Theorem obsss 21270

Description: An orthonormal basis is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsss	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem obsss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2732	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21266	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  ·_𝑖cip 17198  0_gc0g 17381  1_rcur 19998  PreHilcphl 21168  ocvcocv 21204  OBasiscobs 21248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7408  df-obs 21251

This theorem is referenced by:  obsne0  21271  obselocv  21274  obslbs  21276