Theorem algextdeglem1 34228

Description: Lemma for algextdeg 34236. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem1	⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Proof of Theorem algextdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
2	1	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (𝐿 ↾s 𝐹) = ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹)
3		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		issdrg 20955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	7	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
9	7	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		subrgsubg 20740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
11	4	subgss 19251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
14		algextdeg.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
16		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
17	16	fldcrngd 20906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
18	13, 14, 4, 15, 17, 9	irngssv 34199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19		algextdeg.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
20	18, 19	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
21	20	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
22	12, 21	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
23	4, 8, 22	fldgenssid 33755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
24	23	unssad 4139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
25		ressabs 17341	. . . 4 ⊢ (((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
26	3, 24, 25	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
27	2, 26	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
28	27, 14	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  0_gc0g 17525  SubGrpcsubg 19244  SubRingcsubrg 20732  DivRingcdr 20891  Fieldcfield 20892  SubDRingcsdrg 20953   evalSub₁ ces1 22539  deg₁cdg1 26280   fldGen cfldgen 33752   IntgRing cirng 34194   minPoly cminply 34210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-field 20894  df-sdrg 20954  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-psr1 22406  df-ply1 22408  df-evls1 22541  df-mon1 26357  df-fldgen 33753  df-irng 34195

This theorem is used by:  algextdeglem4  34231