Theorem ontr2 6358

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6320	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6320	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6355	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  Ord word 6309  Oncon0 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314

This theorem is referenced by:  onelssex  6359  onunel  6417  oeordsuc  8520  oelimcl  8526  oeeui  8528  omopthlem2  8586  coflton  8597  cofon1  8598  cofon2  8599  naddssim  8611  omxpenlem  9006  oismo  9445  cantnflem1c  9599  cantnflem1  9601  cantnflem3  9603  rankr1ai  9713  rankxplim  9794  infxpenlem  9926  alephle  10001  pwcfsdom  10497  r1limwun  10650  oldbdayim  27899  addbdaylem  28027  negbdaylem  28066  oncutlt  28274  ontopbas  36656  ontgval  36659  onexlimgt  43688  nnoeomeqom  43757  omabs2  43777  oaun3lem2  43820  nadd2rabex  43831  nadd1suc  43837