Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngidl 33441
Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
drngidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngidl.z 0 = (0g𝑅)
drngidl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngidl (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem drngidl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngidl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 drngidl.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 drngidl.u . . . 4 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
41, 2, 3drngnidl 21271 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
54adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6 eqid 2735 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
76, 2nzrnz 20532 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ 0 )
87adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (1r𝑅) ≠ 0 )
9 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11 nzrring 20533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
1413ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
15 simp-4r 784 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → 𝑦𝐵)
16 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → 𝑧𝐵)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
1817eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → 𝑥𝐵)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → 𝑥𝐵)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
2221eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → (𝑧(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
2423eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
261, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25ringinveu 33278 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → 𝑥 = 𝑧)
2726oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
2827, 22eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
2913ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
30 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → 𝑦𝐵)
311, 6ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3430snssd 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3635, 1, 3rspcl 21263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
3729, 34, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
38 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
3937, 38eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
40 elpri 4654 . . . . . . . . . . . 12 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
42 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = ( 0 (.r𝑅)𝑥))
451, 9, 2ringlz 20307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑥) = 0 )
4613, 18, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 (.r𝑅)𝑥) = 0 )
4746ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑥) = 0 )
4842, 44, 473eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r𝑅) = 0 )
498ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r𝑅) ≠ 0 )
5049neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ¬ (1r𝑅) = 0 )
5148, 50pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ¬ 𝑦 = 0 )
5251neqned 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → 𝑦0 )
531, 2, 35pidlnz 33384 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑦0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
5429, 30, 52, 53syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
5554neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 })
5641, 55orcnd 878 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵)
5733, 56eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
581, 9, 35elrspsn 21268 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑧𝐵 (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)))
5958biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑧𝐵 (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
6029, 30, 57, 59syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ∃𝑧𝐵 (1r𝑅) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
6128, 60r19.29a 3160 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
6261, 24jca 511 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅) ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
6362anasss 466 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅) ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
6418snssd 4814 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
6535, 1, 3rspcl 21263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
6613, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
67 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6866, 67eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
69 elpri 4654 . . . . . . . . 9 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
71 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
7271adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
731, 2, 35pidlnz 33384 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
7413, 18, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
7574neneqd 2943 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 })
7670, 75orcnd 878 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵)
7732, 76eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
781, 9, 35elrspsn 21268 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑦𝐵 (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)))
7978biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑦𝐵 (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
8013, 18, 77, 79syl21anc 838 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦𝐵 (1r𝑅) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
8163, 80reximddv 3169 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅) ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
8281ralrimiva 3144 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅) ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
831, 2, 6, 9, 10, 12isdrng4 33279 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅) ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))))
848, 82, 83mpbir2and 713 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ DivRing)
855, 84impbida 801 1 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  Unitcui 20372  NzRingcnzr 20529  DivRingcdr 20746  LIdealclidl 21234  RSpancrsp 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237
This theorem is referenced by:  drngidlhash  33442  drngmxidlr  33486
  Copyright terms: Public domain W3C validator