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Theorem ackbij1lem18 10234
Description: Lemma for ackbij1 10235. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑏,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4130 . . . 4 (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴
2 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
32ackbij1lem11 10227 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
41, 3mpan2 687 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
5 difss 4130 . . . . . . 7 (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰
6 omsson 7861 . . . . . . 7 Ο‰ βŠ† On
75, 6sstri 3990 . . . . . 6 (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On
8 ominf 9260 . . . . . . . 8 Β¬ Ο‰ ∈ Fin
9 elinel2 4195 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
10 difinf 9318 . . . . . . . 8 ((Β¬ Ο‰ ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
12 0fin 9173 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
13 eleq1 2819 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ βˆ– 𝐴) = βˆ… β†’ ((Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin ↔ βˆ… ∈ Fin))
1412, 13mpbiri 257 . . . . . . . 8 ((Ο‰ βˆ– 𝐴) = βˆ… β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
1514necon3bi 2965 . . . . . . 7 (Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…)
1611, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…)
17 onint 7780 . . . . . 6 (((Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On ∧ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
187, 16, 17sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
1918eldifad 3959 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰)
20 ackbij1lem4 10220 . . . 4 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
22 ackbij1lem6 10222 . . 3 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
234, 21, 22syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2418eldifbd 3960 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ Β¬ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ 𝐴)
25 disjsn 4714 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ… ↔ Β¬ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ 𝐴)
2624, 25sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
27 ssdisj 4458 . . . . 5 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
281, 26, 27sylancr 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
292ackbij1lem9 10225 . . . 4 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})))
304, 21, 28, 29syl3anc 1369 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})))
312ackbij1lem14 10230 . . . . 5 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
3219, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
3332oveq2d 7427 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
342ackbij1lem10 10226 . . . . . . 7 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
3534ffvelcdmi 7084 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰)
37 ackbij1lem3 10219 . . . . . . 7 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
3819, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
3934ffvelcdmi 7084 . . . . . 6 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
41 nnasuc 8608 . . . . 5 (((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
4236, 40, 41syl2anc 582 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
43 disjdifr 4471 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…)
452ackbij1lem9 10225 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
464, 38, 44, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
47 uncom 4152 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
48 onnmin 7788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On ∧ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
497, 48mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
5049con2i 139 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
52 ordom 7867 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord Ο‰
53 ordelss 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord Ο‰ ∧ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰)
5452, 19, 53sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰)
5554sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ Ο‰)
56 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ Β¬ π‘Ž ∈ 𝐴))
5756simplbi2 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
5857orrd 859 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∨ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
5958orcomd 867 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴))
61 orel1 885 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴))
6251, 60, 61sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
6362ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴))
6463ssrdv 3987 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐴)
65 undif 4480 . . . . . . . . 9 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐴 ↔ (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = 𝐴)
6664, 65sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = 𝐴)
6747, 66eqtrid 2782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄))
6946, 68eqtr3d 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄))
70 suceq 6429 . . . . 5 (((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄) β†’ suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7169, 70syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7242, 71eqtrd 2770 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7330, 33, 723eqtrd 2774 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄))
74 fveqeq2 6899 . . 3 (𝑏 = ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄)))
7574rspcev 3611 . 2 ((((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
7623, 73, 75syl2anc 582 1 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆ© cint 4949  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   +o coa 8465  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  ackbij1  10235
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