Theorem obsss 21769

Description: An orthonormal basis is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsss	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem obsss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21765	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316  ·_𝑖cip 17318  0_gc0g 17501  1_rcur 20210  PreHilcphl 21667  ocvcocv 21703  OBasiscobs 21747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fv 6583  df-ov 7453  df-obs 21750

This theorem is referenced by:  obsne0  21770  obselocv  21773  obslbs  21775