Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidlhash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngidlhash 33021
Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
drngidlhash.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngidlhash (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2))
Proof of Theorem drngidlhash
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 drngidlhash.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
41, 2, 3drngnidl 21091 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
54fveq2d 6885 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6 drngnzr 20597 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20408 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
91, 8ringidcl 20155 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
118, 2nzrnz 20407 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
12 nelsn 4660 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
14 nelne1 3031 . . . . . . . 8 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  {(0gβ€˜π‘…)})
1510, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  {(0gβ€˜π‘…)})
1615necomd 2988 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
176, 16syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
18 snex 5421 . . . . . 6 {(0gβ€˜π‘…)} ∈ V
19 fvex 6894 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
20 hashprg 14352 . . . . . 6 (({(0gβ€˜π‘…)} ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) ↔ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2))
2118, 19, 20mp2an 689 . . . . 5 ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) ↔ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2)
2217, 21sylib 217 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2)
235, 22eqtrd 2764 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
2423adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
25 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
27 2re 12283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2826, 27eqeltrdi 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
3130fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
32 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
33 hashsng 14326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0gβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1
3531, 34eqtr3di 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
361, 20ringidl 33008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = {{(0gβ€˜π‘…)}})
3729, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = {{(0gβ€˜π‘…)}})
383, 37eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}})
3938fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}))
40 hashsng 14326 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(0gβ€˜π‘…)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}) = 1)
4118, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}) = 1
4239, 41eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 1)
4342adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 1)
44 1lt2 12380 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
4543, 44eqbrtrdi 5177 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) < 2)
4628, 45ltned 11347 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  2)
4746neneqd 2937 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
4826, 47pm2.65da 814 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ Β¬ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
4948neqned 2939 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
501, 2, 801eq0ring 20420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = {(0gβ€˜π‘…)})
5150eqcomd 2730 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
5251ex 412 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)))
5352necon3d 2953 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…)))
5425, 49, 53sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…))
5554necomd 2988 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
568, 2isnzr 20406 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5725, 55, 56sylanbrc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
583fvexi 6895 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ π‘ˆ ∈ V)
60 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
613, 2lidl0 21079 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ)
6225, 61syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ)
633, 1lidl1 21082 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
6425, 63syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
65 hash2prd 14433 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (({(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6665imp 406 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ ({(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
6759, 60, 62, 64, 49, 66syl23anc 1374 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
681, 2, 3drngidl 33020 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6968biimpar 477 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
7057, 67, 69syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
7124, 70impbida 798 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  β„cr 11105  1c1 11107   < clt 11245  2c2 12264  β™―chash 14287  Basecbs 17143  0gc0g 17384  1rcur 20076  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404  DivRingcdr 20577  LIdealclidl 21055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-nzr 20405  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-rsp 21058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator