Theorem algextdeglem1 33880

Description: Lemma for algextdeg 33888. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem1	⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Proof of Theorem algextdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
2	1	oveq1i 7371	. . 3 ⊢ (𝐿 ↾s 𝐹) = ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹)
3		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		issdrg 20759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	7	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
9	7	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		subrgsubg 20548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
11	4	subgss 19097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
14		algextdeg.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
16		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
17	16	fldcrngd 20713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
18	13, 14, 4, 15, 17, 9	irngssv 33851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19		algextdeg.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
20	18, 19	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
21	20	snssd 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
22	12, 21	unssd 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
23	4, 8, 22	fldgenssid 33392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
24	23	unssad 4134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
25		ressabs 17212	. . . 4 ⊢ (((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
26	3, 24, 25	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
27	2, 26	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
28	27, 14	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396  SubGrpcsubg 19090  SubRingcsubrg 20540  DivRingcdr 20700  Fieldcfield 20701  SubDRingcsdrg 20757   evalSub₁ ces1 22291  deg₁cdg1 26032   fldGen cfldgen 33389   IntgRing cirng 33846   minPoly cminply 33862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-field 20703  df-sdrg 20758  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22065  df-psr1 22156  df-ply1 22158  df-evls1 22293  df-mon1 26109  df-fldgen 33390  df-irng 33847

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33883