Theorem lindfind2 21811

Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindfind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21808	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
5	2, 1, 4	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	ffvelcdmd 7032	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
11	3, 8, 9, 10	lmodvs1 20879	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
12	1, 7, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
13		nzrring 20487	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	14, 10	ringidcl 20240	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18	17	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
20	10, 19	nzrnz 20486	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
23		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
24	9, 23, 8, 19, 14	lindfind 21809	. . 3 ⊢ (((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
25	2, 6, 18, 22, 24	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
26	12, 25	eqneltrrd 2858	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086  dom cdm 5625   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  NzRingcnzr 20483  LModclmod 20849  LSpanclspn 20960   LIndF clindf 21797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-nzr 20484  df-lmod 20851  df-lindf 21799

This theorem is referenced by:  lindsind2  21812  lindff1  21813