MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzrunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nzrunit 20424
Description: A unit is nonzero in any nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nzrunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nzrunit.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nzrunit ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  0 )
Proof of Theorem nzrunit
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
2 nzrunit.2 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2nzrnz 20417 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 )
4 nzrring 20418 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 nzrunit.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
65, 2, 10unit 20298 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ π‘ˆ ↔ (1rβ€˜π‘…) = 0 ))
76necon3bbid 2972 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘ˆ ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘ˆ ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
93, 8mpbird 257 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing β†’ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ)
10 eleq1 2815 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ ↔ 0 ∈ π‘ˆ))
1110notbid 318 . . . 4 (𝐴 = 0 β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ))
129, 11syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝐴 = 0 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
1312necon2ad 2949 . 2 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 β‰  0 ))
1413imp 406 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  NzRingcnzr 20414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415
This theorem is referenced by:  unitnmn0  24540  nrginvrcnlem  24563  nzrneg1ne0  47177
  Copyright terms: Public domain W3C validator