Theorem lindfind2 21856

Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindfind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1196	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21853	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
5	2, 1, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6		simp3 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
11	3, 8, 9, 10	lmodvs1 20905	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
13		nzrring 20533	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	14, 10	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18	17	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
20	10, 19	nzrnz 20532	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
22	21	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
23		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
24	9, 23, 8, 19, 14	lindfind 21854	. . 3 ⊢ (((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
25	2, 6, 18, 22, 24	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
26	12, 25	eqneltrrd 2860	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987   LIndF clindf 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-lmod 20877  df-lindf 21844

This theorem is referenced by:  lindsind2  21857  lindff1  21858