Theorem ontr2 6383

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6345	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6345	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6380	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  Ord word 6334  Oncon0 6335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339

This theorem is referenced by:  onelssex  6384  onunel  6442  oeordsuc  8561  oelimcl  8567  oeeui  8569  omopthlem2  8627  coflton  8638  cofon1  8639  cofon2  8640  naddssim  8652  omxpenlem  9047  oismo  9500  cantnflem1c  9647  cantnflem1  9649  cantnflem3  9651  rankr1ai  9758  rankxplim  9839  infxpenlem  9973  alephle  10048  pwcfsdom  10543  r1limwun  10696  oldbdayim  27807  addsbdaylem  27930  negsbdaylem  27969  onscutlt  28172  ontopbas  36423  ontgval  36426  onexlimgt  43239  nnoeomeqom  43308  omabs2  43328  oaun3lem2  43371  nadd2rabex  43382  nadd1suc  43388