Theorem nrhmzr 20516

Description: There is no ring homomorphism from the zero ring into a nonzero ring. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nrhmzr	⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Proof of Theorem nrhmzr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
3		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
4	1, 2, 3	0ring1eq0 20512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
7	6	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (0g‘𝑍) = (1r‘𝑍))
8	7	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	3, 9	rhm1 20467	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
12	8, 11	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
13		rhmghm 20461	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	2, 15	ghmid 19195	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
18	12, 17	jca 516	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
19	18	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
20	9, 15	nzrnz 20494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	20	necomd 2990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
24		neeq1 2997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅))
27	26	orcd 879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
28	27	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
29		olc 874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
30	29	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
31	28, 30	pm2.61ine 3018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
32		neorian 3030	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
33	31, 32	sylib 219	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
34		con3 153	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → (¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
35	33, 34	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
36	35	alimdv 1923	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
37		df-ral 3055	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))))
38		eq0 4285	. . 3 ⊢ ((𝑍 RingHom 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
39	36, 37, 38	3imtr4g 297	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅))
40	19, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ∖ cdif 3887  ∅c0 4268  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  0_gc0g 17400   GrpHom cghm 19185  1_rcur 20160  Ringcrg 20212   RingHom crh 20447  NzRingcnzr 20491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-rhm 20450  df-nzr 20492

This theorem is referenced by:  zrninitoringc  20655  nzerooringczr  21462