Theorem obsss 21714

Description: An orthonormal basis is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsss	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem obsss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21710	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  ·_𝑖cip 17216  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  PreHilcphl 21614  ocvcocv 21650  OBasiscobs 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-obs 21695

This theorem is referenced by:  obsne0  21715  obselocv  21718  obslbs  21720