Theorem mon1pid 26087

Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1pid.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)
mon1pid.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pid.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pid	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Proof of Theorem mon1pid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1pid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26055	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		nzrring 20433	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mon1pid.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
6	4, 5	ringidcl 20185	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑃))
7	2, 3, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ (Base‘𝑃))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	5, 8	nzrnz 20432	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
11		nzrring 20433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	1, 12, 13, 5	ply1scl1 22208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
16	15	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (coe1‘ 1 ))
17		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 13	ringidcl 20185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	1, 12, 17, 19	coe1scl 22202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	11, 18, 20	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22	16, 21	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘ 1 ) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
23	15	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘ 1 ))
24	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	13, 19	nzrnz 20432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
26		mon1pid.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
27	26, 1, 17, 12, 19	deg1scl 26046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
28	11, 24, 25, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
29	23, 28	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘ 1 ) = 0)
30	22, 29	fveq12d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0))
31		0nn0 12403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32		iftrue 4480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅)
37	30, 36	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅))
38		mon1pid.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
39	1, 4, 8, 26, 38, 13	ismon1p 26076	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ 𝑀 ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅)))
40	7, 10, 37, 39	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝑀)
41	40, 29	jca 511	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ifcif 4474   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  0cc0 11013  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  NzRingcnzr 20429  algSccascl 21791  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091  deg₁cdg1 25987  Monic_1pcmn1 26059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-cnfld 21294  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064

This theorem is referenced by:  ply1unit  33545  mon1psubm  43316  deg1mhm  43317