Theorem lindfind2 21838

Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindfind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21835	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
5	2, 1, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
11	3, 8, 9, 10	lmodvs1 20888	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) = (𝐹‘𝐸))
13		nzrring 20516	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	14, 10	ringidcl 20262	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18	17	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
20	10, 19	nzrnz 20515	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
23		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
24	9, 23, 8, 19, 14	lindfind 21836	. . 3 ⊢ (((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r‘𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
25	2, 6, 18, 22, 24	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
26	12, 25	eqneltrrd 2862	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969   LIndF clindf 21824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-lmod 20860  df-lindf 21826

This theorem is referenced by:  lindsind2  21839  lindff1  21840