Theorem drngidlhash 33869

Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngidlhash.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidlhash	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		drngidlhash.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21446	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
5	4	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6		drngnzr 20917	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidcl 20412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 2	nzrnz 20681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12		nelsn 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
14		nelne1 3054	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
15	10, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18		snex 5408	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
19		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20		hashprg 14463	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
22	17, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
23	5, 22	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
24	23	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27		2re 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
31	30	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
33		hashsng 14437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
35	31, 34	eqtr3di 2812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
36	1, 2	0ringidl 21429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
37	29, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
38	3, 37	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}})
39	38	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}}))
40		hashsng 14437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1)
41	18, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1
42	39, 41	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44		1lt2 12441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
45	43, 44	eqbrtrdi 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
46	28, 45	ltned 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
47	46	neneqd 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
48	26, 47	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
49	48	neqned 2964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
50	1, 2, 8	01eq0ring 20697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g‘𝑅)})
51	50	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
52	51	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)))
53	52	necon3d 2978	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
54	25, 49, 53	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
55	54	necomd 3012	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
56	8, 2	isnzr 20680	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
57	25, 55, 56	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
58	3	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
61	3, 2	lidl0 21425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
62	25, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
63	3, 1	lidl1 21428	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
64	25, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65		hash2prd 14544	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
66	65	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
67	59, 60, 62, 64, 49, 66	syl23anc 1404	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
68	1, 2, 3	drngidl 21454	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
69	68	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
70	57, 67, 69	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
71	24, 70	impbida 813	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  ℝcr 11127  1c1 11129   < clt 11271  2c2 12323  ♯chash 14398  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  NzRingcnzr 20678  DivRingcdr 20896  LIdealclidl 21399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-nzr 20679  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-lidl 21401  df-rsp 21402

This theorem is used by: (None)