Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidlhash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngidlhash 32541
Description: A ring is a division ring if and only if it admits exactly two ideals. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
drngidlhash.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngidlhash (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2))
Proof of Theorem drngidlhash
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 drngidlhash.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
41, 2, 3drngnidl 20847 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
54fveq2d 6893 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6 drngnzr 20328 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20288 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
91, 8ringidcl 20077 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
118, 2nzrnz 20287 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
12 nelsn 4668 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
14 nelne1 3040 . . . . . . . 8 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  {(0gβ€˜π‘…)})
1510, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  {(0gβ€˜π‘…)})
1615necomd 2997 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
176, 16syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
18 snex 5431 . . . . . 6 {(0gβ€˜π‘…)} ∈ V
19 fvex 6902 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
20 hashprg 14352 . . . . . 6 (({(0gβ€˜π‘…)} ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) ↔ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2))
2118, 19, 20mp2an 691 . . . . 5 ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) ↔ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2)
2217, 21sylib 217 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) = 2)
235, 22eqtrd 2773 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
2423adantl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
25 simpl 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
27 2re 12283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2826, 27eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
29 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
3130fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
32 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
33 hashsng 14326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0gβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1
3531, 34eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
361, 20ringidl 32528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = {{(0gβ€˜π‘…)}})
3729, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = {{(0gβ€˜π‘…)}})
383, 37eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}})
3938fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}))
40 hashsng 14326 . . . . . . . . . . . . . 14 ({(0gβ€˜π‘…)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}) = 1)
4118, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜{{(0gβ€˜π‘…)}}) = 1
4239, 41eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 1)
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 1)
44 1lt2 12380 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
4543, 44eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) < 2)
4628, 45ltned 11347 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  2)
4746neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
4826, 47pm2.65da 816 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ Β¬ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
4948neqned 2948 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))
501, 2, 801eq0ring 20298 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = {(0gβ€˜π‘…)})
5150eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…))
5251ex 414 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = (Baseβ€˜π‘…)))
5352necon3d 2962 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ({(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…)))
5425, 49, 53sylc 65 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…))
5554necomd 2997 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
568, 2isnzr 20286 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5725, 55, 56sylanbrc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
583fvexi 6903 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ π‘ˆ ∈ V)
60 simpr 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2)
613, 2lidl0 20837 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ)
6225, 61syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ)
633, 1lidl1 20838 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
6425, 63syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
65 hash2prd 14433 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ (({(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6665imp 408 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) ∧ ({(0gβ€˜π‘…)} ∈ π‘ˆ ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ {(0gβ€˜π‘…)} β‰  (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
6759, 60, 62, 64, 49, 66syl23anc 1378 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)})
681, 2, 3drngidl 32540 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}))
6968biimpar 479 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{(0gβ€˜π‘…)}, (Baseβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
7057, 67, 69syl2anc 585 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
7124, 70impbida 800 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6541  β„cr 11106  1c1 11108   < clt 11245  2c2 12264  β™―chash 14287  Basecbs 17141  0gc0g 17382  1rcur 19999  Ringcrg 20050  NzRingcnzr 20284  DivRingcdr 20308  LIdealclidl 20776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator