Theorem mon1pid 41947

Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1pid.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)
mon1pid.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pid.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pid	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Proof of Theorem mon1pid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1pid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 25639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		nzrring 20295	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		mon1pid.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
6	4, 5	ringidcl 20083	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑃))
7	2, 3, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ (Base‘𝑃))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	5, 8	nzrnz 20294	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑃))
11		nzrring 20295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	1, 12, 13, 5	ply1scl1 21815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = 1 )
16	15	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (coe1‘ 1 ))
17		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 13	ringidcl 20083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	1, 12, 17, 19	coe1scl 21809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
21	11, 18, 20	syl2anc2 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22	16, 21	eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (coe1‘ 1 ) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
23	15	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (𝐷‘ 1 ))
24	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	13, 19	nzrnz 20294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
26		mon1pid.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
27	26, 1, 17, 12, 19	deg1scl 25631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
28	11, 24, 25, 27	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = 0)
29	23, 28	eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘ 1 ) = 0)
30	22, 29	fveq12d 6899	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0))
31		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32		iftrue 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6999	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘0) = (1r‘𝑅)
37	30, 36	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅))
38		mon1pid.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
39	1, 4, 8, 26, 38, 13	ismon1p 25660	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ 𝑀 ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘ 1 )‘(𝐷‘ 1 )) = (1r‘𝑅)))
40	7, 10, 37, 39	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝑀)
41	40, 29	jca 513	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ( 1 ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘ 1 ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  0cc0 11110  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  NzRingcnzr 20291  algSccascl 21407  Poly₁cpl1 21701  coe₁cco1 21702   deg₁ cdg1 25569  Monic_1pcmn1 25643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-cnfld 20945  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-mdeg 25570  df-deg1 25571  df-mon1 25648

This theorem is referenced by:  mon1psubm  41948  deg1mhm  41949