MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmindif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmindif2 7827
Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
onmindif2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4786 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 𝐴))
2 onnmin 7818 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
32adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
4 oninton 7815 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 ssel2 3978 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
65adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7 ontri1 6418 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝐴))
8 onsseleq 6425 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
97, 8bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
104, 6, 9syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
113, 10mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
1211ord 865 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
13 eqcom 2744 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝑥𝑥 = 𝐴)
1412, 13imbitrdi 251 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 = 𝐴))
1514necon1ad 2957 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
1615expimpd 453 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥𝐴𝑥 𝐴) → 𝐴𝑥))
171, 16biimtrid 242 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) → 𝐴𝑥))
1817ralrimiv 3145 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥)
19 intex 5344 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
20 elintg 4954 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2119, 20sylbi 217 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2221adantl 481 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2318, 22mpbird 257 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cint 4946  Oncon0 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator