Theorem ontri1 6285

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6261	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6284	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  Ord word 6250  Oncon0 6251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255

This theorem is referenced by:  oneqmini  6302  onmindif  6340  onint  7617  onnmin  7625  onmindif2  7634  dfom2  7689  ondif2  8294  oaword  8342  oawordeulem  8347  oaf1o  8356  odi  8372  omeulem1  8375  oeeulem  8394  oeeui  8395  nnmword  8426  domtriord  8859  sdomel  8860  onsdominel  8862  ordunifi  8994  cantnfp1lem3  9368  oemapvali  9372  cantnflem1b  9374  cantnflem1  9377  cnfcom3lem  9391  rankr1clem  9509  rankelb  9513  rankval3b  9515  rankr1a  9525  unbndrank  9531  rankxplim3  9570  cardne  9654  carden2b  9656  cardsdomel  9663  carddom2  9666  harcard  9667  domtri2  9678  infxpenlem  9700  alephord  9762  alephord3  9765  alephle  9775  dfac12k  9834  cflim2  9950  cofsmo  9956  cfsmolem  9957  isf32lem5  10044  pwcfsdom  10270  pwfseqlem3  10347  inar1  10462  om2uzlt2i  13599  nummin  32963  naddel1  33766  naddss1  33768  sltval2  33786  sltres  33792  nosepssdm  33816  nolt02olem  33824  nolt02o  33825  nogt01o  33826  noetasuplem4  33866  noetainflem4  33870  nocvxminlem  33899  madebdaylemlrcut  34006  onsuct0  34557  onint1  34565  ontric3g  41027  infordmin  41037  alephiso3  41055