Theorem algextdeglem1 33823

Description: Lemma for algextdeg 33831. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem1	⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Proof of Theorem algextdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
2	1	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (𝐿 ↾s 𝐹) = ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹)
3		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		issdrg 20719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	7	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
9	7	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		subrgsubg 20508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
11	4	subgss 19055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
14		algextdeg.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
15		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
16		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
17	16	fldcrngd 20673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
18	13, 14, 4, 15, 17, 9	irngssv 33794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19		algextdeg.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
20	18, 19	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
21	20	snssd 4763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
22	12, 21	unssd 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
23	4, 8, 22	fldgenssid 33344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
24	23	unssad 4143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
25		ressabs 17173	. . . 4 ⊢ (((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
26	3, 24, 25	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴}))) ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
27	2, 26	eqtrid 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹))
28	27, 14	eqtr4di 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s 𝐹) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357  SubGrpcsubg 19048  SubRingcsubrg 20500  DivRingcdr 20660  Fieldcfield 20661  SubDRingcsdrg 20717   evalSub₁ ces1 22255  deg₁cdg1 26013   fldGen cfldgen 33341   IntgRing cirng 33789   minPoly cminply 33805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-field 20663  df-sdrg 20718  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-assa 21806  df-asp 21807  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-evls 22027  df-psr1 22118  df-ply1 22120  df-evls1 22257  df-mon1 26090  df-fldgen 33342  df-irng 33790

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33826