Theorem obselocv 20935

Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obselocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obselocv	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obselocv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2	1	obsne0 20932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
3	2	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
4		elin 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
5		obsrcl 20930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6	5	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		phllmod 20835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	obsss 20931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12	11	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
13	9, 12	sstrd 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	10, 14	lspssid 20247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
16	8, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17	16	ssrind 4169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
18		obselocv.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
19	10, 18, 14	ocvlsp 20881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
20	6, 13, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
21	20	ineq2d 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	10, 22, 14	lspcl 20238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 13, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	18, 22, 1	ocvin 20879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
26	6, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
27	21, 26	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) = {(0g‘𝑊)})
28	17, 27	sseqtrd 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ {(0g‘𝑊)})
29	28	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
30	4, 29	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
31		elsni 4578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝐴 = (0g‘𝑊))
32	30, 31	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 = (0g‘𝑊)))
33	32	necon3ad 2956	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶))))
34	3, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
35		imnan 400	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
36	34, 35	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
37	36	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
38		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
39		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
40	38, 39	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝐶))
41	40	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43		simpl3 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)
44	9	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
45		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49	10, 45, 46, 47, 48	obsip 20928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	42, 43, 44, 49	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51		iffalse 4468	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53	50, 52	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
54	41, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
55	54	ralrimdva 3106	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
57	12, 56	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
58	10, 45, 46, 48, 18	elocv 20873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	58, 59	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
61	60	baib 536	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
62	13, 57, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
63	55, 62	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
64	37, 63	impbid 211	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  PreHilcphl 20829  ocvcocv 20865  OBasiscobs 20909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831  df-ocv 20868  df-obs 20912

This theorem is referenced by:  obs2ss  20936  obslbs  20937