Theorem ply1annnr 34040

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is not the whole polynomial ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annnr.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1annnr.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
ply1annnr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝑅,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1annnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
3		ply1annidl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1annidl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6	subrg1cl 20667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
9		ply1annidl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	9	subrgss 20659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
11	5, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12, 9, 6	ress1r 33495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
15	14	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
16		ply1annidl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
18		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
19		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
20	12	subrgring 20661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
22	16, 17, 18, 19, 21	ply1ascl1 22386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
23	15, 22	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
24	16	ply1ring 22378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25		ply1annnr.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	25, 19	ringidcl 20350	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
27	21, 24, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
28	23, 27	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈)
29		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
30		ply1annidl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	29, 16, 12, 9, 17, 3, 5, 8, 30	evls1scafv 22497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
32		ply1annnr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
33		ply1annidl.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34	6, 33	nzrnz 20600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
35	32, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
36	31, 35	eqnetrd 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) ≠ 0 )
37	36	neneqd 2969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
38		fveq2 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
39	38	fveq1d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴))
40	39	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
41	40	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 ))
42	41	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝐴) = 0 )
43	37, 42	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
44		nelne1 3061	. . . 4 ⊢ ((((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ¬ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
45	28, 43, 44	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
46	45	necomd 3019	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ≠ 𝑈)
47	2, 46	eqnetrd 3031	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ⊆ wss 3913  dom cdm 5664  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  0_gc0g 17494  1_rcur 20265  Ringcrg 20317  CRingccrg 20318  NzRingcnzr 20597  SubRingcsubrg 20656  algSccascl 21973  Poly₁cpl1 22308   evalSub₁ ces1 22444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-srg 20271  df-ring 20319  df-cring 20320  df-rhm 20556  df-nzr 20598  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-assa 21974  df-asp 21975  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-mvr 22031  df-mpl 22032  df-opsr 22034  df-evls 22196  df-psr1 22311  df-ply1 22313  df-evls1 22446

This theorem is referenced by:  minplyirred  34048