Theorem nrhmzr 20502

Description: There is no ring homomorphism from the zero ring into a nonzero ring. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nrhmzr	⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Proof of Theorem nrhmzr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
3		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
4	1, 2, 3	0ring1eq0 20498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
7	6	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (0g‘𝑍) = (1r‘𝑍))
8	7	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	3, 9	rhm1 20454	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
12	8, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
13		rhmghm 20449	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	2, 15	ghmid 19210	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
18	12, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
19	18	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
20	9, 15	nzrnz 20480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	20	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
24		neeq1 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅))
27	26	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
28	27	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
29		olc 868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
30	29	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
31	28, 30	pm2.61ine 3016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
32		neorian 3028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
33	31, 32	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
34		con3 153	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → (¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
35	33, 34	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
36	35	alimdv 1916	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
37		df-ral 3053	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))))
38		eq0 4330	. . 3 ⊢ ((𝑍 RingHom 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
39	36, 37, 38	3imtr4g 296	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅))
40	19, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928  ∅c0 4313  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  0_gc0g 17458   GrpHom cghm 19200  1_rcur 20146  Ringcrg 20198   RingHom crh 20434  NzRingcnzr 20477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20437  df-nzr 20478

This theorem is referenced by:  zrninitoringc  20641  nzerooringczr  21446