Theorem obselocv 21780

Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obselocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obselocv	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obselocv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2	1	obsne0 21777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
3	2	3adant2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑊))
4		elin 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
5		obsrcl 21775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6	5	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		phllmod 21682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	obsss 21776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12	11	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
13	9, 12	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15	10, 14	lspssid 21052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
16	8, 13, 15	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17	16	ssrind 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
18		obselocv.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
19	10, 18, 14	ocvlsp 21728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
20	6, 13, 19	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( ⊥ ‘𝐶))
21	20	ineq2d 4172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)))
22		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	10, 22, 14	lspcl 21043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 13, 23	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	18, 22, 1	ocvin 21726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
26	6, 24, 25	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g‘𝑊)})
27	21, 26	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) = {(0g‘𝑊)})
28	17, 27	sseqtrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) ⊆ {(0g‘𝑊)})
29	28	sseld 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
30	4, 29	biimtrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)}))
31		elsni 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝐴 = (0g‘𝑊))
32	30, 31	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) → 𝐴 = (0g‘𝑊)))
33	32	necon3ad 2970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶))))
34	3, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
35		imnan 403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
36	34, 35	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
37	36	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
38		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
39		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
40	38, 39	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝐶))
41	40	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42		simpl1 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43		simpl3 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵)
44	9	sselda 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
45		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
46		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49	10, 45, 46, 47, 48	obsip 21773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	42, 43, 44, 49	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51		iffalse 4489	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53	50, 52	syl5ibcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
54	41, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
55	54	ralrimdva 3162	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56		simp3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
57	12, 56	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
58	10, 45, 46, 48, 18	elocv 21720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59		df-3an 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60	58, 59	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
61	60	baib 543	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
62	13, 57, 61	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐶 (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
63	55, 62	sylibrd 261	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶)))
64	37, 63	impbid 214	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ( ⊥ ‘𝐶) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ifcif 4480  {csn 4582  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Scalarcsca 17289  ·_𝑖cip 17291  0_gc0g 17468  1_rcur 20231  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998  LSpanclspn 21038  PreHilcphl 21676  ocvcocv 21712  OBasiscobs 21754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-ghm 19254  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-rhm 20521  df-drng 20781  df-staf 20888  df-srng 20889  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lmhm 21089  df-lvec 21170  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-phl 21678  df-ocv 21715  df-obs 21757

This theorem is referenced by:  obs2ss  21781  obslbs  21782