Theorem drngidl 33498

Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngidl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngidl	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem drngidl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngidl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngidl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngidl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngnidl 21200	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	6, 2	nzrnz 20450	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		nzrring 20451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simp-4r 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
24	23	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
26	1, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25	ringinveu 33360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 = 𝑧)
27	26	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
28	27, 22	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
29	13	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 6	ringidcl 20204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	30	snssd 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
36	35, 1, 3	rspcl 21192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
37	29, 34, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ 𝑈)
38		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
39	37, 38	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
40		elpri 4592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵))
42		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
44	43	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑥))
45	1, 9, 2	ringlz 20232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
46	13, 18, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
47	46	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑥) = 0 )
48	42, 44, 47	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
49	8	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
50	49	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) ∧ 𝑦 = 0 ) → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
51	48, 50	pm2.65da 817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ 𝑦 = 0 )
52	51	neqned 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → 𝑦 ≠ 0 )
53	1, 2, 35	pidlnz 33441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
54	29, 30, 52, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ≠ { 0 })
55	54	neneqd 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = { 0 })
56	41, 55	orcnd 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) = 𝐵)
57	33, 56	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
58	1, 9, 35	elrspsn 21197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
59	58	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
60	29, 30, 57, 59	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
61	28, 60	r19.29a 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
62	61, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
63	62	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
64	18	snssd 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
65	35, 1, 3	rspcl 21192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
66	13, 64, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ 𝑈)
67		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
68	66, 67	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵})
69		elpri 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 } ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵))
71		eldifsni 4734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
73	1, 2, 35	pidlnz 33441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
74	13, 18, 72, 73	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
75	74	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ¬ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = { 0 })
76	70, 75	orcnd 879	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = 𝐵)
77	32, 76	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
78	1, 9, 35	elrspsn 21197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
79	78	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
80	13, 18, 77, 79	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
81	63, 80	reximddv 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
82	81	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
83	1, 2, 6, 9, 10, 12	isdrng4 33361	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))))
84	8, 82, 83	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ DivRing)
85	5, 84	impbida 801	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  NzRingcnzr 20447  DivRingcdr 20664  LIdealclidl 21163  RSpancrsp 21164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-nzr 20448  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166

This theorem is referenced by:  drngidlhash  33499  drngmxidlr  33543