Theorem nrhmzr 20794

Description: There is no ring homomorphism from the zero ring into a nonzero ring. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nrhmzr	⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Proof of Theorem nrhmzr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
3		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
4	1, 2, 3	0ring1eq0 20790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
7	6	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (0g‘𝑍) = (1r‘𝑍))
8	7	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	3, 9	rhm1 20729	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
12	8, 11	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
13		rhmghm 20719	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	2, 15	ghmid 19441	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
18	12, 17	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
19	18	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
20	9, 15	nzrnz 20770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	20	necomd 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
24		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅))
27	26	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
28	27	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
29		olc 882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
30	29	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
31	28, 30	pm2.61ine 3038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
32		neorian 3050	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
33	31, 32	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
34		con3 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → (¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
35	33, 34	syl5com 32	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
36	35	alimdv 1948	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
37		df-ral 3077	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))))
38		eq0 4296	. . 3 ⊢ ((𝑍 RingHom 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
39	36, 37, 38	3imtr4g 299	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅))
40	19, 39	mpd 16	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  0_gc0g 17615   GrpHom cghm 19432  1_rcur 20412  Ringcrg 20464   RingHom crh 20704  NzRingcnzr 20767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-ghm 19433  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-rhm 20707  df-nzr 20768

This theorem is used by:  zrninitoringc  20933  nzerooringczr  21791