Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1pw 24820
 Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1pw.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1pw.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1pw.x 𝑋 = (var1𝑅)
deg1pw.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e = (.g𝑁)
Assertion
Ref Expression
deg1pw ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw
StepHypRef Expression
1 deg1pw.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1sca 20977 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
43fveq2d 6662 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
54oveq1d 7165 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)))
6 nzrring 20102 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
81ply1lmod 20976 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
101ply1ring 20972 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11 deg1pw.n . . . . . . . 8 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
1211ringmgp 19371 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
137, 10, 123syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
15 deg1pw.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
16 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1715, 1, 16vr1cl 20941 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
187, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1911, 16mgpbas 19313 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
20 deg1pw.e . . . . . . 7 = (.g𝑁)
2119, 20mulgnn0cl 18311 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐹 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
2213, 14, 18, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
23 eqid 2758 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24 eqid 2758 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
25 eqid 2758 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
2616, 23, 24, 25lmodvs1 19730 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = (𝐹 𝑋))
279, 22, 26syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = (𝐹 𝑋))
285, 27eqtrd 2793 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = (𝐹 𝑋))
2928fveq2d 6662 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 𝑋)))
30 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31 eqid 2758 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3230, 31ringidcl 19389 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
337, 32syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
34 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3531, 34nzrnz 20101 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3635adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
37 deg1pw.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3837, 30, 1, 15, 24, 11, 20, 34deg1tm 24818 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) = 𝐹)
397, 33, 36, 14, 38syl121anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) = 𝐹)
4029, 39eqtr3d 2795 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 𝑋)) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771  Mndcmnd 17977  .gcmg 18291  mulGrpcmgp 19307  1rcur 19319  Ringcrg 19365  LModclmod 19702  NzRingcnzr 20098  var1cv1 20900  Poly1cpl1 20901   deg1 cdg1 24751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-nzr 20099  df-cnfld 20167  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-vr1 20905  df-ply1 20906  df-coe1 20907  df-mdeg 24752  df-deg1 24753 This theorem is referenced by:  ply1remlem  24862  lgsqrlem4  26032  idomrootle  40512
 Copyright terms: Public domain W3C validator