Theorem ontr2 6410

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6407	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  Ord word 6360  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  onelssex  6411  onunel  6469  oeordsuc  8596  oelimcl  8602  oeeui  8604  omopthlem2  8662  coflton  8673  cofon1  8674  cofon2  8675  naddssim  8688  omxpenlem  9090  oismo  9527  cantnflem1c  9681  cantnflem1  9683  cantnflem3  9685  rankr1ai  9799  rankxplim  9889  infxpenlem  10085  alephle  10160  pwcfsdom  10661  r1limwun  10814  oldbdayim  28268  addbdaylem  28396  negbdaylem  28435  oncutlt  28643  ontr2d  36929  ltnmul  36945  ltnadd  36947  ontopbas  37196  ontgval  37199  onexlimgt  44229  nnoeomeqom  44298  omabs2  44318  oaun3lem2  44361  nadd2rabex  44372  nadd1suc  44378