Theorem deg1pw 26080

Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pw.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1pw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1pw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1pw.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1pw	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pw.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1sca 22191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)))
6		nzrring 20447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ply1lmod 22190	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
10		deg1pw.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	10, 11	mgpbas 20078	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
13		deg1pw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	1	ply1ring 22186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	10	ringmgp 20172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
18		deg1pw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19	18, 1, 11	vr1cl 22156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	7, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	12, 13, 16, 17, 20	mulgnn0cld 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
24		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
25	11, 22, 23, 24	lmodvs1 20839	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
26	9, 21, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
27	5, 26	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
28	27	fveq2d 6836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)))
29		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	ringidcl 20198	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32	7, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	30, 33	nzrnz 20446	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
36		deg1pw.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
37	36, 29, 1, 18, 23, 10, 13, 33	deg1tm 26078	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
38	7, 32, 35, 17, 37	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
39	28, 38	eqtr3d 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  Mndcmnd 18657  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  NzRingcnzr 20443  LModclmod 20809  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115  deg₁cdg1 26013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-cnfld 21308  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-mdeg 26014  df-deg1 26015

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26124  idomrootle  26132  lgsqrlem4  27314  rtelextdg2lem  33832  2sqr3minply  33886  cos9thpiminply  33894  aks6d1c2lem4  42320  aks6d1c5lem3  42330  aks6d1c6lem1  42363