Theorem ontr2 6411

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6373	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6408	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  Ord word 6362  Oncon0 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-ord 6366  df-on 6367

This theorem is referenced by:  onelssex  6412  onunel  6469  oeordsuc  8614  oelimcl  8620  oeeui  8622  omopthlem2  8680  coflton  8691  cofon1  8692  cofon2  8693  naddssim  8705  omxpenlem  9095  oismo  9562  cantnflem1c  9709  cantnflem1  9711  cantnflem3  9713  rankr1ai  9820  rankxplim  9901  infxpenlem  10035  alephle  10110  pwcfsdom  10605  r1limwun  10758  oldbdayim  27864  addsbdaylem  27986  negsbdaylem  28025  ontopbas  36404  ontgval  36407  onexlimgt  43233  nnoeomeqom  43302  omabs2  43322  oaun3lem2  43365  nadd2rabex  43376  nadd1suc  43382