Theorem ontr2 6368

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6330	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6330	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6365	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  Ord word 6319  Oncon0 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324

This theorem is referenced by:  onelssex  6369  onunel  6427  oeordsuc  8535  oelimcl  8541  oeeui  8543  omopthlem2  8601  coflton  8612  cofon1  8613  cofon2  8614  naddssim  8626  omxpenlem  9019  oismo  9469  cantnflem1c  9616  cantnflem1  9618  cantnflem3  9620  rankr1ai  9727  rankxplim  9808  infxpenlem  9942  alephle  10017  pwcfsdom  10512  r1limwun  10665  oldbdayim  27776  addsbdaylem  27899  negsbdaylem  27938  onscutlt  28141  ontopbas  36389  ontgval  36392  onexlimgt  43205  nnoeomeqom  43274  omabs2  43294  oaun3lem2  43337  nadd2rabex  43348  nadd1suc  43354