Theorem uvcf1 21772

Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcf1	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem uvcf1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20493	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcff.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3		uvcff.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		uvcff.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	uvcff 21771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
6	1, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝐼)
14	2, 11, 12, 13, 7	uvcvv1 21769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = (1r‘𝑅))
15		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐼)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝑖)
18	2, 11, 12, 15, 13, 17, 8	uvcvv0 21770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) = (0g‘𝑅))
19	10, 14, 18	3netr4d 3009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
20		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
21	20	necon3i 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
22	19, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗)))
24	23	necon4d 2956	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
25	24	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26		dff13 7209	. 2 ⊢ (𝑈:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  NzRingcnzr 20489   freeLMod cfrlm 21726   unitVec cuvc 21762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-nzr 20490  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-uvc 21763

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21777  uvcf1o  21826  frlmdim  33755