Theorem ontri1 6300

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6276	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6299	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  Ord word 6265  Oncon0 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270

This theorem is referenced by:  oneqmini  6317  onmindif  6355  onint  7640  onnmin  7648  onmindif2  7657  dfom2  7714  ondif2  8332  oaword  8380  oawordeulem  8385  oaf1o  8394  odi  8410  omeulem1  8413  oeeulem  8432  oeeui  8433  nnmword  8464  domtriord  8910  sdomel  8911  onsdominel  8913  ordunifi  9064  cantnfp1lem3  9438  oemapvali  9442  cantnflem1b  9444  cantnflem1  9447  cnfcom3lem  9461  rankr1clem  9578  rankelb  9582  rankval3b  9584  rankr1a  9594  unbndrank  9600  rankxplim3  9639  cardne  9723  carden2b  9725  cardsdomel  9732  carddom2  9735  harcard  9736  domtri2  9747  infxpenlem  9769  alephord  9831  alephord3  9834  alephle  9844  dfac12k  9903  cflim2  10019  cofsmo  10025  cfsmolem  10026  isf32lem5  10113  pwcfsdom  10339  pwfseqlem3  10416  inar1  10531  om2uzlt2i  13671  nummin  33063  naddel1  33839  naddss1  33841  sltval2  33859  sltres  33865  nosepssdm  33889  nolt02olem  33897  nolt02o  33898  nogt01o  33899  noetasuplem4  33939  noetainflem4  33943  nocvxminlem  33972  madebdaylemlrcut  34079  onsuct0  34630  onint1  34638  ontric3g  41129  infordmin  41139  minregex  41141  alephiso3  41166