Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngidl 33056
Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
drngidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngidl (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}))

Proof of Theorem drngidl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngidl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 drngidl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 drngidl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
41, 2, 3drngnidl 21098 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
54adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
6 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
76, 2nzrnz 20414 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
87adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
9 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
10 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
11 nzrring 20415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1413ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 simp-4r 781 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
1817eldifad 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
2221eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2423eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
261, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25ringinveu 32896 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ π‘₯ = 𝑧)
2726oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
2827, 22eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
2913ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
311, 6ringidcl 20162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3430snssd 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐡)
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
3635, 1, 3rspcl 21091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} βŠ† 𝐡) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ π‘ˆ)
3729, 34, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ π‘ˆ)
38 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
3937, 38eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐡})
40 elpri 4645 . . . . . . . . . . . 12 (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐡} β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡))
42 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = 0 )
4443oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯))
451, 9, 2ringlz 20189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4613, 18, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4746ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4842, 44, 473eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = 0 )
498ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
5049neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = 0 )
5148, 50pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑦 = 0 )
5251neqned 2941 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑦 β‰  0 )
531, 2, 35pidlnz 32993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) β‰  { 0 })
5429, 30, 52, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) β‰  { 0 })
5554neneqd 2939 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 })
5641, 55orcnd 875 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡)
5733, 56eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}))
581, 9, 35rspsnel 32989 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
5958biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
6029, 30, 57, 59syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
6128, 60r19.29a 3156 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
6261, 24jca 511 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
6362anasss 466 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
6418snssd 4807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐡)
6535, 1, 3rspcl 21091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {π‘₯} βŠ† 𝐡) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ π‘ˆ)
6613, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ π‘ˆ)
67 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
6866, 67eleqtrd 2829 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ {{ 0 }, 𝐡})
69 elpri 4645 . . . . . . . . 9 (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ {{ 0 }, 𝐡} β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡))
71 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
7271adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
731, 2, 35pidlnz 32993 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
7413, 18, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
7574neneqd 2939 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 })
7670, 75orcnd 875 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡)
7732, 76eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}))
781, 9, 35rspsnel 32989 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
7978biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
8013, 18, 77, 79syl21anc 835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
8163, 80reximddv 3165 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
8281ralrimiva 3140 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
831, 2, 6, 9, 10, 12isdrng4 32897 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))))
848, 82, 83mpbir2and 710 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
855, 84impbida 798 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  1rcur 20083  Ringcrg 20135  Unitcui 20254  NzRingcnzr 20411  DivRingcdr 20584  LIdealclidl 21062  RSpancrsp 21063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-nzr 20412  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065
This theorem is referenced by:  drngidlhash  33057
  Copyright terms: Public domain W3C validator