Theorem ontr2 6355

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6317	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6352	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  Ord word 6306  Oncon0 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311

This theorem is referenced by:  onelssex  6356  onunel  6414  oeordsuc  8512  oelimcl  8518  oeeui  8520  omopthlem2  8578  coflton  8589  cofon1  8590  cofon2  8591  naddssim  8603  omxpenlem  8995  oismo  9432  cantnflem1c  9583  cantnflem1  9585  cantnflem3  9587  rankr1ai  9694  rankxplim  9775  infxpenlem  9907  alephle  9982  pwcfsdom  10477  r1limwun  10630  oldbdayim  27803  addsbdaylem  27928  negsbdaylem  27967  onscutlt  28170  ontopbas  36402  ontgval  36405  onexlimgt  43216  nnoeomeqom  43285  omabs2  43305  oaun3lem2  43348  nadd2rabex  43359  nadd1suc  43365