MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nz 24280
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nz (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrring 19622 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19978 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2825 . . . . . 6 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
82, 5, 6, 7ply1sclf 20015 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10 eqid 2825 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10ringidcl 18922 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
121, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
139, 12ffvelrnd 6609 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1510, 14nzrnz 19621 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
16 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 20021 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
181, 12, 15, 17syl3anc 1496 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
19 eldifsn 4536 . . 3 (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃)))
2013, 18, 19sylanbrc 580 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
2116, 7ringelnzr 19627 . 2 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
224, 20, 21syl2anc 581 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  cdif 3795  {csn 4397  wf 6119  cfv 6123  Basecbs 16222  0gc0g 16453  1rcur 18855  Ringcrg 18901  NzRingcnzr 19618  algSccascl 19672  Poly1cpl1 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-ofr 7158  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-tset 16324  df-ple 16325  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-nzr 19619  df-ascl 19675  df-psr 19717  df-mvr 19718  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-vr1 19911  df-ply1 19912  df-coe1 19913
This theorem is referenced by:  ply1nzb  24281  ply1domn  24282  mon1pid  38626  mon1psubm  38627
  Copyright terms: Public domain W3C validator