Theorem ply1nz 26449

Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20775	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22574	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	ply1sclf 22613	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	6, 10	ringidcl 20503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	1, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	9, 12	ffvelcdmd 7090	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	10, 14	nzrnz 20774	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
17	2, 5, 14, 16, 6	ply1scln0 22619	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
18	1, 12, 15, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
19		eldifsn 4744	. . 3 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃)))
20	13, 18, 19	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
21	16, 7	ringelnzr 20783	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
22	4, 20, 21	syl2anc 596	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  0_gc0g 17619  1_rcur 20416  Ringcrg 20468  NzRingcnzr 20771  algSccascl 22169  Poly₁cpl1 22504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-nzr 20772  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510

This theorem is used by:  ply1nzb  26450  ply1domn  26451  mon1pid  26481  ply1unit  34157  m1pmeq  34167  algextdeglem4  34402  mon1psubm  44310