Theorem ply1nzb 26109

Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nzb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1domn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26108	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6	4, 5	nzrnz 20490	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
7	6	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
8		ifeq1 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9		ifid 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimivw 3137	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	12, 1, 4	ply1mpl1 22246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
17		1on 8411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1o ∈ On)
19	12, 13, 14, 15, 16, 18, 3	mpl1 21989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	12, 1, 5	ply1mpl0 22244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
21		ringgrp 20213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12, 13, 14, 20, 18, 22	mpl0 21983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
24		fconstmpt 5682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)))
26	19, 25	eqeq12d 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))))
27		fvex 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
28		fvex 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
29	27, 28	ifex 4507	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
30	29	rgenw 3059	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
31		mpteqb 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	26, 32	bitrdi 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
34	11, 33	imbitrrid 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑃)))
35	34	necon3d 2957	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
36	7, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
37	15, 14	isnzr 20489	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
38	3, 36, 37	sylanbrc 590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
39	38	ex 414	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
40	2, 39	impbid2 228	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  {crab 3393  Vcvv 3433  ifcif 4456  {csn 4557   ↦ cmpt 5155   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  Oncon0 6313  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8392   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  0cc0 11034  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  NzRingcnzr 20487   mPoly cmpl 21884  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-nzr 20488  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171

This theorem is referenced by: (None)