MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lrrecfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lrrecfr 27775
Description: Now we show that 𝑅 is founded over No . (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lrrec.1 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
Assertion
Ref Expression
lrrecfr 𝑅 Fr No
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lrrecfr
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fr 5631 . 2 (𝑅 Fr No ↔ ∀𝑎((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ 𝑞𝑅𝑝))
2 bdayfun 27620 . . . . 5 Fun bday
3 imassrn 6070 . . . . . . 7 ( bday 𝑎) ⊆ ran bday
4 bdayrn 27623 . . . . . . 7 ran bday = On
53, 4sseqtri 4018 . . . . . 6 ( bday 𝑎) ⊆ On
6 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 ( bday 𝑞) ∈ V
76jctr 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝑎 → (𝑞𝑎 ∧ ( bday 𝑞) ∈ V))
87eximi 1836 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑞 𝑞𝑎 → ∃𝑞(𝑞𝑎 ∧ ( bday 𝑞) ∈ V))
9 n0 4346 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞𝑎)
10 df-rex 3070 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) ∈ V ↔ ∃𝑞(𝑞𝑎 ∧ ( bday 𝑞) ∈ V))
118, 9, 103imtr4i 292 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ≠ ∅ → ∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) ∈ V)
12 isset 3486 . . . . . . . . . . . . 13 (( bday 𝑞) ∈ V ↔ ∃𝑝 𝑝 = ( bday 𝑞))
13 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = ( bday 𝑞) ↔ ( bday 𝑞) = 𝑝)
1413exbii 1849 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑝 𝑝 = ( bday 𝑞) ↔ ∃𝑝( bday 𝑞) = 𝑝)
1512, 14bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (( bday 𝑞) ∈ V ↔ ∃𝑝( bday 𝑞) = 𝑝)
1615rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) ∈ V ↔ ∃𝑞𝑎𝑝( bday 𝑞) = 𝑝)
17 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑞𝑎𝑝( bday 𝑞) = 𝑝 ↔ ∃𝑝𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝)
1816, 17bitri 275 . . . . . . . . . 10 (∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) ∈ V ↔ ∃𝑝𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝)
1911, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑎 ≠ ∅ → ∃𝑝𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝)
21 bdayfn 27621 . . . . . . . . . . 11 bday Fn No
22 fvelimab 6964 . . . . . . . . . . 11 (( bday Fn No 𝑎 No ) → (𝑝 ∈ ( bday 𝑎) ↔ ∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝))
2321, 22mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑎 No → (𝑝 ∈ ( bday 𝑎) ↔ ∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝))
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ( bday 𝑎) ↔ ∃𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝))
2524exbidv 1923 . . . . . . . 8 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → (∃𝑝 𝑝 ∈ ( bday 𝑎) ↔ ∃𝑝𝑞𝑎 ( bday 𝑞) = 𝑝))
2620, 25mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝 𝑝 ∈ ( bday 𝑎))
27 n0 4346 . . . . . . 7 (( bday 𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ ( bday 𝑎))
2826, 27sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ( bday 𝑎) ≠ ∅)
29 onint 7782 . . . . . 6 ((( bday 𝑎) ⊆ On ∧ ( bday 𝑎) ≠ ∅) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝑎))
305, 28, 29sylancr 586 . . . . 5 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝑎))
31 fvelima 6957 . . . . 5 ((Fun bday ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝑎)) → ∃𝑝𝑎 ( bday 𝑝) = ( bday 𝑎))
322, 30, 31sylancr 586 . . . 4 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝𝑎 ( bday 𝑝) = ( bday 𝑎))
33 fnfvima 7237 . . . . . . . . . 10 (( bday Fn No 𝑎 No 𝑞𝑎) → ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
3421, 33mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑎 No 𝑞𝑎) → ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
3534adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ 𝑞𝑎) → ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
36 onnmin 7790 . . . . . . . 8 ((( bday 𝑎) ⊆ On ∧ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎)) → ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
375, 35, 36sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ 𝑞𝑎) → ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
3837ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∀𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎))
39 eleq2 2821 . . . . . . . 8 (( bday 𝑝) = ( bday 𝑎) → (( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝) ↔ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎)))
4039notbid 318 . . . . . . 7 (( bday 𝑝) = ( bday 𝑎) → (¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝) ↔ ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎)))
4140ralbidv 3176 . . . . . 6 (( bday 𝑝) = ( bday 𝑎) → (∀𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝) ↔ ∀𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑎)))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → (( bday 𝑝) = ( bday 𝑎) → ∀𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
4342reximdv 3169 . . . 4 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → (∃𝑝𝑎 ( bday 𝑝) = ( bday 𝑎) → ∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
4432, 43mpd 15 . . 3 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝))
45 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → 𝑎 No )
46 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → 𝑞𝑎)
4745, 46sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → 𝑞 No )
48 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → 𝑝𝑎)
4945, 48sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → 𝑝 No )
50 lrrec.1 . . . . . . . . 9 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
5150lrrecval2 27772 . . . . . . . 8 ((𝑞 No 𝑝 No ) → (𝑞𝑅𝑝 ↔ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5247, 49, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → (𝑞𝑅𝑝 ↔ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5352notbid 318 . . . . . 6 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ (𝑝𝑎𝑞𝑎)) → (¬ 𝑞𝑅𝑝 ↔ ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5453anassrs 467 . . . . 5 ((((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑎) ∧ 𝑞𝑎) → (¬ 𝑞𝑅𝑝 ↔ ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5554ralbidva 3174 . . . 4 (((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑎) → (∀𝑞𝑎 ¬ 𝑞𝑅𝑝 ↔ ∀𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5655rexbidva 3175 . . 3 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → (∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ 𝑞𝑅𝑝 ↔ ∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ ( bday 𝑞) ∈ ( bday 𝑝)))
5744, 56mpbird 257 . 2 ((𝑎 No 𝑎 ≠ ∅) → ∃𝑝𝑎𝑞𝑎 ¬ 𝑞𝑅𝑝)
581, 57mpgbir 1800 1 𝑅 Fr No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cun 3946  wss 3948  c0 4322   cint 4950   class class class wbr 5148  {copab 5210   Fr wfr 5628  ran crn 5677  cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543   No csur 27488   bday cbday 27490   L cleft 27687   R cright 27688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693
This theorem is referenced by:  noinds  27777  norecfn  27778  norecov  27779  noxpordfr  27783  no2indslem  27786  no3inds  27790
  Copyright terms: Public domain W3C validator