MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nz 25979
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1nz (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrring 20408 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1ring 22089 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
82, 5, 6, 7ply1sclf 22126 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
10 eqid 2724 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
116, 10ringidcl 20155 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
121, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
139, 12ffvelcdmd 7077 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
14 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1510, 14nzrnz 20407 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
16 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 22133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
181, 12, 15, 17syl3anc 1368 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
19 eldifsn 4782 . . 3 (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ƒ) βˆ– {(0gβ€˜π‘ƒ)}) ↔ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)))
2013, 18, 19sylanbrc 582 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ƒ) βˆ– {(0gβ€˜π‘ƒ)}))
2116, 7ringelnzr 20413 . 2 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ƒ) βˆ– {(0gβ€˜π‘ƒ)})) β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
224, 20, 21syl2anc 583 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937  {csn 4620  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  Basecbs 17143  0gc0g 17384  1rcur 20076  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404  algSccascl 21715  Poly1cpl1 22019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025
This theorem is referenced by:  ply1nzb  25980  ply1domn  25981  algextdeglem4  33256  mon1pid  42436  mon1psubm  42437
  Copyright terms: Public domain W3C validator