Theorem onnmin 7777

Description: No member of a set of ordinal numbers belongs to its minimum. (Contributed by NM, 2-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
onnmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Proof of Theorem onnmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4920	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		ne0i 4293	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
4		oninton 7774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
7		ontri1 6376	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∩ cint 4904  Oncon0 6342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-ord 6345  df-on 6346

This theorem is referenced by:  onnminsb  7778  oneqmin  7779  onmindif2  7786  cardmin2  9954  ackbij1lem18  10189  cofsmo  10223  fin23lem26  10279  lrrecfr  28013  regsfromunir1  36864