Theorem drng0mxidl 33675

Description: In a division ring, the zero ideal is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drng0mxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem drng0mxidl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20811	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		drngmxidl.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 20339	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10		drngnzr 20823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	7, 3	nzrnz 20589	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
12		nelsn 4628	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
14		nelne1 3057	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 }) → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
15	9, 13, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
16	15	necomd 3015	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 3, 2	drngnidl 21342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
18	17	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)}))
19	18	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
20		elpri 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
22	21	a1d 26	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
23	22	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
24	6	ismxidl 33662	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
25	24	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))) → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	1, 5, 16, 23, 25	syl13anc 1395	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  NzRingcnzr 20586  DivRingcdr 20804  LIdealclidl 21299  MaxIdealcmxidl 33659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-nzr 20587  df-subrg 20646  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-mxidl 33660

This theorem is referenced by:  drngmxidl  33676