Theorem ply1moneq 33546

Description: Two monomials are equal iff their powers are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
ply1moneq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1moneq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ply1moneq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ply1moneq	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem ply1moneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moneq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4		ply1moneq.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
5		nzrring 20484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ply1moneq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	coe1mon 33545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
11		fvexd 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
13	11, 12	ifcld 4552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
14	10, 13	fvmpt2d 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
15		ply1moneq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 6, 15, 8, 9	coe1mon 33545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	11, 12	ifcld 4552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
18	16, 17	fvmpt2d 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	14, 18	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	9, 8	nzrnz 20483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
23		ifnebib 32497	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
25	19, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
26	25	ralbidva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
27		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
30	6, 7, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
31	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	6, 15, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))
34		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))
35	1, 28, 33, 34	ply1coe1eq 22252	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
36	6, 30, 32, 35	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
37	7, 15	eqelbid 32422	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
38	26, 36, 37	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  Vcvv 3463  ifcif 4505  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12509  Basecbs 17229  0_gc0g 17455  ._gcmg 19054  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  NzRingcnzr 20480  var₁cv1 22125  Poly₁cpl1 22126  coe₁cco1 22127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-prds 17463  df-pws 17465  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-psr 21883  df-mvr 21884  df-mpl 21885  df-opsr 21887  df-psr1 22129  df-vr1 22130  df-ply1 22131  df-coe1 22132

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33608  ply1degltdim  33609