Theorem lindfind2 21810

Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindfind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1194	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21807	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
5	2, 1, 4	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6		simp3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	ffvelcdmd 7089	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
11	3, 8, 9, 10	lmodvs1 20860	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
12	1, 7, 11	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
13		nzrring 20492	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	14, 10	ringidcl 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
17	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18	17	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
20	10, 19	nzrnz 20491	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
21	20	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
22	21	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
23		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
24	9, 23, 8, 19, 14	lindfind 21808	. . 3 ⊢ (((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
25	2, 6, 18, 22, 24	syl22anc 837	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
26	12, 25	eqneltrrd 2847	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3944  {csn 4624   class class class wbr 5144  dom cdm 5673   “ cima 5676  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  Scalarcsca 17262   ·_𝑠 cvsca 17263  0_gc0g 17447  1_rcur 20158  Ringcrg 20210  NzRingcnzr 20488  LModclmod 20830  LSpanclspn 20942   LIndF clindf 21796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mgp 20112  df-ur 20159  df-ring 20212  df-nzr 20489  df-lmod 20832  df-lindf 21798

This theorem is referenced by:  lindsind2  21811  lindff1  21812