MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nz 25631
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nz (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrring 20288 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 21762 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
82, 5, 6, 7ply1sclf 21799 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10ringidcl 20077 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
121, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
139, 12ffvelcdmd 7085 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14 eqid 2733 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1510, 14nzrnz 20287 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
16 eqid 2733 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 21806 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
181, 12, 15, 17syl3anc 1372 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
19 eldifsn 4790 . . 3 (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃)))
2013, 18, 19sylanbrc 584 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
2116, 7ringelnzr 20293 . 2 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
224, 20, 21syl2anc 585 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3945  {csn 4628  wf 6537  cfv 6541  Basecbs 17141  0gc0g 17382  1rcur 19999  Ringcrg 20050  NzRingcnzr 20284  algSccascl 21399  Poly1cpl1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-nzr 20285  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-ascl 21402  df-psr 21454  df-mvr 21455  df-mpl 21456  df-opsr 21458  df-psr1 21696  df-vr1 21697  df-ply1 21698  df-coe1 21699
This theorem is referenced by:  ply1nzb  25632  ply1domn  25633  algextdeglem1  32761  mon1pid  41933  mon1psubm  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator