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Theorem fin23lem26 9347
Description: Lemma for fin23lem22 9349. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem26 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem26
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4790 . . . 4 (𝑖 = ∅ → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆) ≈ ∅))
21rexbidv 3200 . . 3 (𝑖 = ∅ → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ ∅))
3 breq2 4790 . . . 4 (𝑖 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎))
43rexbidv 3200 . . 3 (𝑖 = 𝑎 → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑎))
5 breq2 4790 . . . 4 (𝑖 = suc 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎))
65rexbidv 3200 . . 3 (𝑖 = suc 𝑎 → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎))
7 ordom 7219 . . . . . 6 Ord ω
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → Ord ω)
9 simpl 468 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ⊆ ω)
10 0fin 8342 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
11 eleq1 2838 . . . . . . . 8 (𝑆 = ∅ → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1210, 11mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ Fin)
1312necon3bi 2969 . . . . . 6 𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ≠ ∅)
1413adantl 467 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≠ ∅)
15 tz7.5 5885 . . . . 5 ((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆 (𝑆𝑗) = ∅)
168, 9, 14, 15syl3anc 1476 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗𝑆 (𝑆𝑗) = ∅)
17 en0 8170 . . . . . 6 ((𝑗𝑆) ≈ ∅ ↔ (𝑗𝑆) = ∅)
18 incom 3956 . . . . . . 7 (𝑗𝑆) = (𝑆𝑗)
1918eqeq1i 2776 . . . . . 6 ((𝑗𝑆) = ∅ ↔ (𝑆𝑗) = ∅)
2017, 19bitri 264 . . . . 5 ((𝑗𝑆) ≈ ∅ ↔ (𝑆𝑗) = ∅)
2120rexbii 3189 . . . 4 (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ ∅ ↔ ∃𝑗𝑆 (𝑆𝑗) = ∅)
2216, 21sylibr 224 . . 3 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ ∅)
23 simplrl 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑆 ⊆ ω)
24 omsson 7214 . . . . . . . . . . 11 ω ⊆ On
2523, 24syl6ss 3764 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑆 ⊆ On)
2625ssdifssd 3899 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On)
27 simplr 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
28 ssel2 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑗𝑆) → 𝑗 ∈ ω)
29 onfin2 8306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ω = (On ∩ Fin)
30 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3129, 30eqsstri 3784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ω ⊆ Fin
32 peano2 7231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
3331, 32sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑗𝑆) → suc 𝑗 ∈ Fin)
3534adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗𝑆) → suc 𝑗 ∈ Fin)
36 ssfi 8334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ suc 𝑗) → 𝑆 ∈ Fin)
3736ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑗 ∈ Fin → (𝑆 ⊆ suc 𝑗𝑆 ∈ Fin))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗𝑆) → (𝑆 ⊆ suc 𝑗𝑆 ∈ Fin))
3927, 38mtod 189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗𝑆) → ¬ 𝑆 ⊆ suc 𝑗)
40 ssdif0 4089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ suc 𝑗 ↔ (𝑆 ∖ suc 𝑗) = ∅)
4140necon3bbii 2990 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ suc 𝑗 ↔ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
4239, 41sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗𝑆) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
4342ad2ant2lr 742 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
44 onint 7140 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On ∧ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
4526, 43, 44syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
4645eldifad 3735 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ 𝑆)
47 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)
48 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑗 ∈ V
49 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
50 en2sn 8191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → {𝑗} ≈ {𝑎})
5148, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ≈ {𝑎}
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → {𝑗} ≈ {𝑎})
53 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑗𝑆)
5423, 53sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑗 ∈ ω)
55 nnord 7218 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → Ord 𝑗)
57 ordirr 5882 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝑗 → ¬ 𝑗𝑗)
58 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗
5958sseli 3748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑗𝑆) → 𝑗𝑗)
6057, 59nsyl 137 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝑗 → ¬ 𝑗 ∈ (𝑗𝑆))
61 disjsn 4383 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝑗𝑆))
6260, 61sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝑗 → ((𝑗𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅)
6356, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅)
64 nnord 7218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
65 ordirr 5882 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝑎 → ¬ 𝑎𝑎)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ω → ¬ 𝑎𝑎)
67 disjsn 4383 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅ ↔ ¬ 𝑎𝑎)
6866, 67sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ω → (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)
6968ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)
70 unen 8194 . . . . . . . . 9 ((((𝑗𝑆) ≈ 𝑎 ∧ {𝑗} ≈ {𝑎}) ∧ (((𝑗𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅ ∧ (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)) → ((𝑗𝑆) ∪ {𝑗}) ≈ (𝑎 ∪ {𝑎}))
7147, 52, 63, 69, 70syl22anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗𝑆) ∪ {𝑗}) ≈ (𝑎 ∪ {𝑎}))
72 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → 𝑏𝑆)
73 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
7473, 24syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → 𝑆 ⊆ On)
75 ordsuc 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ord 𝑗 ↔ Ord suc 𝑗)
7656, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → Ord suc 𝑗)
7776adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → Ord suc 𝑗)
78 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → 𝑆 ⊆ On)
7978ssdifssd 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On)
80 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏𝑆)
81 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗)
8280, 81eldifd 3734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
8382ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗)))
84 onnmin 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗)) → ¬ 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗))
8579, 83, 84syl6an 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗 → ¬ 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗)))
8685con4d 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ suc 𝑗))
8786imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗)) → 𝑏 ∈ suc 𝑗)
88 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → Ord suc 𝑗)
89 ordsucss 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Ord suc 𝑗 → (𝑏 ∈ suc 𝑗 → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 ∈ suc 𝑗 → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗))
9190imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗)
9291sscond 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑏))
93 intss 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑏) → (𝑆 ∖ suc 𝑏) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → (𝑆 ∖ suc 𝑏) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
95 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑆 ⊆ On)
96 ordelon 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Ord suc 𝑗𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ On)
9788, 96sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ On)
98 onmindif 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑏 ∈ On) → 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑏))
9995, 97, 98syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑏))
10094, 99sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗))
10187, 100impbida 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑆𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ suc 𝑗))
10272, 74, 77, 101syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ suc 𝑗))
103 df-suc 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 suc 𝑗 = (𝑗 ∪ {𝑗})
104103eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ suc 𝑗𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}))
105102, 104syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏𝑆)) → (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗})))
106105expr 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑏𝑆 → (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}))))
107106pm5.32rd 567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∧ 𝑏𝑆) ↔ (𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}) ∧ 𝑏𝑆)))
108 elin 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ↔ (𝑏 (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∧ 𝑏𝑆))
109 elin 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}) ∧ 𝑏𝑆))
110107, 108, 1093bitr4g 303 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑏 ∈ ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ↔ 𝑏 ∈ ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆)))
111110eqrdv 2769 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆))
112 indir 4024 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆) = ((𝑗𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆))
113111, 112syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)))
114 snssi 4474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑆 → {𝑗} ⊆ 𝑆)
115 df-ss 3737 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑗} ∩ 𝑆) = {𝑗})
116114, 115sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑆 → ({𝑗} ∩ 𝑆) = {𝑗})
117116uneq2d 3918 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑆 → ((𝑗𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)) = ((𝑗𝑆) ∪ {𝑗}))
118117ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)) = ((𝑗𝑆) ∪ {𝑗}))
119113, 118eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗𝑆) ∪ {𝑗}))
120 df-suc 5870 . . . . . . . . 9 suc 𝑎 = (𝑎 ∪ {𝑎})
121120a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → suc 𝑎 = (𝑎 ∪ {𝑎}))
12271, 119, 1213brtr4d 4818 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)
123 ineq1 3958 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑆 ∖ suc 𝑗) → (𝑏𝑆) = ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆))
124123breq1d 4796 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑆 ∖ suc 𝑗) → ((𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
125124rspcev 3460 . . . . . . 7 (( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ 𝑆 ∧ ( (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎) → ∃𝑏𝑆 (𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎)
12646, 122, 125syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗𝑆 ∧ (𝑗𝑆) ≈ 𝑎)) → ∃𝑏𝑆 (𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎)
127126rexlimdvaa 3180 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑏𝑆 (𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎))
128 ineq1 3958 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑗 → (𝑏𝑆) = (𝑗𝑆))
129128breq1d 4796 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑗 → ((𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎))
130129cbvrexv 3321 . . . . 5 (∃𝑏𝑆 (𝑏𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎)
131127, 130syl6ib 241 . . . 4 ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎))
132131ex 397 . . 3 (𝑎 ∈ ω → ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ suc 𝑎)))
1332, 4, 6, 22, 132finds2 7239 . 2 (𝑖 ∈ ω → ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
134133impcom 394 1 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   cint 4611   class class class wbr 4786  Ord word 5863  Oncon0 5864  suc csuc 5866  ωcom 7210  cen 8104  Fincfn 8107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7211  df-1o 7711  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111
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