Theorem deg1pw 26247

Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pw.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1pw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1pw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1pw.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1pw	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pw.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1sca 22381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)))
6		nzrring 20599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ply1lmod 22380	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
10		deg1pw.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	10, 11	mgpbas 20221	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
13		deg1pw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	1	ply1ring 22376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	10	ringmgp 20321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
16	7, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
17		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
18		deg1pw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19	18, 1, 11	vr1cl 22346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	7, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	12, 13, 16, 17, 20	mulgnn0cld 19161	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
25	11, 22, 23, 24	lmodvs1 20989	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
26	9, 21, 25	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
27	5, 26	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
28	27	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)))
29		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	ringidcl 20348	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32	7, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	30, 33	nzrnz 20598	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35	34	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
36		deg1pw.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
37	36, 29, 1, 18, 23, 10, 13, 33	deg1tm 26245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
38	7, 32, 35, 17, 37	syl121anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
39	28, 38	eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  NzRingcnzr 20595  LModclmod 20959  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  deg₁cdg1 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-cnfld 21492  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26291  idomrootle  26299  lgsqrlem4  27479  rtelextdg2lem  34061  2sqr3minply  34115  cos9thpiminply  34123  aks6d1c2lem4  42784  aks6d1c5lem3  42794  aks6d1c6lem1  42827