Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngidl 33174
Description: A nonzero ring is a division ring if and only if its only left ideals are the zero ideal and the unit ideal. (Proposed by Gerard Lang, 13-Mar-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
drngidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
drngidl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
drngidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
drngidl (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}))

Proof of Theorem drngidl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngidl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 drngidl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 drngidl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
41, 2, 3drngnidl 21145 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
54adantl 480 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
6 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
76, 2nzrnz 20461 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
87adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
9 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
10 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
11 nzrring 20462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1413ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
17 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
1817eldifad 3961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
2221eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2423eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
261, 2, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 22, 25ringinveu 32986 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ π‘₯ = 𝑧)
2726oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
2827, 22eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
2913ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
311, 6ringidcl 20209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3430snssd 4817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐡)
35 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
3635, 1, 3rspcl 21138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} βŠ† 𝐡) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ π‘ˆ)
3729, 34, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ π‘ˆ)
38 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
3937, 38eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐡})
40 elpri 4655 . . . . . . . . . . . 12 (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ∈ {{ 0 }, 𝐡} β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡))
42 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
43 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = 0 )
4443oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯))
451, 9, 2ringlz 20236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4613, 18, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4746ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 0 )
4842, 44, 473eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = 0 )
498ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
5049neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = 0 )
5148, 50pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑦 = 0 )
5251neqned 2944 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑦 β‰  0 )
531, 2, 35pidlnz 33112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) β‰  { 0 })
5429, 30, 52, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) β‰  { 0 })
5554neneqd 2942 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = { 0 })
5641, 55orcnd 876 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) = 𝐡)
5733, 56eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}))
581, 9, 35rspsnel 33107 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
5958biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑦})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
6029, 30, 57, 59syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
6128, 60r19.29a 3159 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
6261, 24jca 510 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
6362anasss 465 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
6418snssd 4817 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐡)
6535, 1, 3rspcl 21138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {π‘₯} βŠ† 𝐡) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ π‘ˆ)
6613, 64, 65syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ π‘ˆ)
67 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡})
6866, 67eleqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ {{ 0 }, 𝐡})
69 elpri 4655 . . . . . . . . 9 (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ∈ {{ 0 }, 𝐡} β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ∨ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡))
71 eldifsni 4798 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
7271adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
731, 2, 35pidlnz 33112 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
7413, 18, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
7574neneqd 2942 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = { 0 })
7670, 75orcnd 876 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) = 𝐡)
7732, 76eleqtrrd 2832 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}))
781, 9, 35rspsnel 33107 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
7978biimpa 475 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
8013, 18, 77, 79syl21anc 836 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
8163, 80reximddv 3168 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
8281ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
831, 2, 6, 9, 10, 12isdrng4 32987 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))))
848, 82, 83mpbir2and 711 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
855, 84impbida 799 1 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ DivRing ↔ π‘ˆ = {{ 0 }, 𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  1rcur 20128  Ringcrg 20180  Unitcui 20301  NzRingcnzr 20458  DivRingcdr 20631  LIdealclidl 21109  RSpancrsp 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-nzr 20459  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112
This theorem is referenced by:  drngidlhash  33175
  Copyright terms: Public domain W3C validator