Theorem onnmin 7825

Description: No member of a set of ordinal numbers belongs to its minimum. (Contributed by NM, 2-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
onnmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Proof of Theorem onnmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4971	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		ne0i 4350	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
4		oninton 7822	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3993	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
7		ontri1 6426	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3966  ∅c0 4342  ∩ cint 4954  Oncon0 6392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-br 5152  df-opab 5214  df-tr 5269  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-ord 6395  df-on 6396

This theorem is referenced by:  onnminsb  7826  oneqmin  7827  onmindif2  7834  cardmin2  10046  ackbij1lem18  10283  cofsmo  10316  fin23lem26  10372  lrrecfr  28002