Theorem drngidlhash 34053

Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngidlhash.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidlhash	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		drngidlhash.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21561	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
5	4	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6		drngnzr 21032	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidcl 20524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 2	nzrnz 20795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12		nelsn 4627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
14		nelne1 3056	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
15	10, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18		snex 5401	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
19		fvex 6921	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20		hashprg 14566	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
22	17, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
23	5, 22	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
24	23	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27		2re 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
31	30	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32		fvex 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
33		hashsng 14540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
35	31, 34	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
36	1, 2	0ringidl 21544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
37	29, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
38	3, 37	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}})
39	38	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}}))
40		hashsng 14540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1)
41	18, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1
42	39, 41	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44		1lt2 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
45	43, 44	eqbrtrdi 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
46	28, 45	ltned 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
47	46	neneqd 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
48	26, 47	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
49	48	neqned 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
50	1, 2, 8	01eq0ring 20811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g‘𝑅)})
51	50	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
52	51	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)))
53	52	necon3d 2980	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
54	25, 49, 53	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
55	54	necomd 3014	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
56	8, 2	isnzr 20794	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
57	25, 55, 56	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
58	3	fvexi 6922	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
61	3, 2	lidl0 21540	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
62	25, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
63	3, 1	lidl1 21543	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
64	25, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65		hash2prd 14647	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
66	65	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
67	59, 60, 62, 64, 49, 66	syl23anc 1405	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
68	1, 2, 3	drngidl 21569	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
69	68	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
70	57, 67, 69	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
71	24, 70	impbida 813	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6558  ℝcr 11226  1c1 11228   < clt 11370  2c2 12424  ♯chash 14501  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  NzRingcnzr 20792  DivRingcdr 21010  LIdealclidl 21514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-nzr 20793  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517

This theorem is used by: (None)