Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drng0mxidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drng0mxidl 33098
Description: In a division ring, the zero ideal is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
drngmxidl.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drng0mxidl (𝑅 ∈ DivRing β†’ { 0 } ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem drng0mxidl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 20594 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2726 . . . 4 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3 drngmxidl.1 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
42, 3lidl0 21089 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
51, 4syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
86, 7ringidcl 20165 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10 drngnzr 20607 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
117, 3nzrnz 20417 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
12 nelsn 4663 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ { 0 })
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ { 0 })
14 nelne1 3033 . . . 4 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ { 0 }) β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  { 0 })
159, 13, 14syl2anc 583 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) β‰  { 0 })
1615necomd 2990 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))
176, 3, 2drngnidl 21101 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = {{ 0 }, (Baseβ€˜π‘…)})
1817eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↔ 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Baseβ€˜π‘…)}))
1918biimpa 476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Baseβ€˜π‘…)})
20 elpri 4645 . . . . 5 (𝑗 ∈ {{ 0 }, (Baseβ€˜π‘…)} β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2221a1d 25 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ({ 0 } βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
2322ralrimiva 3140 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜π‘…)({ 0 } βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
246ismxidl 33084 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ({ 0 } ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜π‘…)({ 0 } βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))))
2524biimpar 477 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜π‘…)({ 0 } βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))) β†’ { 0 } ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
261, 5, 16, 23, 25syl13anc 1369 1 (𝑅 ∈ DivRing β†’ { 0 } ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138  NzRingcnzr 20414  DivRingcdr 20587  LIdealclidl 21065  MaxIdealcmxidl 33081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-mxidl 33082
This theorem is referenced by:  drngmxidl  33099
  Copyright terms: Public domain W3C validator