MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfind2 20644
Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindfind2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1190 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1130 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3 eqid 2794 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
43lindff 20641 . . . . 5 ((𝐹 LIndF 𝑊𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
52, 1, 4syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6 simp3 1131 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
75, 6ffvelrnd 6720 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2794 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
10 eqid 2794 . . . 4 (1r𝐿) = (1r𝐿)
113, 8, 9, 10lmodvs1 19352 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸))
121, 7, 11syl2anc 584 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸))
13 nzrring 19723 . . . . . 6 (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14 eqid 2794 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1514, 10ringidcl 19008 . . . . . 6 (𝐿 ∈ Ring → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝐿 ∈ NzRing → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18173ad2ant1 1126 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19 eqid 2794 . . . . . 6 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2010, 19nzrnz 19722 . . . . 5 (𝐿 ∈ NzRing → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
2120adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
22213ad2ant1 1126 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
23 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
249, 23, 8, 19, 14lindfind 20642 . . 3 (((𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))) → ¬ ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
252, 6, 18, 22, 24syl22anc 835 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
2612, 25eqneltrrd 2902 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  cdif 3858  {csn 4474   class class class wbr 4964  dom cdm 5446  cima 5449  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542  1rcur 18941  Ringcrg 18987  LModclmod 19324  LSpanclspn 19433  NzRingcnzr 19719   LIndF clindf 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-nzr 19720  df-lindf 20632
This theorem is referenced by:  lindsind2  20645  lindff1  20646
  Copyright terms: Public domain W3C validator