Theorem deg1pw 26063

Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pw.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1pw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1pw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1pw.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1pw	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pw.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1sca 22175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)))
6		nzrring 20441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ply1lmod 22174	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
10		deg1pw.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	10, 11	mgpbas 20073	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
13		deg1pw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	1	ply1ring 22170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	10	ringmgp 20167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
18		deg1pw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19	18, 1, 11	vr1cl 22140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	7, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	12, 13, 16, 17, 20	mulgnn0cld 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
24		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
25	11, 22, 23, 24	lmodvs1 20833	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
26	9, 21, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
27	5, 26	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
28	27	fveq2d 6835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)))
29		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	ringidcl 20193	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32	7, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	30, 33	nzrnz 20440	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
36		deg1pw.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
37	36, 29, 1, 18, 23, 10, 13, 33	deg1tm 26061	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
38	7, 32, 35, 17, 37	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
39	28, 38	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℕ₀cn0 12391  Basecbs 17130  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353  Mndcmnd 18652  ._gcmg 18990  mulGrpcmgp 20068  1_rcur 20109  Ringcrg 20161  NzRingcnzr 20437  LModclmod 20803  var₁cv1 22098  Poly₁cpl1 22099  deg₁cdg1 25996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-sup 9336  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18991  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-cring 20164  df-nzr 20438  df-subrng 20471  df-subrg 20495  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-cnfld 21302  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mdeg 25997  df-deg1 25998

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26107  idomrootle  26115  lgsqrlem4  27297  rtelextdg2lem  33750  2sqr3minply  33804  cos9thpiminply  33812  aks6d1c2lem4  42230  aks6d1c5lem3  42240  aks6d1c6lem1  42273