Theorem fin23lem26 9482

Description: Lemma for fin23lem22 9484. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem26	⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖)

Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem26

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4890	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅))
2	1	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ (𝑖 = ∅ → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅))
3		breq2 4890	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎))
4	3	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎))
5		breq2 4890	. . . 4 ⊢ (𝑖 = suc 𝑎 → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
6	5	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ (𝑖 = suc 𝑎 → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
7		ordom 7352	. . . . 5 ⊢ Ord ω
8		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ⊆ ω)
9		0fin 8476	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
10		eleq1 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
11	9, 10	mpbiri 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ Fin)
12	11	necon3bi 2995	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ≠ ∅)
13	12	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≠ ∅)
14		tz7.5 5997	. . . . 5 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑆 ∩ 𝑗) = ∅)
15	7, 8, 13, 14	mp3an2i 1539	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑆 ∩ 𝑗) = ∅)
16		en0 8304	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅ ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) = ∅)
17		incom 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑗)
18	17	eqeq1i 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝑗) = ∅)
19	16, 18	bitri 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝑗) = ∅)
20	19	rexbii 3224	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑆 ∩ 𝑗) = ∅)
21	15, 20	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ ∅)
22		simplrl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑆 ⊆ ω)
23		omsson 7347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ω ⊆ On
24	22, 23	syl6ss 3833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑆 ⊆ On)
25	24	ssdifssd 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On)
26		simplr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
27		ssel2 3816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ ω)
28		onfin2 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
29		inss2 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
30	28, 29	eqsstri 3854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ω ⊆ Fin
31		peano2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
32	30, 31	sseldi 3819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
33	27, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → suc 𝑗 ∈ Fin)
34	33	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → suc 𝑗 ∈ Fin)
35		ssfi 8468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ suc 𝑗) → 𝑆 ∈ Fin)
36	35	ex 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑗 ∈ Fin → (𝑆 ⊆ suc 𝑗 → 𝑆 ∈ Fin))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ suc 𝑗 → 𝑆 ∈ Fin))
38	26, 37	mtod 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑆 ⊆ suc 𝑗)
39		ssdif0 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ suc 𝑗 ↔ (𝑆 ∖ suc 𝑗) = ∅)
40	39	necon3bbii 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑆 ⊆ suc 𝑗 ↔ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
41	38, 40	sylib 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
42	41	ad2ant2lr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅)
43		onint 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On ∧ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ≠ ∅) → ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
44	25, 42, 43	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
45	44	eldifad 3804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ 𝑆)
46		simprr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)
47		vex 3401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑗 ∈ V
48		vex 3401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 ∈ V
49		en2sn 8325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → {𝑗} ≈ {𝑎})
50	47, 48, 49	mp2an 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑗} ≈ {𝑎}
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → {𝑗} ≈ {𝑎})
52		simprl 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑗 ∈ 𝑆)
53	22, 52	sseldd 3822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → 𝑗 ∈ ω)
54		nnord 7351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → Ord 𝑗)
56		ordirr 5994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝑗 → ¬ 𝑗 ∈ 𝑗)
57		elinel1 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑗 ∩ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑗)
58	56, 57	nsyl 138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝑗 → ¬ 𝑗 ∈ (𝑗 ∩ 𝑆))
59		disjsn 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∩ 𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝑗 ∩ 𝑆))
60	58, 59	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝑗 → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅)
62		nnord 7351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
63		ordirr 5994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ 𝑎)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ω → ¬ 𝑎 ∈ 𝑎)
65		disjsn 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅ ↔ ¬ 𝑎 ∈ 𝑎)
66	64, 65	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)
67	66	ad2antrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)
68		unen 8328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎 ∧ {𝑗} ≈ {𝑎}) ∧ (((𝑗 ∩ 𝑆) ∩ {𝑗}) = ∅ ∧ (𝑎 ∩ {𝑎}) = ∅)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ {𝑗}) ≈ (𝑎 ∪ {𝑎}))
69	46, 51, 61, 67, 68	syl22anc 829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ {𝑗}) ≈ (𝑎 ∪ {𝑎}))
70		simprr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
71		simplrl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
72	71, 23	syl6ss 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ On)
73		ordsuc 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Ord 𝑗 ↔ Ord suc 𝑗)
74	55, 73	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → Ord suc 𝑗)
75	74	adantrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → Ord suc 𝑗)
76		simp2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → 𝑆 ⊆ On)
77	76	ssdifssd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On)
78		simpl1 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ 𝑆)
79		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗)
80	78, 79	eldifd 3803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ ¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
81	80	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗 → 𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗)))
82		onnmin 7281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ On ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 ∖ suc 𝑗)) → ¬ 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
83	77, 81, 82	syl6an 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (¬ 𝑏 ∈ suc 𝑗 → ¬ 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗)))
84	83	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ suc 𝑗))
85	84	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗)) → 𝑏 ∈ suc 𝑗)
86		simp3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → Ord suc 𝑗)
87		ordsucss 7296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Ord suc 𝑗 → (𝑏 ∈ suc 𝑗 → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗))
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 ∈ suc 𝑗 → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗))
89	88	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑏 ⊆ suc 𝑗)
90	89	sscond 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → (𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑏))
91		intss 4731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∖ suc 𝑗) ⊆ (𝑆 ∖ suc 𝑏) → ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑏) ⊆ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑏) ⊆ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
93		simpl2 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑆 ⊆ On)
94		ordelon 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Ord suc 𝑗 ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ On)
95	86, 94	sylan 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ On)
96		onmindif 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑏 ∈ On) → 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑏))
97	93, 95, 96	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑏))
98	92, 97	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑗) → 𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗))
99	85, 98	impbida 791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ On ∧ Ord suc 𝑗) → (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ suc 𝑗))
100	70, 72, 75, 99	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ suc 𝑗))
101		df-suc 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ suc 𝑗 = (𝑗 ∪ {𝑗})
102	101	eleq2i 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ suc 𝑗 ↔ 𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}))
103	100, 102	syl6bb 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗})))
104	103	expr 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ↔ 𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}))))
105	104	pm5.32rd 573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)))
106		elin 4019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
107		elin 4019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ (𝑗 ∪ {𝑗}) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
108	105, 106, 107	3bitr4g 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (𝑏 ∈ (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ↔ 𝑏 ∈ ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆)))
109	108	eqrdv 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆))
110		indir 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∪ {𝑗}) ∩ 𝑆) = ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆))
111	109, 110	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)))
112		snssi 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 → {𝑗} ⊆ 𝑆)
113		df-ss 3806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑗} ∩ 𝑆) = {𝑗})
114	112, 113	sylib 210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 → ({𝑗} ∩ 𝑆) = {𝑗})
115	114	uneq2d 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑆 → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)) = ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ {𝑗}))
116	115	ad2antrl 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ ({𝑗} ∩ 𝑆)) = ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ {𝑗}))
117	111, 116	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) = ((𝑗 ∩ 𝑆) ∪ {𝑗}))
118		df-suc 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑎 = (𝑎 ∪ {𝑎})
119	118	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → suc 𝑎 = (𝑎 ∪ {𝑎}))
120	69, 117, 119	3brtr4d 4918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)
121		ineq1 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) → (𝑏 ∩ 𝑆) = (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆))
122	121	breq1d 4896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) → ((𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
123	122	rspcev 3511	. . . . . . 7 ⊢ ((∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∈ 𝑆 ∧ (∩ (𝑆 ∖ suc 𝑗) ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝑆 (𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)
124	45, 120, 123	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ 𝑆 (𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)
125	124	rexlimdvaa 3214	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝑆 (𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
126		ineq1 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑏 ∩ 𝑆) = (𝑗 ∩ 𝑆))
127	126	breq1d 4896	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → ((𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
128	127	cbvrexv 3368	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑆 (𝑏 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)
129	125, 128	syl6ib 243	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin)) → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎))
130	129	ex 403	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ω → ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ suc 𝑎)))
131	2, 4, 6, 21, 130	finds2 7372	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖))
132	131	impcom 398	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  ∩ cint 4710   class class class wbr 4886  Ord word 5975  Oncon0 5976  suc csuc 5978  ωcom 7343   ≈ cen 8238  Fincfn 8241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-br 4887  df-opab 4949  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245

This theorem is referenced by:  fin23lem23  9483