Theorem algextdeglem1 33707

Description: Lemma for algextdeg 33715. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem1	⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Proof of Theorem algextdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
2	1	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ (𝐿 ↾s 𝐹) = ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹)
3		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		issdrg 20697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	7	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
9	7	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		subrgsubg 20486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
11	4	subgss 19059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
14		algextdeg.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
16		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
17	16	fldcrngd 20651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
18	13, 14, 4, 15, 17, 9	irngssv 33683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19		algextdeg.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
20	18, 19	sseldd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
21	20	snssd 4773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
22	12, 21	unssd 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
23	4, 8, 22	fldgenssid 33263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
24	23	unssad 4156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
25		ressabs 17218	. . . 4 ⊢ (((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
26	3, 24, 25	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
27	2, 26	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
28	27, 14	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19052  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  SubDRingcsdrg 20695   evalSub₁ ces1 22200  deg₁cdg1 25959   fldGen cfldgen 33260   IntgRing cirng 33678   minPoly cminply 33689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-field 20641  df-sdrg 20696  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-psr1 22064  df-ply1 22066  df-evls1 22202  df-mon1 26036  df-fldgen 33261  df-irng 33679

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33710