Theorem ply1annnr 34198

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is not the whole polynomial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annnr.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1annnr.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
ply1annnr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝑅,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1annnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
3		ply1annidl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1annidl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6	subrg1cl 20741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
9		ply1annidl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	5, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12, 9, 6	ress1r 33657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	14	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
16		ply1annidl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
18		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
19		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
20	12	subrgring 20735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
22	16, 17, 18, 19, 21	ply1ascl1 22479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
23	15, 22	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
24	16	ply1ring 22471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25		ply1annnr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	25, 19	ringidcl 20405	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
27	21, 24, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
28	23, 27	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈)
29		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
30		ply1annidl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	29, 16, 12, 9, 17, 3, 5, 8, 30	evls1scafv 22590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
32		ply1annnr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
33		ply1annidl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34	6, 33	nzrnz 20674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
35	32, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
36	31, 35	eqnetrd 3024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) ≠ 0 )
37	36	neneqd 2962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
38		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
39	38	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴))
40	39	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
41	40	elrab 3648	. . . . . 6 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
42	41	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
43	37, 42	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
44		nelne1 3054	. . . 4 ⊢ ((((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
45	28, 43, 44	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
46	45	necomd 3012	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ≠ 𝑈)
47	2, 46	eqnetrd 3024	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   ⊆ wss 3902  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303   ↾_s cress 17324  0_gc0g 17526  1_rcur 20319  Ringcrg 20371  CRingccrg 20372  NzRingcnzr 20671  SubRingcsubrg 20730  algSccascl 22066  Poly₁cpl1 22401   evalSub₁ ces1 22537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-srg 20325  df-ring 20373  df-cring 20374  df-rhm 20612  df-nzr 20672  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-assa 22067  df-asp 22068  df-ascl 22069  df-psr 22123  df-mvr 22124  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-evls 22289  df-psr1 22404  df-ply1 22406  df-evls1 22539

This theorem is used by:  minplyirred  34206