MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzrunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzrunit 20033
Description: A unit is nonzero in any nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nzrunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nzrunit.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
nzrunit ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴0 )

Proof of Theorem nzrunit
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 nzrunit.2 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
31, 2nzrnz 20026 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ 0 )
4 nzrring 20027 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5 nzrunit.1 . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑅)
65, 2, 10unit 19426 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ( 0𝑈 ↔ (1r𝑅) = 0 ))
76necon3bbid 3024 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝑈 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (¬ 0𝑈 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
93, 8mpbird 260 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0𝑈)
10 eleq1 2877 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑈0𝑈))
1110notbid 321 . . . 4 (𝐴 = 0 → (¬ 𝐴𝑈 ↔ ¬ 0𝑈))
129, 11syl5ibrcom 250 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴𝑈))
1312necon2ad 3002 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐴𝑈𝐴0 ))
1413imp 410 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  cfv 6324  0gc0g 16705  1rcur 19244  Ringcrg 19290  Unitcui 19385  NzRingcnzr 20023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-nzr 20024
This theorem is referenced by:  unitnmn0  23274  nrginvrcnlem  23297  nzrneg1ne0  44488
  Copyright terms: Public domain W3C validator