Theorem ontri1 6399

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6375	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6398	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  Ord word 6364  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by:  oneqmini  6417  onmindif  6457  onint  7778  onnmin  7786  onmindif2  7795  dfom2  7857  ondif2  8502  oaword  8549  oawordeulem  8554  oaf1o  8563  odi  8579  omeulem1  8582  oeeulem  8601  oeeui  8602  nnmword  8633  cofonr  8673  naddel1  8686  naddss1  8688  domtriord  9123  sdomel  9124  onsdominel  9126  ordunifi  9293  cantnfp1lem3  9675  oemapvali  9679  cantnflem1b  9681  cantnflem1  9684  cnfcom3lem  9698  rankr1clem  9815  rankelb  9819  rankval3b  9821  rankr1a  9831  unbndrank  9837  rankxplim3  9876  cardne  9960  carden2b  9962  cardsdomel  9969  carddom2  9972  harcard  9973  domtri2  9984  infxpenlem  10008  alephord  10070  alephord3  10073  alephle  10083  dfac12k  10142  cflim2  10258  cofsmo  10264  cfsmolem  10265  isf32lem5  10352  pwcfsdom  10578  pwfseqlem3  10655  inar1  10770  om2uzlt2i  13916  sltval2  27159  sltres  27165  nosepssdm  27189  nolt02olem  27197  nolt02o  27198  nogt01o  27199  noetasuplem4  27239  noetainflem4  27243  nocvxminlem  27279  madebdaylemlrcut  27394  nummin  34125  onsuct0  35374  onint1  35382  onmaxnelsup  42020  onsupnmax  42025  onsupuni  42026  oninfint  42033  onsupmaxb  42036  onsupeqnmax  42044  oe0suclim  42075  cantnfresb  42122  cantnf2  42123  tfsconcatfv  42139  tfsnfin  42150  oadif1lem  42177  oadif1  42178  naddwordnexlem4  42200  ontric3g  42321  infordmin  42331  minregex  42333  alephiso3  42358