Theorem mon1pid 26194

Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1pid.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)
mon1pid.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pid.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pid	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Proof of Theorem mon1pid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1pid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26162	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		nzrring 20545	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mon1pid.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
6	4, 5	ringidcl 20294	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑃))
7	2, 3, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ (Base‘𝑃))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	5, 8	nzrnz 20544	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
11		nzrring 20545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	1, 12, 13, 5	ply1scl1 22335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
16	15	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (coe1‘ 1 ))
17		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 13	ringidcl 20294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	1, 12, 17, 19	coe1scl 22330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	11, 18, 20	syl2anc2 594	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22	16, 21	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘ 1 ) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
23	15	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘ 1 ))
24	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	13, 19	nzrnz 20544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
26		mon1pid.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
27	26, 1, 17, 12, 19	deg1scl 26153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
28	11, 24, 25, 27	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
29	23, 28	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘ 1 ) = 0)
30	22, 29	fveq12d 6870	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0))
31		0nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32		iftrue 4485	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
33		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34		fvex 6876	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6971	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅)
37	30, 36	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅))
38		mon1pid.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
39	1, 4, 8, 26, 38, 13	ismon1p 26183	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ 𝑀 ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅)))
40	7, 10, 37, 39	syl3anbrc 1356	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝑀)
41	40, 29	jca 519	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  0cc0 11070  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  NzRingcnzr 20541  algSccascl 21884  Poly₁cpl1 22219  coe₁cco1 22220  deg₁cdg1 26094  Monic_1pcmn1 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-nzr 20542  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-cnfld 21405  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171

This theorem is referenced by:  ply1unit  33732  mon1psubm  43740  deg1mhm  43741