Theorem uvcf1 21831

Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcf1	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem uvcf1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20552	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcff.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3		uvcff.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		uvcff.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	uvcff 21830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
6	1, 5	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11	1	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpllr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13		simplrl 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝐼)
14	2, 11, 12, 13, 7	uvcvv1 21828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = (1r‘𝑅))
15		simplrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐼)
16		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
17	16	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝑖)
18	2, 11, 12, 15, 13, 17, 8	uvcvv0 21829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) = (0g‘𝑅))
19	10, 14, 18	3netr4d 3033	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
20		fveq1 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
21	20	necon3i 2988	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
22	19, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
23	22	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗)))
24	23	necon4d 2980	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
25	24	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26		dff13 7232	. 2 ⊢ (𝑈:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ⟶wf 6511  –1-1→wf1 6512  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  0_gc0g 17458  1_rcur 20217  Ringcrg 20269  NzRingcnzr 20548   freeLMod cfrlm 21785   unitVec cuvc 21821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-mgp 20177  df-ur 20218  df-ring 20271  df-nzr 20549  df-sra 21227  df-rgmod 21228  df-dsmm 21771  df-frlm 21786  df-uvc 21822

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21836  uvcf1o  21885  frlmdim  33868