Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nzb 24634
 Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nzb (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1domn.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1nz 24633 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4 eqid 2826 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
5 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
64, 5nzrnz 19952 . . . . . 6 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
8 ifeq1 4474 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝑦 = (1o × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)))
9 ifid 4509 . . . . . . . . 9 if(𝑦 = (1o × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)
108, 9syl6eq 2877 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1110ralrimivw 3188 . . . . . . 7 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
12 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1612, 1, 4ply1mpl1 20344 . . . . . . . . . 10 (1r𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
17 1on 8100 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ On
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1o ∈ On)
1912, 13, 14, 15, 16, 18, 3mpl1 20143 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2012, 1, 5ply1mpl0 20342 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑃) = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
21 ringgrp 19222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
223, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
2312, 13, 14, 20, 18, 22mpl0 20140 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
24 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))
2523, 24syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)))
2619, 25eqeq12d 2842 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))))
27 fvex 6680 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) ∈ V
28 fvex 6680 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) ∈ V
2927, 28ifex 4518 . . . . . . . . . 10 if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
3029rgenw 3155 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
31 mpteqb 6783 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3326, 32syl6bb 288 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3411, 33syl5ibr 247 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (1r𝑃) = (0g𝑃)))
3534necon3d 3042 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) ≠ (0g𝑃) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
367, 35mpd 15 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3715, 14isnzr 19951 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
383, 36, 37sylanbrc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3938ex 413 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
402, 39impbid2 227 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  {crab 3147  Vcvv 3500  ifcif 4470  {csn 4564   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552  ◡ccnv 5553   “ cima 5557  Oncon0 6189  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  1oc1o 8086   ↑m cmap 8396  Fincfn 8498  0cc0 10526  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  0gc0g 16703  Grpcgrp 18033  1rcur 19171  Ringcrg 19217  NzRingcnzr 19949   mPoly cmpl 20052  Poly1cpl1 20264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-tset 16574  df-ple 16575  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-ghm 18286  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-nzr 19950  df-ascl 20006  df-psr 20055  df-mvr 20056  df-mpl 20057  df-opsr 20059  df-psr1 20267  df-vr1 20268  df-ply1 20269  df-coe1 20270 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator