Theorem obselocv 21748

Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obselocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obselocv	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obselocv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2	1	obsne0 21745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
3	2	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
4		elin 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
5		obsrcl 21743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		phllmod 21648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	obsss 21744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
13	9, 12	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	10, 14	lspssid 20983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
16	8, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17	16	ssrind 4244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
18		obselocv.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
19	10, 18, 14	ocvlsp 21694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
20	6, 13, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
21	20	ineq2d 4220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	10, 22, 14	lspcl 20974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 13, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	18, 22, 1	ocvin 21692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
26	6, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
27	21, 26	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) = {(0g‘𝑊)})
28	17, 27	sseqtrd 4020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ {(0g‘𝑊)})
29	28	sseld 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
30	4, 29	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
31		elsni 4643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝐴 = (0g‘𝑊))
32	30, 31	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 = (0g‘𝑊)))
33	32	necon3ad 2953	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶))))
34	3, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
35		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
37	36	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
39		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
40	38, 39	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝐶))
41	40	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)
44	9	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
45		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49	10, 45, 46, 47, 48	obsip 21741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	42, 43, 44, 49	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51		iffalse 4534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53	50, 52	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
54	41, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
55	54	ralrimdva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
57	12, 56	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
58	10, 45, 46, 48, 18	elocv 21686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	58, 59	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
61	60	baib 535	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
62	13, 57, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
63	55, 62	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
64	37, 63	impbid 212	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  ·_𝑖cip 17302  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  PreHilcphl 21642  ocvcocv 21678  OBasiscobs 21722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rhm 20472  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644  df-ocv 21681  df-obs 21725

This theorem is referenced by:  obs2ss  21749  obslbs  21750