Theorem drngidl 32546

Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidl	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem drngidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngidl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngidl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngidl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 20853	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6, 2	nzrnz 20293	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
9		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		nzrring 20294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ad4antr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simp-4r 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
22	21	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
23		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
24	23	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
26	1, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25	ringinveu 32389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 = 𝑧)
27	26	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
28	27, 22	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
29	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 6	ringidcl 20082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	30	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
35		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
36	35, 1, 3	rspcl 20846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
37	29, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
38		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
39	37, 38	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
40		elpri 4650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
42		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
43		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
44	43	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑥))
45	1, 9, 2	ringlz 20106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
46	13, 18, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
47	46	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
48	42, 44, 47	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
49	8	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
50	49	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
51	48, 50	pm2.65da 815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ 𝑦 = 0 )
52	51	neqned 2947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ≠ 0 )
53	1, 2, 35	pidlnz 32483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
54	29, 30, 52, 53	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
55	54	neneqd 2945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 })
56	41, 55	orcnd 877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵)
57	33, 56	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
58	1, 9, 35	rspsnel 32479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
59	58	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
60	29, 30, 57, 59	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
61	28, 60	r19.29a 3162	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
62	61, 24	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
63	62	anasss 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
64	18	snssd 4812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
65	35, 1, 3	rspcl 20846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
66	13, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
67		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
68	66, 67	eleqtrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
69		elpri 4650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
71		eldifsni 4793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
73	1, 2, 35	pidlnz 32483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
74	13, 18, 72, 73	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
75	74	neneqd 2945	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 })
76	70, 75	orcnd 877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵)
77	32, 76	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
78	1, 9, 35	rspsnel 32479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
79	78	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
80	13, 18, 77, 79	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
81	63, 80	reximddv 3171	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
82	81	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
83	1, 2, 6, 9, 10, 12	isdrng4 32390	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))))
84	8, 82, 83	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ DivRing)
85	5, 84	impbida 799	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  NzRingcnzr 20290  DivRingcdr 20356  LIdealclidl 20782  RSpancrsp 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-nzr 20291  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787

This theorem is referenced by:  drngidlhash  32547