Theorem drnglidl1ne0 20598

Description: In a nonzero ring, the zero ideal is different from the unit ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnglidl1ne0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnglidl1ne0.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnglidl1ne0	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐵 ≠ { 0 })

Proof of Theorem drnglidl1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20595	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		drnglidl1ne0.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20344	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		drnglidl1ne0.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	3, 6	nzrnz 20594	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8		nelsn 4634	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 })
10		nelne1 3061	. 2 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ { 0 }) → 𝐵 ≠ { 0 })
11	5, 9, 10	syl2anc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐵 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {csn 4591  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  NzRingcnzr 20591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-nzr 20592

This theorem is referenced by:  drngmxidl  33700  smprngprmrng  48988