Theorem uvcf1 21752

Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcf1	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem uvcf1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20476	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcff.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3		uvcff.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		uvcff.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	uvcff 21751	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
6	1, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝐼)
14	2, 11, 12, 13, 7	uvcvv1 21749	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = (1r‘𝑅))
15		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐼)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝑖)
18	2, 11, 12, 15, 13, 17, 8	uvcvv0 21750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) = (0g‘𝑅))
19	10, 14, 18	3netr4d 3009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
20		fveq1 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
21	20	necon3i 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
22	19, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗)))
24	23	necon4d 2956	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
25	24	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26		dff13 7247	. 2 ⊢ (𝑈:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  NzRingcnzr 20472   freeLMod cfrlm 21706   unitVec cuvc 21742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-nzr 20473  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-uvc 21743

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21757  uvcf1o  21806  frlmdim  33651