Theorem deg1pw 26454

Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pw.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1pw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1pw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1pw.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1pw	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pw.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1sca 22585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)))
6		nzrring 20781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1	ply1lmod 22584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
10		deg1pw.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	10, 11	mgpbas 20380	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
13		deg1pw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	1	ply1ring 22580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	10	ringmgp 20480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
16	7, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
18		deg1pw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19	18, 1, 11	vr1cl 22550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
20	7, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
21	12, 13, 16, 17, 20	mulgnn0cld 19320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
25	11, 22, 23, 24	lmodvs1 21180	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
26	9, 21, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
27	5, 26	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋)) = (𝐹 ↑ 𝑋))
28	27	fveq2d 6900	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)))
29		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	ringidcl 20509	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32	7, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
34	30, 33	nzrnz 20780	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
36		deg1pw.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
37	36, 29, 1, 18, 23, 10, 13, 33	deg1tm 26452	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
38	7, 32, 35, 17, 37	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)
39	28, 38	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 ↑ 𝑋)) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℕ₀cn0 12619  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  0_gc0g 17625  Mndcmnd 18938  ._gcmg 19292  mulGrpcmgp 20375  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  NzRingcnzr 20777  LModclmod 21150  var₁cv1 22509  Poly₁cpl1 22510  deg₁cdg1 26387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-ofr 7704  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-nzr 20778  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-cnfld 21694  df-psr 22232  df-mvr 22233  df-mpl 22234  df-opsr 22236  df-psr1 22513  df-vr1 22514  df-ply1 22515  df-coe1 22516  df-mdeg 26388  df-deg1 26389

This theorem is used by:  ply1remlem  26498  idomrootle  26506  lgsqrlem4  27691  rtelextdg2lem  34414  2sqr3minply  34468  cos9thpiminply  34476  aks6d1c2lem4  43320  aks6d1c5lem3  43330  aks6d1c6lem1  43363