MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nzb 24223
Description: Univariate polynomials are nonzero iff the base is nonzero. Or in contraposition, the univariate polynomials over the zero ring are also zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nzb (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))

Proof of Theorem ply1nzb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1domn.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1nz 24222 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
3 simpl 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4 eqid 2799 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
5 eqid 2799 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
64, 5nzrnz 19583 . . . . . 6 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
76adantl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) ≠ (0g𝑃))
8 ifeq1 4281 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)))
9 ifid 4316 . . . . . . . . 9 if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (0g𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)
108, 9syl6eq 2849 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
1110ralrimivw 3148 . . . . . . 7 ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
12 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
13 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
14 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1612, 1, 4ply1mpl1 19949 . . . . . . . . . 10 (1r𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
17 1on 7806 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 1𝑜 ∈ On)
1912, 13, 14, 15, 16, 18, 3mpl1 19767 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2012, 1, 5ply1mpl0 19947 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑃) = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
21 ringgrp 18868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
223, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Grp)
2312, 13, 14, 20, 18, 22mpl0 19764 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = ({𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
24 fconstmpt 5368 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))
2523, 24syl6eq 2849 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (0g𝑃) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)))
2619, 25eqeq12d 2814 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅))))
27 fvex 6424 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) ∈ V
28 fvex 6424 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) ∈ V
2927, 28ifex 4325 . . . . . . . . . 10 if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
3029rgenw 3105 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
31 mpteqb 6524 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3326, 32syl6bb 279 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) = (0g𝑃) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑦 = (1𝑜 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3411, 33syl5ibr 238 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (1r𝑃) = (0g𝑃)))
3534necon3d 2992 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → ((1r𝑃) ≠ (0g𝑃) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
367, 35mpd 15 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3715, 14isnzr 19582 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
383, 36, 37sylanbrc 579 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3938ex 402 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ NzRing))
402, 39impbid2 218 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑃 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  ifcif 4277  {csn 4368  cmpt 4922   × cxp 5310  ccnv 5311  cima 5315  Oncon0 5941  cfv 6101  (class class class)co 6878  1𝑜c1o 7792  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  0cc0 10224  cn 11312  0cn0 11580  0gc0g 16415  Grpcgrp 17738  1rcur 18817  Ringcrg 18863  NzRingcnzr 19580   mPoly cmpl 19676  Poly1cpl1 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-nzr 19581  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator