Theorem ply1nzb 26062

Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1nzb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1domn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1nz 26061	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6	4, 5	nzrnz 20436	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃))
8		ifeq1 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9		ifid 4525	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (0g‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	10	ralrimivw 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	12, 1, 4	ply1mpl1 22177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
17		1on 8423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1o ∈ On)
19	12, 13, 14, 15, 16, 18, 3	mpl1 21955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	12, 1, 5	ply1mpl0 22175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
21		ringgrp 20159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12, 13, 14, 20, 18, 22	mpl0 21949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
24		fconstmpt 5693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g‘𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)))
26	19, 25	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅))))
27		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
28		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
29	27, 28	ifex 4535	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
30	29	rgenw 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
31		mpteqb 6969	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	26, 32	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) = (0g‘𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1o × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
34	11, 33	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑃)))
35	34	necon3d 2946	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r‘𝑃) ≠ (0g‘𝑃) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
36	7, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
37	15, 14	isnzr 20435	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
38	3, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
39	38	ex 412	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
40	2, 39	impbid2 226	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3402  Vcvv 3444  ifcif 4484  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Oncon0 6320  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  0cc0 11046  ℕcn 12164  ℕ₀cn0 12420  0_gc0g 17379  Grpcgrp 18848  1_rcur 20102  Ringcrg 20154  NzRingcnzr 20433   mPoly cmpl 21849  Poly₁cpl1 22095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-hash 14274  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-prds 17387  df-pws 17389  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19128  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-nzr 20434  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-ascl 21798  df-psr 21852  df-mvr 21853  df-mpl 21854  df-opsr 21856  df-psr1 22098  df-vr1 22099  df-ply1 22100  df-coe1 22101

This theorem is referenced by: (None)