Theorem ply1moneq 33578

Description: Two monomials are equal iff their powers are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
ply1moneq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1moneq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ply1moneq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ply1moneq	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem ply1moneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moneq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4		ply1moneq.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
5		nzrring 20544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ply1moneq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	coe1mon 33577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
11		fvexd 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
13	11, 12	ifcld 4594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
14	10, 13	fvmpt2d 7044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
15		ply1moneq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 6, 15, 8, 9	coe1mon 33577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	11, 12	ifcld 4594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
18	16, 17	fvmpt2d 7044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	14, 18	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	9, 8	nzrnz 20543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
23		ifnebib 32574	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
25	19, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
26	25	ralbidva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
27		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22297	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
30	6, 7, 29	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
31	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22297	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	6, 15, 31	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))
34		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))
35	1, 28, 33, 34	ply1coe1eq 22327	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
36	6, 30, 32, 35	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
37	7, 15	eqelbid 32505	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
38	26, 36, 37	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ifcif 4548  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℕ₀cn0 12555  Basecbs 17260  0_gc0g 17501  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20163  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  NzRingcnzr 20540  var₁cv1 22200  Poly₁cpl1 22201  coe₁cco1 22202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-ofr 7717  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-sup 9513  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-hash 14382  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-prds 17509  df-pws 17511  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19255  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-nzr 20541  df-subrng 20574  df-subrg 20599  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-psr 21954  df-mvr 21955  df-mpl 21956  df-opsr 21958  df-psr1 22204  df-vr1 22205  df-ply1 22206  df-coe1 22207

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33637  ply1degltdim  33638