MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmindif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmindif2 7747
Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
onmindif2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4752 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 𝐴))
2 onnmin 7738 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
32adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
4 oninton 7735 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 ssel2 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7 ontri1 6356 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝐴))
8 onsseleq 6363 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
97, 8bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
104, 6, 9syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑥 𝐴 ↔ ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥)))
113, 10mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ( 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
1211ord 863 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥 𝐴 = 𝑥))
13 eqcom 2744 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝑥𝑥 = 𝐴)
1412, 13syl6ib 251 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 = 𝐴))
1514necon1ad 2961 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
1615expimpd 455 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥𝐴𝑥 𝐴) → 𝐴𝑥))
171, 16biimtrid 241 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) → 𝐴𝑥))
1817ralrimiv 3143 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥)
19 intex 5299 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
20 elintg 4920 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2119, 20sylbi 216 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2221adantl 483 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ { 𝐴}) 𝐴𝑥))
2318, 22mpbird 257 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 (𝐴 ∖ { 𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3448  cdif 3912  wss 3915  c0 4287  {csn 4591   cint 4912  Oncon0 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator