Theorem drngidlhash 33581

Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngidlhash.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidlhash	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Proof of Theorem drngidlhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		drngidlhash.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21293	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
5	4	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
6		drngnzr 20777	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidcl 20294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 2	nzrnz 20544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12		nelsn 4624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)})
14		nelne1 3053	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
15	10, 13, 14	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
18		snex 5395	. . . . . 6 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
19		fvex 6876	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20		hashprg 14405	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2))
21	18, 19, 20	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) ↔ (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
22	17, 21	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘{{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) = 2)
23	5, 22	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (♯‘𝑈) = 2)
24	23	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘𝑈) = 2)
25		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 2)
27		2re 12289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
29		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
31	30	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = (♯‘(Base‘𝑅)))
32		fvex 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
33		hashsng 14379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
35	31, 34	eqtr3di 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
36	1, 2	0ringidl 33568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
37	29, 35, 36	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
38	3, 37	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}})
39	38	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = (♯‘{{(0g‘𝑅)}}))
40		hashsng 14379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1)
41	18, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{{(0g‘𝑅)}}) = 1
42	39, 41	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
43	42	adantlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) = 1)
44		1lt2 12387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
45	43, 44	eqbrtrdi 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) < 2)
46	28, 45	ltned 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → (♯‘𝑈) ≠ 2)
47	46	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)) → ¬ (♯‘𝑈) = 2)
48	26, 47	pm2.65da 826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → ¬ {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
49	48	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))
50	1, 2, 8	01eq0ring 20559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = {(0g‘𝑅)})
51	50	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅))
52	51	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = (Base‘𝑅)))
53	52	necon3d 2977	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
54	25, 49, 53	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
55	54	necomd 3011	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
56	8, 2	isnzr 20543	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
57	25, 55, 56	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ NzRing)
58	3	fvexi 6877	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 ∈ V)
60		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (♯‘𝑈) = 2)
61	3, 2	lidl0 21280	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
62	25, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → {(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈)
63	3, 1	lidl1 21283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
64	25, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
65		hash2prd 14485	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) → (({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅)) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
66	65	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ V ∧ (♯‘𝑈) = 2) ∧ ({(0g‘𝑅)} ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ {(0g‘𝑅)} ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
67	59, 60, 62, 64, 49, 66	syl23anc 1395	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
68	1, 2, 3	drngidl 33580	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}))
69	68	biimpar 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)}) → 𝑅 ∈ DivRing)
70	57, 67, 69	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝑈) = 2) → 𝑅 ∈ DivRing)
71	24, 70	impbida 810	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (♯‘𝑈) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  {csn 4581  {cpr 4583  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  1c1 11071   < clt 11213  2c2 12269  ♯chash 14340  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  NzRingcnzr 20541  DivRingcdr 20758  LIdealclidl 21256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-nzr 20542  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259

This theorem is referenced by: (None)