Theorem ontr2 6400

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6362	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6362	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6397	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  Ord word 6351  Oncon0 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-ord 6355  df-on 6356

This theorem is referenced by:  onelssex  6401  onunel  6459  oeordsuc  8606  oelimcl  8612  oeeui  8614  omopthlem2  8672  coflton  8683  cofon1  8684  cofon2  8685  naddssim  8697  omxpenlem  9087  oismo  9554  cantnflem1c  9701  cantnflem1  9703  cantnflem3  9705  rankr1ai  9812  rankxplim  9893  infxpenlem  10027  alephle  10102  pwcfsdom  10597  r1limwun  10750  oldbdayim  27852  addsbdaylem  27975  negsbdaylem  28014  onscutlt  28217  ontopbas  36446  ontgval  36449  onexlimgt  43267  nnoeomeqom  43336  omabs2  43356  oaun3lem2  43399  nadd2rabex  43410  nadd1suc  43416