Theorem drng0mxidl 33516

Description: In a division ring, the zero ideal is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drng0mxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem drng0mxidl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		drngmxidl.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	lidl0 21267	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 20289	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10		drngnzr 20774	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	7, 3	nzrnz 20541	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
12		nelsn 4674	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
14		nelne1 3039	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 }) → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
16	15	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
17	6, 3, 2	drngnidl 21280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
18	17	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)}))
19	18	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
20		elpri 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
23	22	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))
24	6	ismxidl 33502	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
25	24	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)({ 0 } ⊆ 𝑗 → (𝑗 = { 0 } ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))) → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
26	1, 5, 16, 23, 25	syl13anc 1373	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3966  {csn 4634  {cpr 4636  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  NzRingcnzr 20538  DivRingcdr 20755  LIdealclidl 21243  MaxIdealcmxidl 33499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-subrg 20596  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-sra 21199  df-rgmod 21200  df-lidl 21245  df-mxidl 33500

This theorem is referenced by:  drngmxidl  33517