Theorem ontr2 6365

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6362	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  onelssex  6366  onunel  6424  oeordsuc  8522  oelimcl  8528  oeeui  8530  omopthlem2  8588  coflton  8599  cofon1  8600  cofon2  8601  naddssim  8613  omxpenlem  9006  oismo  9445  cantnflem1c  9596  cantnflem1  9598  cantnflem3  9600  rankr1ai  9710  rankxplim  9791  infxpenlem  9923  alephle  9998  pwcfsdom  10494  r1limwun  10647  oldbdayim  27885  addbdaylem  28013  negbdaylem  28052  oncutlt  28260  ontopbas  36622  ontgval  36625  onexlimgt  43485  nnoeomeqom  43554  omabs2  43574  oaun3lem2  43617  nadd2rabex  43628  nadd1suc  43634