Theorem onmindif2 7795

Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onmindif2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴))
2		onnmin 7786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
3	2	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
4		oninton 7783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		ssel2 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7		ontri1 6399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
8		onsseleq 6406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
9	7, 8	bitr3d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
10	4, 6, 9	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
11	3, 10	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥))
12	11	ord 863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → ∩ 𝐴 = 𝑥))
13		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = 𝑥 ↔ 𝑥 = ∩ 𝐴)
14	12, 13	imbitrdi 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 = ∩ 𝐴))
15	14	necon1ad 2958	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∩ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
16	15	expimpd 455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
17	1, 16	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
18	17	ralrimiv 3146	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥)
19		intex 5338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
20		elintg 4959	. . . 4 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
21	19, 20	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
22	21	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
23	18, 22	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629  ∩ cint 4951  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by: (None)