Theorem ply1nzb 26388

Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nzb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1domn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26387	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6	4, 5	nzrnz 20712	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
8		ifeq1 4486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9		ifid 4523	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimivw 3158	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	12, 1, 4	ply1mpl1 22523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
17		1on 8468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1o ∈ On)
19	12, 13, 14, 15, 16, 18, 3	mpl1 22266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	12, 1, 5	ply1mpl0 22521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
21		ringgrp 20411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12, 13, 14, 20, 18, 22	mpl0 22260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
24		fconstmpt 5710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)))
26	19, 25	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))))
27		fvex 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
28		fvex 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
29	27, 28	ifex 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
30	29	rgenw 3080	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
31		mpteqb 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	26, 32	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
34	11, 33	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑃)))
35	34	necon3d 2976	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
36	7, 35	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
37	15, 14	isnzr 20711	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
38	3, 36, 37	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
39	38	ex 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
40	2, 39	impbid2 229	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5646  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  Oncon0 6352  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1_oc1o 8448   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  0cc0 11157  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  0_gc0g 17557  Grpcgrp 19091  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  NzRingcnzr 20709   mPoly cmpl 22161  Poly₁cpl1 22442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-nzr 20710  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448

This theorem is used by: (None)