Theorem ply1moneq 33823

Description: Two monomials are equal iff their powers are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
ply1moneq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
ply1moneq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ply1moneq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ply1moneq	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem ply1moneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moneq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4		ply1moneq.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
5		nzrring 20599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ply1moneq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	coe1mon 33822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
11		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
13	11, 12	ifcld 4537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
14	10, 13	fvmpt2d 7004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
15		ply1moneq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 6, 15, 8, 9	coe1mon 33822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	11, 12	ifcld 4537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
18	16, 17	fvmpt2d 7004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	14, 18	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	9, 8	nzrnz 20598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	4, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
23		ifnebib 32836	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝑀, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑁, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
25	19, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
26	25	ralbidva 3192	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁)))
27		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
28		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22401	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
30	6, 7, 29	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
31	1, 2, 27, 3, 28	ply1moncl 22401	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
32	6, 15, 31	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))
34		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))
35	1, 28, 33, 34	ply1coe1eq 22429	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
36	6, 30, 32, 35	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑀 ↑ 𝑋))‘𝑘) = ((coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑘) ↔ (𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋)))
37	7, 15	eqelbid 32762	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑘 = 𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
38	26, 36, 37	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3461  ifcif 4490  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  ._gcmg 19133  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  NzRingcnzr 20595  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33957  ply1degltdim  33958