Theorem ply1annnr 34254

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is not the whole polynomial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annnr.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1annnr.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
ply1annnr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝑅,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1annnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
3		ply1annidl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1annidl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6	subrg1cl 20779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
9		ply1annidl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	5, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12, 9, 6	ress1r 33712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	14	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
16		ply1annidl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
20	12	subrgring 20773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
22	16, 17, 18, 19, 21	ply1ascl1 22520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
23	15, 22	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
24	16	ply1ring 22512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25		ply1annnr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	25, 19	ringidcl 20441	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
27	21, 24, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
28	23, 27	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈)
29		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
30		ply1annidl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	29, 16, 12, 9, 17, 3, 5, 8, 30	evls1scafv 22631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
32		ply1annnr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
33		ply1annidl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34	6, 33	nzrnz 20712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
35	32, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
36	31, 35	eqnetrd 3022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) ≠ 0 )
37	36	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
38		fveq2 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
39	38	fveq1d 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴))
40	39	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
41	40	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
42	41	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
43	37, 42	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
44		nelne1 3052	. . . 4 ⊢ ((((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
45	28, 43, 44	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
46	45	necomd 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ≠ 𝑈)
47	2, 46	eqnetrd 3022	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3899  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  0_gc0g 17557  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407  NzRingcnzr 20709  SubRingcsubrg 20768  algSccascl 22107  Poly₁cpl1 22442   evalSub₁ ces1 22578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-srg 20360  df-ring 20408  df-cring 20409  df-rhm 20649  df-nzr 20710  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-assa 22108  df-asp 22109  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-evls 22330  df-psr1 22445  df-ply1 22447  df-evls1 22580

This theorem is used by:  minplyirred  34262