Theorem ontri1 6396

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6395	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  Ord word 6360  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  oneqmini  6415  onmindif  6456  onint  7792  onnmin  7800  onmindif2  7809  dfom2  7867  ondif2  8492  oaword  8539  oawordeulem  8544  oaf1o  8553  odi  8569  omeulem1  8572  oeeulem  8592  oeeui  8593  nnmword  8624  cofonr  8665  naddel1  8679  naddss1  8681  domtriord  9124  sdomel  9125  onsdominel  9127  ordunifi  9263  cantnfp1lem3  9662  oemapvali  9666  cantnflem1b  9668  cantnflem1  9671  cnfcom3lem  9685  rankr1clem  9805  rankelb  9809  rankval3b  9811  rankr1a  9821  unbndrank  9827  rankxplim3  9866  cardne  9973  carden2b  9975  cardsdomel  9982  carddom2  9985  harcard  9986  domtri2  9997  infxpenlem  10019  alephord  10081  alephord3  10084  alephle  10094  dfac12k  10153  cflim2  10268  cofsmo  10274  cfsmolem  10275  isf32lem5  10362  pwcfsdom  10595  pwfseqlem3  10672  inar1  10787  om2uzlt2i  14017  ltsval2  27890  ltsres  27896  nosepssdm  27920  nolt02olem  27928  nolt02o  27929  nogt01o  27930  noetasuplem4  27970  noetainflem4  27974  nocvxminlem  28017  madebdaylemlrcut  28162  oncutlt  28527  onnolt  28529  onles  28531  oniso  28534  om2noseqlt2  28563  bdaypw2bnd  28728  bdayfinbndlem1  28730  nummin  35585  vonf1wev  35692  vonf1owevOLD  35694  ltnmul  36783  nmulle  36784  ltnadd  36785  naddle  36786  onsuct0  37047  onint1  37055  onmaxnelsup  44051  onsupnmax  44056  onsupuni  44057  oninfint  44064  onsupmaxb  44067  onsupeqnmax  44075  oe0suclim  44105  cantnfresb  44152  cantnf2  44153  tfsconcatfv  44169  tfsnfin  44180  oadif1lem  44207  oadif1  44208  naddwordnexlem4  44229  ontric3g  44349  infordmin  44359  minregex  44361  alephiso3  44386  hashnnltb  45833