Theorem obselocv 21771

Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obselocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obselocv	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obselocv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2	1	obsne0 21768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
3	2	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
4		elin 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
5		obsrcl 21766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		phllmod 21671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	obsss 21767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
13	9, 12	sstrd 4019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	10, 14	lspssid 21006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
16	8, 13, 15	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17	16	ssrind 4265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
18		obselocv.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
19	10, 18, 14	ocvlsp 21717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
20	6, 13, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
21	20	ineq2d 4241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
22		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	10, 22, 14	lspcl 20997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 13, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	18, 22, 1	ocvin 21715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
26	6, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
27	21, 26	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) = {(0g‘𝑊)})
28	17, 27	sseqtrd 4049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ {(0g‘𝑊)})
29	28	sseld 4007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
30	4, 29	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
31		elsni 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝐴 = (0g‘𝑊))
32	30, 31	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 = (0g‘𝑊)))
33	32	necon3ad 2959	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶))))
34	3, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
35		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
37	36	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
39		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
40	38, 39	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝐶))
41	40	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)
44	9	sselda 4008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
45		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49	10, 45, 46, 47, 48	obsip 21764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	42, 43, 44, 49	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51		iffalse 4557	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53	50, 52	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
54	41, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
55	54	ralrimdva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
57	12, 56	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
58	10, 45, 46, 48, 18	elocv 21709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	58, 59	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
61	60	baib 535	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
62	13, 57, 61	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
63	55, 62	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
64	37, 63	impbid 212	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  ·_𝑖cip 17316  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  PreHilcphl 21665  ocvcocv 21701  OBasiscobs 21745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-rhm 20498  df-drng 20753  df-staf 20862  df-srng 20863  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lmhm 21044  df-lvec 21125  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-phl 21667  df-ocv 21704  df-obs 21748

This theorem is referenced by:  obs2ss  21772  obslbs  21773