Theorem obselocv 21878

Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obselocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obselocv	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obselocv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2	1	obsne0 21875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
3	2	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
4		elin 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
5		obsrcl 21873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		phllmod 21780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	obsss 21874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
13	9, 12	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	10, 14	lspssid 21106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
16	8, 13, 15	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17	16	ssrind 4196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
18		obselocv.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
19	10, 18, 14	ocvlsp 21826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
20	6, 13, 19	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
21	20	ineq2d 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	10, 22, 14	lspcl 21097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 13, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	18, 22, 1	ocvin 21824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
26	6, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
27	21, 26	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) = {(0g‘𝑊)})
28	17, 27	sseqtrd 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ {(0g‘𝑊)})
29	28	sseld 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
30	4, 29	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
31		elsni 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝐴 = (0g‘𝑊))
32	30, 31	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 = (0g‘𝑊)))
33	32	necon3ad 2971	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶))))
34	3, 33	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
35		imnan 404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
36	34, 35	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
37	36	con2d 135	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
38		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
39		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
40	38, 39	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝐶))
41	40	con3d 153	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)
44	9	sselda 3937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49	10, 45, 46, 47, 48	obsip 21871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	42, 43, 44, 49	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51		iffalse 4496	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53	50, 52	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
54	41, 53	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
55	54	ralrimdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
57	12, 56	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
58	10, 45, 46, 48, 18	elocv 21818	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	58, 59	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
61	60	baib 544	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
62	13, 57, 61	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
63	55, 62	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
64	37, 63	impbid 215	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  ·_𝑖cip 17310  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092  PreHilcphl 21774  ocvcocv 21810  OBasiscobs 21852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-rhm 20550  df-drng 20829  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-phl 21776  df-ocv 21813  df-obs 21855

This theorem is referenced by:  obs2ss  21879  obslbs  21880