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Theorem ackbij1lem18 10273
Description: Lemma for ackbij1 10274. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)(𝐹𝑏) = suc (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4145 . . . 4 (𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ⊆ 𝐴
2 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
32ackbij1lem11 10266 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ⊆ 𝐴) → (𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
41, 3mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
5 difss 4145 . . . . . . 7 (ω ∖ 𝐴) ⊆ ω
6 omsson 7890 . . . . . . 7 ω ⊆ On
75, 6sstri 4004 . . . . . 6 (ω ∖ 𝐴) ⊆ On
8 ominf 9291 . . . . . . . 8 ¬ ω ∈ Fin
9 elinel2 4211 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 difinf 9346 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (ω ∖ 𝐴) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ¬ (ω ∖ 𝐴) ∈ Fin)
12 0fi 9080 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
13 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 ((ω ∖ 𝐴) = ∅ → ((ω ∖ 𝐴) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1412, 13mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((ω ∖ 𝐴) = ∅ → (ω ∖ 𝐴) ∈ Fin)
1514necon3bi 2964 . . . . . . 7 (¬ (ω ∖ 𝐴) ∈ Fin → (ω ∖ 𝐴) ≠ ∅)
1611, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ≠ ∅)
17 onint 7809 . . . . . 6 (((ω ∖ 𝐴) ⊆ On ∧ (ω ∖ 𝐴) ≠ ∅) → (ω ∖ 𝐴) ∈ (ω ∖ 𝐴))
187, 16, 17sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ∈ (ω ∖ 𝐴))
1918eldifad 3974 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ∈ ω)
20 ackbij1lem4 10259 . . . 4 ( (ω ∖ 𝐴) ∈ ω → { (ω ∖ 𝐴)} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → { (ω ∖ 𝐴)} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22 ackbij1lem6 10261 . . 3 (((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ { (ω ∖ 𝐴)} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)}) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
234, 21, 22syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)}) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
2418eldifbd 3975 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ¬ (ω ∖ 𝐴) ∈ 𝐴)
25 disjsn 4715 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅ ↔ ¬ (ω ∖ 𝐴) ∈ 𝐴)
2624, 25sylibr 234 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐴 ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅)
27 ssdisj 4465 . . . . 5 (((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅)
281, 26, 27sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅)
292ackbij1lem9 10264 . . . 4 (((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ { (ω ∖ 𝐴)} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ { (ω ∖ 𝐴)}) = ∅) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)})) = ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹‘{ (ω ∖ 𝐴)})))
304, 21, 28, 29syl3anc 1370 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)})) = ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹‘{ (ω ∖ 𝐴)})))
312ackbij1lem14 10269 . . . . 5 ( (ω ∖ 𝐴) ∈ ω → (𝐹‘{ (ω ∖ 𝐴)}) = suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴)))
3219, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘{ (ω ∖ 𝐴)}) = suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴)))
3332oveq2d 7446 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹‘{ (ω ∖ 𝐴)})) = ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴))))
342ackbij1lem10 10265 . . . . . . 7 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3534ffvelcdmi 7102 . . . . . 6 ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) ∈ ω)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) ∈ ω)
37 ackbij1lem3 10258 . . . . . . 7 ( (ω ∖ 𝐴) ∈ ω → (ω ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3819, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3934ffvelcdmi 7102 . . . . . 6 ( (ω ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹 (ω ∖ 𝐴)) ∈ ω)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹 (ω ∖ 𝐴)) ∈ ω)
41 nnasuc 8642 . . . . 5 (((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) ∈ ω ∧ (𝐹 (ω ∖ 𝐴)) ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = suc ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))))
4236, 40, 41syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = suc ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))))
43 disjdifr 4478 . . . . . . . 8 ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ (ω ∖ 𝐴)) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ (ω ∖ 𝐴)) = ∅)
452ackbij1lem9 10264 . . . . . . 7 (((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (ω ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∩ (ω ∖ 𝐴)) = ∅) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ (ω ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))))
464, 38, 44, 45syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ (ω ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))))
47 uncom 4167 . . . . . . . 8 ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ (ω ∖ 𝐴)) = ( (ω ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 (ω ∖ 𝐴)))
48 onnmin 7817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ω ∖ 𝐴) ⊆ On ∧ 𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑎 (ω ∖ 𝐴))
497, 48mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) → ¬ 𝑎 (ω ∖ 𝐴))
5049con2i 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 (ω ∖ 𝐴) → ¬ 𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑎 (ω ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴))
52 ordom 7896 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord ω
53 ordelss 6401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord ω ∧ (ω ∖ 𝐴) ∈ ω) → (ω ∖ 𝐴) ⊆ ω)
5452, 19, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ⊆ ω)
5554sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑎 (ω ∖ 𝐴)) → 𝑎 ∈ ω)
56 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ ω ∧ ¬ 𝑎𝐴))
5756simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ω → (¬ 𝑎𝐴𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴)))
5857orrd 863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ω → (𝑎𝐴𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴)))
5958orcomd 871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ω → (𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∨ 𝑎𝐴))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑎 (ω ∖ 𝐴)) → (𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∨ 𝑎𝐴))
61 orel1 888 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) → ((𝑎 ∈ (ω ∖ 𝐴) ∨ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴))
6251, 60, 61sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑎 (ω ∖ 𝐴)) → 𝑎𝐴)
6362ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝑎 (ω ∖ 𝐴) → 𝑎𝐴))
6463ssrdv 4000 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (ω ∖ 𝐴) ⊆ 𝐴)
65 undif 4487 . . . . . . . . 9 ( (ω ∖ 𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ( (ω ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 (ω ∖ 𝐴))) = 𝐴)
6664, 65sylib 218 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ( (ω ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 (ω ∖ 𝐴))) = 𝐴)
6747, 66eqtrid 2786 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ (ω ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6867fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ (ω ∖ 𝐴))) = (𝐹𝐴))
6946, 68eqtr3d 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = (𝐹𝐴))
70 suceq 6451 . . . . 5 (((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = (𝐹𝐴) → suc ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = suc (𝐹𝐴))
7169, 70syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → suc ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = suc (𝐹𝐴))
7242, 71eqtrd 2774 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ((𝐹‘(𝐴 (ω ∖ 𝐴))) +o suc (𝐹 (ω ∖ 𝐴))) = suc (𝐹𝐴))
7330, 33, 723eqtrd 2778 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)})) = suc (𝐹𝐴))
74 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑏 = ((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)}) → ((𝐹𝑏) = suc (𝐹𝐴) ↔ (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)})) = suc (𝐹𝐴)))
7574rspcev 3621 . 2 ((((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)}) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐹‘((𝐴 (ω ∖ 𝐴)) ∪ { (ω ∖ 𝐴)})) = suc (𝐹𝐴)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)(𝐹𝑏) = suc (𝐹𝐴))
7623, 73, 75syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)(𝐹𝑏) = suc (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cint 4950   ciun 4995  cmpt 5230   × cxp 5686  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886   +o coa 8501  Fincfn 8983  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976
This theorem is referenced by:  ackbij1  10274
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