Theorem drngidl 21500

Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidl	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem drngidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngidl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngidl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngidl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21492	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6, 2	nzrnz 20726	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		nzrring 20727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simp-4r 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
22	21	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
24	23	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
26	1, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25	ringinveu 20952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 = 𝑧)
27	26	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
28	27, 22	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
29	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 6	ringidcl 20455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	13, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	30	snssd 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
35		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
36	35, 1, 3	rspcl 21479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
37	29, 34, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
38		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
39	37, 38	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
40		elpri 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
42		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
44	43	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑥))
45	1, 9, 2	ringlz 20485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
46	13, 18, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
47	46	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
48	42, 44, 47	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
49	8	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
50	49	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
51	48, 50	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ 𝑦 = 0 )
52	51	neqned 2962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ≠ 0 )
53	1, 2, 35	pidlnz 21489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
54	29, 30, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
55	54	neneqd 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 })
56	41, 55	orcnd 892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵)
57	33, 56	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
58	1, 9, 35	elrspsn 21486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
59	58	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
60	29, 30, 57, 59	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
61	28, 60	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
62	61, 24	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
63	62	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
64	18	snssd 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
65	35, 1, 3	rspcl 21479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
66	13, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
67		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
68	66, 67	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
69		elpri 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
71		eldifsni 4752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
73	1, 2, 35	pidlnz 21489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
74	13, 18, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
75	74	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 })
76	70, 75	orcnd 892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵)
77	32, 76	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
78	1, 9, 35	elrspsn 21486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
79	78	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
80	13, 18, 77, 79	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
81	63, 80	reximddv 3178	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
82	81	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
83	1, 2, 6, 9, 10, 12	isdrng4 20953	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))))
84	8, 82, 83	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ DivRing)
85	5, 84	impbida 813	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  Unitcui 20546  NzRingcnzr 20723  DivRingcdr 20941  LIdealclidl 21445  RSpancrsp 21446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-nzr 20724  df-subrg 20783  df-drng 20943  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448

This theorem is used by:  isfieldidl  21501  drngidlhash  33916  drngmxidlr  33935