Theorem ply1annnr 33746

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is not the whole polynomial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annnr.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1annnr.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
ply1annnr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝑅,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1annnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
3		ply1annidl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1annidl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6	subrg1cl 20580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
9		ply1annidl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12, 9, 6	ress1r 33238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	14	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
16		ply1annidl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
20	12	subrgring 20574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
22	16, 17, 18, 19, 21	ply1ascl1 22257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
23	15, 22	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
24	16	ply1ring 22249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25		ply1annnr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	25, 19	ringidcl 20262	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
27	21, 24, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
28	23, 27	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈)
29		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
30		ply1annidl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	29, 16, 12, 9, 17, 3, 5, 8, 30	evls1scafv 22370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
32		ply1annnr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
33		ply1annidl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34	6, 33	nzrnz 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
36	31, 35	eqnetrd 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) ≠ 0 )
37	36	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
38		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
39	38	fveq1d 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴))
40	39	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
41	40	elrab 3692	. . . . . 6 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
42	41	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
43	37, 42	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
44		nelne1 3039	. . . 4 ⊢ ((((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
45	28, 43, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
46	45	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ≠ 𝑈)
47	2, 46	eqnetrd 3008	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436   ⊆ wss 3951  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  NzRingcnzr 20512  SubRingcsubrg 20569  algSccascl 21872  Poly₁cpl1 22178   evalSub₁ ces1 22317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evls1 22319

This theorem is referenced by:  minplyirred  33754