Theorem deg1pw 25976

Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pw.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1pw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1pw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1pw.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1pw	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pw.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1sca 22095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)))
6		nzrring 20414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ply1lmod 22094	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
10		deg1pw.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	10, 11	mgpbas 20041	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
13		deg1pw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	1	ply1ring 22090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	10	ringmgp 20140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
18		deg1pw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19	18, 1, 11	vr1cl 22060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	7, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	12, 13, 16, 17, 20	mulgnn0cld 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
24		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
25	11, 22, 23, 24	lmodvs1 20732	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
26	9, 21, 25	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
27	5, 26	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
28	27	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)))
29		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	ringidcl 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32	7, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	30, 33	nzrnz 20413	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
36		deg1pw.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
37	36, 29, 1, 18, 23, 10, 13, 33	deg1tm 25974	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
38	7, 32, 35, 17, 37	syl121anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
39	28, 38	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12479  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  0_gc0g 17392  Mndcmnd 18665  ._gcmg 18993  mulGrpcmgp 20035  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  NzRingcnzr 20410  LModclmod 20702  var₁cv1 22019  Poly₁cpl1 22020   deg₁ cdg1 25907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-cnfld 21234  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-vr1 22024  df-ply1 22025  df-coe1 22026  df-mdeg 25908  df-deg1 25909

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26018  lgsqrlem4  27195  idomrootle  42400