MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ontri1 5977
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 5953 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 eloni 5953 . 2 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordtri1 5976 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2an 585 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2157  wss 3776  Ord word 5942  Oncon0 5943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pr 5103
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-tr 4954  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-ord 5946  df-on 5947
This theorem is referenced by:  oneqmini  5995  onmindif  6033  onint  7228  onnmin  7236  onmindif2  7245  dfom2  7300  ondif2  7822  oaword  7869  oawordeulem  7874  oaf1o  7883  odi  7899  omeulem1  7902  oeeulem  7921  oeeui  7922  nnmword  7953  domtriord  8348  sdomel  8349  onsdominel  8351  ordunifi  8452  cantnfp1lem3  8827  oemapvali  8831  cantnflem1b  8833  cantnflem1  8836  cnfcom3lem  8850  rankr1clem  8933  rankelb  8937  rankval3b  8939  rankr1a  8949  unbndrank  8955  rankxplim3  8994  cardne  9077  carden2b  9079  cardsdomel  9086  carddom2  9089  harcard  9090  domtri2  9101  infxpenlem  9122  alephord  9184  alephord3  9187  alephle  9197  dfac12k  9257  cflim2  9373  cofsmo  9379  cfsmolem  9380  isf32lem5  9467  pwcfsdom  9693  pwfseqlem3  9770  inar1  9885  om2uzlt2i  12977  sltval2  32135  sltres  32141  nosepssdm  32162  nolt02olem  32170  nolt02o  32171  noetalem3  32191  nocvxminlem  32219  onsuct0  32762  onint1  32770
  Copyright terms: Public domain W3C validator