Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obselocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obselocv 20506
 Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obselocv.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obselocv ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))

Proof of Theorem obselocv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
21obsne0 20503 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
323adant2 1128 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
4 elin 3876 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ↔ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
5 obsrcl 20501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
653ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7 phllmod 20408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
10 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110obsss 20502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
139, 12sstrd 3904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1510, 14lspssid 19838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
168, 13, 15syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
1716ssrind 4142 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
18 obselocv.o . . . . . . . . . . . . . 14 = (ocv‘𝑊)
1910, 18, 14ocvlsp 20454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
206, 13, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
2120ineq2d 4119 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
22 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2310, 22, 14lspcl 19829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
248, 13, 23syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2518, 22, 1ocvin 20452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
266, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
2721, 26eqtr3d 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)) = {(0g𝑊)})
2817, 27sseqtrd 3934 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ {(0g𝑊)})
2928sseld 3893 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
304, 29syl5bir 246 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
31 elsni 4542 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {(0g𝑊)} → 𝐴 = (0g𝑊))
3230, 31syl6 35 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 = (0g𝑊)))
3332necon3ad 2964 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ≠ (0g𝑊) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶))))
343, 33mpd 15 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
35 imnan 403 . . . 4 ((𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)) ↔ ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3634, 35sylibr 237 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3736con2d 136 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) → ¬ 𝐴𝐶))
38 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
39 eleq1 2839 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴𝐶𝑥𝐶))
4038, 39syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐶))
4140con3d 155 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
449sselda 3894 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐵)
45 eqid 2758 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
46 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47 eqid 2758 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48 eqid 2758 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4910, 45, 46, 47, 48obsip 20499 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵𝑥𝐵) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5042, 43, 44, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51 iffalse 4432 . . . . . . 7 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5251eqeq2d 2769 . . . . . 6 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5350, 52syl5ibcom 248 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5441, 53syld 47 . . . 4 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5554ralrimdva 3118 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶 → ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5712, 56sseldd 3895 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
5810, 45, 46, 48, 18elocv 20446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6058, 59bitri 278 . . . . 5 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6160baib 539 . . . 4 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6213, 57, 61syl2anc 587 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6355, 62sylibrd 262 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
6437, 63impbid 215 1 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  Scalarcsca 16639  ·𝑖cip 16641  0gc0g 16784  1rcur 19332  LModclmod 19715  LSubSpclss 19784  LSpanclspn 19824  PreHilcphl 20402  ocvcocv 20438  OBasiscobs 20480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-ghm 18436  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-staf 19697  df-srng 19698  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-lmhm 19875  df-lvec 19956  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-phl 20404  df-ocv 20441  df-obs 20483 This theorem is referenced by:  obs2ss  20507  obslbs  20508
 Copyright terms: Public domain W3C validator