MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfind2 20511
Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindfind2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))

Proof of Theorem lindfind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1134 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
3 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
43lindff 20508 . . . . 5 ((𝐹 LIndF 𝑊𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
52, 1, 4syl2anc 587 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
6 simp3 1135 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → 𝐸 ∈ dom 𝐹)
75, 6ffvelrnd 6833 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐸) ∈ (Base‘𝑊))
8 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
10 eqid 2801 . . . 4 (1r𝐿) = (1r𝐿)
113, 8, 9, 10lmodvs1 19659 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐸) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸))
121, 7, 11syl2anc 587 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸))
13 nzrring 20031 . . . . . 6 (𝐿 ∈ NzRing → 𝐿 ∈ Ring)
14 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1514, 10ringidcl 19318 . . . . . 6 (𝐿 ∈ Ring → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝐿 ∈ NzRing → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
1716adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
18173ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿))
19 eqid 2801 . . . . . 6 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2010, 19nzrnz 20030 . . . . 5 (𝐿 ∈ NzRing → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
2120adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
22213ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
23 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
249, 23, 8, 19, 14lindfind 20509 . . 3 (((𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) ∧ ((1r𝐿) ∈ (Base‘𝐿) ∧ (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))) → ¬ ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
252, 6, 18, 22, 24syl22anc 837 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ ((1r𝐿)( ·𝑠𝑊)(𝐹𝐸)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
2612, 25eqneltrrd 2913 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝐸) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝐸}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  {csn 4528   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  cima 5526  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740  NzRingcnzr 20027   LIndF clindf 20497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-nzr 20028  df-lindf 20499
This theorem is referenced by:  lindsind2  20512  lindff1  20513
  Copyright terms: Public domain W3C validator