Theorem ontri1 6247

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6223	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6246	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  Ord word 6212  Oncon0 6213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-11 2158  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-ord 6216  df-on 6217

This theorem is referenced by:  oneqmini  6264  onmindif  6302  onint  7574  onnmin  7582  onmindif2  7591  dfom2  7646  ondif2  8229  oaword  8277  oawordeulem  8282  oaf1o  8291  odi  8307  omeulem1  8310  oeeulem  8329  oeeui  8330  nnmword  8361  domtriord  8792  sdomel  8793  onsdominel  8795  ordunifi  8921  cantnfp1lem3  9295  oemapvali  9299  cantnflem1b  9301  cantnflem1  9304  cnfcom3lem  9318  rankr1clem  9436  rankelb  9440  rankval3b  9442  rankr1a  9452  unbndrank  9458  rankxplim3  9497  cardne  9581  carden2b  9583  cardsdomel  9590  carddom2  9593  harcard  9594  domtri2  9605  infxpenlem  9627  alephord  9689  alephord3  9692  alephle  9702  dfac12k  9761  cflim2  9877  cofsmo  9883  cfsmolem  9884  isf32lem5  9971  pwcfsdom  10197  pwfseqlem3  10274  inar1  10389  om2uzlt2i  13524  nummin  32776  naddel1  33576  naddss1  33578  sltval2  33596  sltres  33602  nosepssdm  33626  nolt02olem  33634  nolt02o  33635  nogt01o  33636  noetasuplem4  33676  noetainflem4  33680  nocvxminlem  33709  madebdaylemlrcut  33816  onsuct0  34367  onint1  34375  ontric3g  40814  infordmin  40824  alephiso3  40842