Theorem onnmin 7731

Description: No member of a set of ordinal numbers belongs to its minimum. (Contributed by NM, 2-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
onnmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Proof of Theorem onnmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4913	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		ne0i 4291	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
4		oninton 7728	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3929	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
7		ontri1 6340	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ∩ cint 4897  Oncon0 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310

This theorem is referenced by:  onnminsb  7732  oneqmin  7733  onmindif2  7740  cardmin2  9889  ackbij1lem18  10124  cofsmo  10157  fin23lem26  10213  lrrecfr  27884