Theorem algextdeglem1 33438

Description: Lemma for algextdeg 33446. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem1	⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Proof of Theorem algextdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
2	1	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ (𝐿 ↾s 𝐹) = ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹)
3		ovex 7446	. . . 4 ⊢ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V
4		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		issdrg 20675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
7	5, 6	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	7	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
9	7	simp2d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		subrgsubg 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
11	4	subgss 19081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
14		algextdeg.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
15		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
16		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
17	16	fldcrngd 20636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
18	13, 14, 4, 15, 17, 9	irngssv 33419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19		algextdeg.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
20	18, 19	sseldd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
21	20	snssd 4809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
22	12, 21	unssd 4181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
23	4, 8, 22	fldgenssid 33043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
24	23	unssad 4182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
25		ressabs 17224	. . . 4 ⊢ (((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
26	3, 24, 25	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
27	2, 26	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
28	27, 14	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∪ cun 3939   ⊆ wss 3941  {csn 4625  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  0_gc0g 17415  SubGrpcsubg 19074  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  Fieldcfield 20624  SubDRingcsdrg 20673   evalSub₁ ces1 22236   deg₁ cdg1 26000   fldGen cfldgen 33040   IntgRing cirng 33414   minPoly cminply 33423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-sdrg 20674  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-psr1 22102  df-ply1 22104  df-evls1 22238  df-mon1 26079  df-fldgen 33041  df-irng 33415

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33441