Theorem ontr2 6413

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6374	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6410	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  Ord word 6363  Oncon0 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368

This theorem is used by:  onelssex  6414  onunel  6472  oeordsuc  8586  oelimcl  8592  oeeui  8594  omopthlem2  8652  coflton  8663  cofon1  8664  cofon2  8665  naddssim  8678  omxpenlem  9073  oismo  9509  cantnflem1c  9663  cantnflem1  9665  cantnflem3  9667  rankr1ai  9777  rankxplim  9858  infxpenlem  10013  alephle  10088  pwcfsdom  10583  r1limwun  10736  oldbdayim  28133  addbdaylem  28261  negbdaylem  28300  oncutlt  28508  ontr2d  36729  ltnmul  36745  ltnadd  36747  ontopbas  36996  ontgval  36999  onexlimgt  44028  nnoeomeqom  44097  omabs2  44117  oaun3lem2  44160  nadd2rabex  44171  nadd1suc  44177