Theorem ontr2 6410

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6407	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  Ord word 6360  Oncon0 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is referenced by:  onelssex  6411  onunel  6469  oeordsuc  8579  oelimcl  8585  oeeui  8587  omopthlem2  8645  coflton  8656  cofon1  8657  cofon2  8658  naddssim  8671  omxpenlem  9065  oismo  9501  cantnflem1c  9655  cantnflem1  9657  cantnflem3  9659  rankr1ai  9769  rankxplim  9850  infxpenlem  9996  alephle  10071  pwcfsdom  10567  r1limwun  10720  oldbdayim  28047  addbdaylem  28175  negbdaylem  28214  oncutlt  28422  ontopbas  36827  ontgval  36830  onexlimgt  43861  nnoeomeqom  43930  omabs2  43950  oaun3lem2  43993  nadd2rabex  44004  nadd1suc  44010