Theorem ontri1 6396

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6372	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6395	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  Ord word 6361  Oncon0 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is referenced by:  oneqmini  6414  onmindif  6454  onint  7775  onnmin  7783  onmindif2  7792  dfom2  7854  ondif2  8499  oaword  8546  oawordeulem  8551  oaf1o  8560  odi  8576  omeulem1  8579  oeeulem  8598  oeeui  8599  nnmword  8630  cofonr  8670  naddel1  8683  naddss1  8685  domtriord  9120  sdomel  9121  onsdominel  9123  ordunifi  9290  cantnfp1lem3  9672  oemapvali  9676  cantnflem1b  9678  cantnflem1  9681  cnfcom3lem  9695  rankr1clem  9812  rankelb  9816  rankval3b  9818  rankr1a  9828  unbndrank  9834  rankxplim3  9873  cardne  9957  carden2b  9959  cardsdomel  9966  carddom2  9969  harcard  9970  domtri2  9981  infxpenlem  10005  alephord  10067  alephord3  10070  alephle  10080  dfac12k  10139  cflim2  10255  cofsmo  10261  cfsmolem  10262  isf32lem5  10349  pwcfsdom  10575  pwfseqlem3  10652  inar1  10767  om2uzlt2i  13913  sltval2  27149  sltres  27155  nosepssdm  27179  nolt02olem  27187  nolt02o  27188  nogt01o  27189  noetasuplem4  27229  noetainflem4  27233  nocvxminlem  27269  madebdaylemlrcut  27383  nummin  34083  onsuct0  35315  onint1  35323  onmaxnelsup  41958  onsupnmax  41963  onsupuni  41964  oninfint  41971  onsupmaxb  41974  onsupeqnmax  41982  oe0suclim  42013  cantnfresb  42060  cantnf2  42061  tfsconcatfv  42077  tfsnfin  42088  oadif1lem  42115  oadif1  42116  naddwordnexlem4  42138  ontric3g  42259  infordmin  42269  minregex  42271  alephiso3  42296