Theorem onnmin 7753

Description: No member of a set of ordinal numbers belongs to its minimum. (Contributed by NM, 2-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
onnmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Proof of Theorem onnmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4920	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		ne0i 4295	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
4		oninton 7750	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3930	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
7		ontri1 6359	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∩ cint 4904  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  onnminsb  7754  oneqmin  7755  onmindif2  7762  cardmin2  9923  ackbij1lem18  10158  cofsmo  10191  fin23lem26  10247  lrrecfr  27951  regsfromunir1  36689