Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmindif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmindif2 7507
 Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
onmindif2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4680 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 𝐴))
2 onnmin 7498 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
32adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
4 oninton 7495 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 ssel2 3910 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7 ontri1 6193 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝐴))
8 onsseleq 6200 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
97, 8bitr3d 284 . . . . . . . . . 10 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
104, 6, 9syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
113, 10mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
1211ord 861 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
13 eqcom 2805 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝑥𝑥 = 𝐴)
1412, 13syl6ib 254 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 = 𝐴))
1514necon1ad 3004 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
1615expimpd 457 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥𝐴𝑥 𝐴) → 𝐴𝑥))
171, 16syl5bi 245 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) → 𝐴𝑥))
1817ralrimiv 3148 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥)
19 intex 5204 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
20 elintg 4846 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2119, 20sylbi 220 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2221adantl 485 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2318, 22mpbird 260 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ∩ cint 4838  Oncon0 6159 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator