Theorem ply1nz 26105

Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20488	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22232	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	ply1sclf 22271	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	6, 10	ringidcl 20237	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	1, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	9, 12	ffvelcdmd 7026	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	10, 14	nzrnz 20487	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
17	2, 5, 14, 16, 6	ply1scln0 22277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
18	1, 12, 15, 17	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃))
19		eldifsn 4719	. . 3 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑃)))
20	13, 18, 19	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
21	16, 7	ringelnzr 20495	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
22	4, 20, 21	syl2anc 590	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  {csn 4555  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  NzRingcnzr 20484  algSccascl 21827  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168

This theorem is referenced by:  ply1nzb  26106  ply1domn  26107  mon1pid  26137  ply1unit  33658  m1pmeq  33668  algextdeglem4  33904  mon1psubm  43644