Theorem mon1pid 26193

Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1pid.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)
mon1pid.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pid.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pid	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Proof of Theorem mon1pid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1pid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		nzrring 20516	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mon1pid.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
6	4, 5	ringidcl 20262	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑃))
7	2, 3, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ (Base‘𝑃))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	5, 8	nzrnz 20515	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
11		nzrring 20516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	1, 12, 13, 5	ply1scl1 22296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
16	15	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (coe1‘ 1 ))
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 13	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	1, 12, 17, 19	coe1scl 22290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	11, 18, 20	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22	16, 21	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘ 1 ) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
23	15	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘ 1 ))
24	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	13, 19	nzrnz 20515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
26		mon1pid.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
27	26, 1, 17, 12, 19	deg1scl 26152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
28	11, 24, 25, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
29	23, 28	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘ 1 ) = 0)
30	22, 29	fveq12d 6913	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0))
31		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32		iftrue 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅)
37	30, 36	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅))
38		mon1pid.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
39	1, 4, 8, 26, 38, 13	ismon1p 26182	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ 𝑀 ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅)))
40	7, 10, 37, 39	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝑀)
41	40, 29	jca 511	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  algSccascl 21872  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  deg₁cdg1 26093  Monic_1pcmn1 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170

This theorem is referenced by:  ply1unit  33600  mon1psubm  43211  deg1mhm  43212