Theorem drng0mxidl 33448

Description: In a division ring, the zero ideal is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drng0mxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem drng0mxidl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20653	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		drngmxidl.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21169	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 20185	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10		drngnzr 20665	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	7, 3	nzrnz 20432	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
12		nelsn 4618	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
14		nelne1 3026	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 }) → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
16	15	necomd 2984	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 3, 2	drngnidl 21182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
18	17	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)}))
19	18	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
20		elpri 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
23	22	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
24	6	ismxidl 33434	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
25	24	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))) → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	1, 5, 16, 23, 25	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  NzRingcnzr 20429  DivRingcdr 20646  LIdealclidl 21145  MaxIdealcmxidl 33431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-nzr 20430  df-subrg 20487  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-mxidl 33432

This theorem is referenced by:  drngmxidl  33449