}))
40		hashsng 14405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1)
41	18, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1
42	39, 41	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
43	42	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44		1lt2 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
45	43, 44	eqbrtrdi 5187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
46	28, 45	ltned 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
47	46	neneqd 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
48	26, 47	pm2.65da 817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
49	48	neqned 2945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
50	1, 2, 8	01eq0ring 20547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g‘𝑅)})
51	50	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
52	51	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)))
53	52	necon3d 2959	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
54	25, 49, 53	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
55	54	necomd 2994	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
56	8, 2	isnzr 20531	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
57	25, 55, 56	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
58	3	fvexi 6921	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
61	3, 2	lidl0 21258	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
62	25, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
63	3, 1	lidl1 21261	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
64	25, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65		hash2prd 14511	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
66	65	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
67	59, 60, 62, 64, 49, 66	syl23anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
68	1, 2, 3	drngidl 33441	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
69	68	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
70	57, 67, 69	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
71	24, 70	impbida 801	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  1c1 11154   < clt 11293  2c2 12319  ♯chash 14366  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  DivRingcdr 20746  LIdealclidl 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237

This theorem is referenced by: (None)