Theorem ply1moneq 32940

Description: Two monomials are equal iff their powers are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
ply1moneq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1moneq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ply1moneq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ply1moneq	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem ply1moneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moneq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4		ply1moneq.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
5		nzrring 20408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ply1moneq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	coe1mon 32939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
11		fvexd 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
13	11, 12	ifcld 4574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
14	10, 13	fvmpt2d 7011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
15		ply1moneq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 6, 15, 8, 9	coe1mon 32939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	11, 12	ifcld 4574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
18	16, 17	fvmpt2d 7011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	14, 18	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	9, 8	nzrnz 20407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
23		ifnebib 32049	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
25	19, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
26	25	ralbidva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
27		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22014	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
30	6, 7, 29	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
31	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22014	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	6, 15, 31	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))
34		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))
35	1, 28, 33, 34	ply1coe1eq 22043	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
36	6, 30, 32, 35	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
37	7, 15	eqelbid 31983	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
38	26, 36, 37	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3473  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12477  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  ._gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404  var₁cv1 21920  Poly₁cpl1 21921  coe₁cco1 21922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  32996  ply1degltdim  32997