Theorem drngidl 33405

Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidl	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem drngidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngidl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngidl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngidl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21186	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6, 2	nzrnz 20436	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		nzrring 20437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
22	21	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
24	23	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
26	1, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25	ringinveu 33267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 = 𝑧)
27	26	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
28	27, 22	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
29	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 6	ringidcl 20189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	30	snssd 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
36	35, 1, 3	rspcl 21178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
37	29, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
38		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
39	37, 38	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
40		elpri 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
42		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
44	43	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑥))
45	1, 9, 2	ringlz 20217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
46	13, 18, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
47	46	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
48	42, 44, 47	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
49	8	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
50	49	neneqd 2933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
51	48, 50	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ 𝑦 = 0 )
52	51	neqned 2935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ≠ 0 )
53	1, 2, 35	pidlnz 33348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
54	29, 30, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
55	54	neneqd 2933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 })
56	41, 55	orcnd 878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵)
57	33, 56	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
58	1, 9, 35	elrspsn 21183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
59	58	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
60	29, 30, 57, 59	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
61	28, 60	r19.29a 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
62	61, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
63	62	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
64	18	snssd 4760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
65	35, 1, 3	rspcl 21178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
66	13, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
67		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
68	66, 67	eleqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
69		elpri 4599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
71		eldifsni 4741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
73	1, 2, 35	pidlnz 33348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
74	13, 18, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
75	74	neneqd 2933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 })
76	70, 75	orcnd 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵)
77	32, 76	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
78	1, 9, 35	elrspsn 21183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
79	78	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
80	13, 18, 77, 79	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
81	63, 80	reximddv 3148	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
82	81	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
83	1, 2, 6, 9, 10, 12	isdrng4 33268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))))
84	8, 82, 83	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ DivRing)
85	5, 84	impbida 800	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  ._rcmulr 17168  0_gc0g 17349  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  Unitcui 20279  NzRingcnzr 20433  DivRingcdr 20650  LIdealclidl 21149  RSpancrsp 21150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-nzr 20434  df-subrg 20491  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-rsp 21152

This theorem is referenced by:  drngidlhash  33406  drngmxidlr  33450