Theorem nrhmzr 20769

Description: There is no ring homomorphism from the zero ring into a nonzero ring. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nrhmzr	⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

Proof of Theorem nrhmzr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
4	1, 2, 3	0ring1eq0 20765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (1r‘𝑍) = (0g‘𝑍))
7	6	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (0g‘𝑍) = (1r‘𝑍))
8	7	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	3, 9	rhm1 20704	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
12	8, 11	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
13		rhmghm 20694	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅))
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	2, 15	ghmid 19416	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑍 GrpHom 𝑅) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))
18	12, 17	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
19	18	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
20	9, 15	nzrnz 20745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
21	20	necomd 3011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
24		neeq1 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅)))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅))
27	26	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
28	27	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
29		olc 882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
30	29	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅) → ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅))))
31	28, 30	pm2.61ine 3039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)))
32		neorian 3051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (1r‘𝑅) ∨ (𝑓‘(0g‘𝑍)) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
33	31, 32	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)))
34		con3 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → (¬ ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
35	33, 34	syl5com 32	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ((𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
36	35	alimdv 1949	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)))
37		df-ral 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅) → ((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅))))
38		eq0 4297	. . 3 ⊢ ((𝑍 RingHom 𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑓 ¬ 𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
39	36, 37, 38	3imtr4g 299	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∀𝑓 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅)((𝑓‘(0g‘𝑍)) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑍)) = (0g‘𝑅)) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅))
40	19, 39	mpd 16	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  0_gc0g 17590   GrpHom cghm 19407  1_rcur 20387  Ringcrg 20439   RingHom crh 20679  NzRingcnzr 20742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-ghm 19408  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-rhm 20682  df-nzr 20743

This theorem is used by:  zrninitoringc  20908  nzerooringczr  21766