Theorem ply1nzb 24223

Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nzb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1domn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 24222	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6	4, 5	nzrnz 19583	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
7	6	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
8		ifeq1 4281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9		ifid 4316	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)
10	8, 9	syl6eq 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimivw 3148	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
13		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	12, 1, 4	ply1mpl1 19949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
17		1on 7806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ On
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1𝑜 ∈ On)
19	12, 13, 14, 15, 16, 18, 3	mpl1 19767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	12, 1, 5	ply1mpl0 19947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
21		ringgrp 18868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12, 13, 14, 20, 18, 22	mpl0 19764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
24		fconstmpt 5368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))
25	23, 24	syl6eq 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)))
26	19, 25	eqeq12d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))))
27		fvex 6424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
28		fvex 6424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
29	27, 28	ifex 4325	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
30	29	rgenw 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
31		mpteqb 6524	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	26, 32	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
34	11, 33	syl5ibr 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑃)))
35	34	necon3d 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
36	7, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
37	15, 14	isnzr 19582	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
38	3, 36, 37	sylanbrc 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
39	38	ex 402	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
40	2, 39	impbid2 218	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  ifcif 4277  {csn 4368   ↦ cmpt 4922   × cxp 5310  ^◡ccnv 5311   “ cima 5315  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792   ↑_𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  0cc0 10224  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  0_gc0g 16415  Grpcgrp 17738  1_rcur 18817  Ringcrg 18863  NzRingcnzr 19580   mPoly cmpl 19676  Poly₁cpl1 19869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-nzr 19581  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875

This theorem is referenced by: (None)