Theorem ply1nzb 26468

Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nzb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1domn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26467	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6	4, 5	nzrnz 20792	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
8		ifeq1 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9		ifid 4526	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimivw 3162	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	12, 1, 4	ply1mpl1 22603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
17		1on 8514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1o ∈ On)
19	12, 13, 14, 15, 16, 18, 3	mpl1 22346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	12, 1, 5	ply1mpl0 22601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
21		ringgrp 20491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12, 13, 14, 20, 18, 22	mpl0 22340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
24		fconstmpt 5717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)))
26	19, 25	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))))
27		fvex 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
28		fvex 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
29	27, 28	ifex 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
30	29	rgenw 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
31		mpteqb 7033	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	26, 32	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
34	11, 33	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑃)))
35	34	necon3d 2980	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
36	7, 35	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
37	15, 14	isnzr 20791	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
38	3, 36, 37	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
39	38	ex 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
40	2, 39	impbid2 229	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  Oncon0 6377  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  0cc0 11224  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  NzRingcnzr 20789   mPoly cmpl 22241  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-nzr 20790  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528

This theorem is used by: (None)