Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcf1 20485
 Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcf1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrring 20031 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 uvcff.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3 uvcff.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 uvcff.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4uvcff 20484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
61, 5sylan 583 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
7 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
97, 8nzrnz 20030 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
109ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
111ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝐼𝑊)
13 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝐼)
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 20482 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = (1r𝑅))
15 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝐼)
16 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑗)
1716necomd 3045 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑖)
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 20483 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑗)‘𝑖) = (0g𝑅))
1910, 14, 183netr4d 3067 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖))
20 fveq1 6648 . . . . . . 7 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = ((𝑈𝑗)‘𝑖))
2120necon3i 3022 . . . . . 6 (((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2219, 21syl 17 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2322ex 416 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → (𝑖𝑗 → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗)))
2423necon4d 3014 . . 3 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2524ralrimivva 3159 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26 dff13 6995 . 2 (𝑈:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑈:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
276, 25, 26sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  0gc0g 16709  1rcur 19248  Ringcrg 19294  NzRingcnzr 20027   freeLMod cfrlm 20439   unitVec cuvc 20475 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-nzr 20028  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-uvc 20476 This theorem is referenced by:  frlmlbs  20490  uvcf1o  20539  frlmdim  31101
 Copyright terms: Public domain W3C validator