Theorem ply1annnr 32759

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is not the whole polynomial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annnr.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1annnr.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
ply1annnr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝑅,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1annnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
3		ply1annidl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1annidl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6	subrg1cl 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
9		ply1annidl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12, 9, 6	ress1r 32378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	14	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
16		ply1annidl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
19		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
20	12	subrgring 20321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
22	16, 17, 18, 19, 21	ply1ascl1 32648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
23	15, 22	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
24	16	ply1ring 21769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25		ply1annnr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	25, 19	ringidcl 20082	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
27	21, 24, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
28	23, 27	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈)
29		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
30		ply1annidl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	29, 16, 12, 9, 17, 3, 5, 8, 30	evls1scafv 32638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
32		ply1annnr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
33		ply1annidl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34	6, 33	nzrnz 20293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
36	31, 35	eqnetrd 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) ≠ 0 )
37	36	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
38		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
39	38	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴))
40	39	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
41	40	elrab 3683	. . . . . 6 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
42	41	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
43	37, 42	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
44		nelne1 3039	. . . 4 ⊢ ((((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
45	28, 43, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
46	45	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ≠ 𝑈)
47	2, 46	eqnetrd 3008	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432   ⊆ wss 3948  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  0_gc0g 17384  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  NzRingcnzr 20290  SubRingcsubrg 20314  algSccascl 21406  Poly₁cpl1 21700   evalSub₁ ces1 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-nzr 20291  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-assa 21407  df-asp 21408  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-evls 21634  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-evls1 21833

This theorem is referenced by:  minplyirred  32765