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Theorem ackbij1lem18 10235
Description: Lemma for ackbij1 10236. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑏,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4132 . . . 4 (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴
2 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
32ackbij1lem11 10228 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
41, 3mpan2 688 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
5 difss 4132 . . . . . . 7 (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰
6 omsson 7862 . . . . . . 7 Ο‰ βŠ† On
75, 6sstri 3992 . . . . . 6 (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On
8 ominf 9261 . . . . . . . 8 Β¬ Ο‰ ∈ Fin
9 elinel2 4197 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
10 difinf 9319 . . . . . . . 8 ((Β¬ Ο‰ ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
12 0fin 9174 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
13 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ βˆ– 𝐴) = βˆ… β†’ ((Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin ↔ βˆ… ∈ Fin))
1412, 13mpbiri 257 . . . . . . . 8 ((Ο‰ βˆ– 𝐴) = βˆ… β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin)
1514necon3bi 2966 . . . . . . 7 (Β¬ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Fin β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…)
1611, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…)
17 onint 7781 . . . . . 6 (((Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On ∧ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β‰  βˆ…) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
187, 16, 17sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
1918eldifad 3961 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰)
20 ackbij1lem4 10221 . . . 4 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
22 ackbij1lem6 10223 . . 3 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
234, 21, 22syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2418eldifbd 3962 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ Β¬ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ 𝐴)
25 disjsn 4716 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ… ↔ Β¬ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ 𝐴)
2624, 25sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
27 ssdisj 4460 . . . . 5 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
281, 26, 27sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…)
292ackbij1lem9 10226 . . . 4 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})))
304, 21, 28, 29syl3anc 1370 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})))
312ackbij1lem14 10231 . . . . 5 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
3219, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) = suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
3332oveq2d 7428 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜{∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
342ackbij1lem10 10227 . . . . . . 7 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
3534ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰)
37 ackbij1lem3 10220 . . . . . . 7 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰ β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
3819, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
3934ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
41 nnasuc 8609 . . . . 5 (((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
4236, 40, 41syl2anc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
43 disjdifr 4473 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…)
452ackbij1lem9 10226 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) ∩ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
464, 38, 44, 45syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))))
47 uncom 4154 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
48 onnmin 7789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† On ∧ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
497, 48mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
5049con2i 139 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴))
52 ordom 7868 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord Ο‰
53 ordelss 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord Ο‰ ∧ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∈ Ο‰) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰)
5452, 19, 53sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† Ο‰)
5554sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ Ο‰)
56 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ Β¬ π‘Ž ∈ 𝐴))
5756simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
5857orrd 860 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∨ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴)))
5958orcomd 868 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴))
61 orel1 886 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘Ž ∈ (Ο‰ βˆ– 𝐴) ∨ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴))
6251, 60, 61sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
6362ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (π‘Ž ∈ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴))
6463ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐴)
65 undif 4482 . . . . . . . . 9 (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐴 ↔ (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = 𝐴)
6664, 65sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴) βˆͺ (𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = 𝐴)
6747, 66eqtrid 2783 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄))
6946, 68eqtr3d 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄))
70 suceq 6431 . . . . 5 (((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΄) β†’ suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7169, 70syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ suc ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7242, 71eqtrd 2771 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴))) +o suc (πΉβ€˜βˆ© (Ο‰ βˆ– 𝐴))) = suc (πΉβ€˜π΄))
7330, 33, 723eqtrd 2775 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄))
74 fveqeq2 6901 . . 3 (𝑏 = ((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄)))
7574rspcev 3613 . 2 ((((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)}) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (πΉβ€˜((𝐴 βˆ– ∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)) βˆͺ {∩ (Ο‰ βˆ– 𝐴)})) = suc (πΉβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
7623, 73, 75syl2anc 583 1 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘) = suc (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆ© cint 4951  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858   +o coa 8466  Fincfn 8942  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937
This theorem is referenced by:  ackbij1  10236
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