Theorem nm1 24613

Description: The norm of one in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nm1.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nm1.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nm1	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem nm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nm1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24607	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅))
4		nm1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4, 5	nzrnz 20450	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ (0g‘𝑅))
7	2, 4, 5	abv1z 20759	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅) ∧ 1 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘ 1 ) = 1)
8	3, 6, 7	syl2an 597	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ‘cfv 6491  1c1 11029  0_gc0g 17361  1_rcur 20118  NzRingcnzr 20447  AbsValcabv 20743  normcnm 24522  NrmRingcnrg 24525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-ico 13269  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-nzr 20448  df-abv 20744  df-nrg 24531

This theorem is referenced by:  nminvr  24615  zrhnm  34103