Theorem ply1nz 26176

Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20533	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22265	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	ply1sclf 22304	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	6, 10	ringidcl 20280	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	1, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	9, 12	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	10, 14	nzrnz 20532	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
17	2, 5, 14, 16, 6	ply1scln0 22311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
18	1, 12, 15, 17	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
19		eldifsn 4791	. . 3 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃)))
20	13, 18, 19	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
21	16, 7	ringelnzr 20540	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
22	4, 20, 21	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  algSccascl 21890  Poly₁cpl1 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200

This theorem is referenced by:  ply1nzb  26177  ply1domn  26178  mon1pid  26208  ply1unit  33580  m1pmeq  33588  algextdeglem4  33726  mon1psubm  43188