Theorem ontr2 6373

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6335	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6370	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  Ord word 6324  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  onelssex  6374  onunel  6432  oeordsuc  8532  oelimcl  8538  oeeui  8540  omopthlem2  8598  coflton  8609  cofon1  8610  cofon2  8611  naddssim  8623  omxpenlem  9018  oismo  9457  cantnflem1c  9608  cantnflem1  9610  cantnflem3  9612  rankr1ai  9722  rankxplim  9803  infxpenlem  9935  alephle  10010  pwcfsdom  10506  r1limwun  10659  oldbdayim  27897  addbdaylem  28025  negbdaylem  28064  oncutlt  28272  ontopbas  36644  ontgval  36647  onexlimgt  43600  nnoeomeqom  43669  omabs2  43689  oaun3lem2  43732  nadd2rabex  43743  nadd1suc  43749