MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obselocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obselocv 20364
Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obselocv.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obselocv ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))

Proof of Theorem obselocv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
21obsne0 20361 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
323adant2 1161 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
4 elin 3960 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ↔ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
5 obsrcl 20359 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
653ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7 phllmod 20266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
10 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110obsss 20360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12113ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
139, 12sstrd 3773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1510, 14lspssid 19273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
168, 13, 15syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
1716ssrind 4001 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
18 obselocv.o . . . . . . . . . . . . . 14 = (ocv‘𝑊)
1910, 18, 14ocvlsp 20312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
206, 13, 19syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
2120ineq2d 3978 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
22 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2310, 22, 14lspcl 19264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
248, 13, 23syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2518, 22, 1ocvin 20310 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
266, 24, 25syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
2721, 26eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)) = {(0g𝑊)})
2817, 27sseqtrd 3803 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ {(0g𝑊)})
2928sseld 3762 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
304, 29syl5bir 234 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
31 elsni 4353 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {(0g𝑊)} → 𝐴 = (0g𝑊))
3230, 31syl6 35 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 = (0g𝑊)))
3332necon3ad 2950 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ≠ (0g𝑊) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶))))
343, 33mpd 15 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
35 imnan 388 . . . 4 ((𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)) ↔ ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3634, 35sylibr 225 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3736con2d 131 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) → ¬ 𝐴𝐶))
38 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
39 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴𝐶𝑥𝐶))
4038, 39syl5ibrcom 238 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐶))
4140con3d 149 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
42 simpl1 1242 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
43 simpl3 1246 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
449sselda 3763 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐵)
45 eqid 2765 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
46 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47 eqid 2765 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48 eqid 2765 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4910, 45, 46, 47, 48obsip 20357 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵𝑥𝐵) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5042, 43, 44, 49syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
51 iffalse 4254 . . . . . . 7 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5251eqeq2d 2775 . . . . . 6 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5350, 52syl5ibcom 236 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5441, 53syld 47 . . . 4 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5554ralrimdva 3116 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶 → ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
56 simp3 1168 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5712, 56sseldd 3764 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
5810, 45, 46, 48, 18elocv 20304 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
59 df-3an 1109 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6058, 59bitri 266 . . . . 5 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6160baib 531 . . . 4 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6213, 57, 61syl2anc 579 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6355, 62sylibrd 250 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
6437, 63impbid 203 1 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cin 3733  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336  cfv 6070  (class class class)co 6846  Basecbs 16146  Scalarcsca 16233  ·𝑖cip 16235  0gc0g 16382  1rcur 18784  LModclmod 19148  LSubSpclss 19217  LSpanclspn 19259  PreHilcphl 20260  ocvcocv 20296  OBasiscobs 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-plusg 16243  df-mulr 16244  df-sca 16246  df-vsca 16247  df-ip 16248  df-0g 16384  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-mhm 17617  df-grp 17708  df-minusg 17709  df-sbg 17710  df-ghm 17938  df-mgp 18773  df-ur 18785  df-ring 18832  df-oppr 18906  df-dvdsr 18924  df-unit 18925  df-rnghom 19000  df-drng 19034  df-staf 19130  df-srng 19131  df-lmod 19150  df-lss 19218  df-lsp 19260  df-lmhm 19310  df-lvec 19391  df-sra 19462  df-rgmod 19463  df-phl 20262  df-ocv 20299  df-obs 20341
This theorem is referenced by:  obs2ss  20365  obslbs  20366
  Copyright terms: Public domain W3C validator