Theorem ontr2 6437

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6398	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6434	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Ord word 6387  Oncon0 6388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392

This theorem is used by:  onelssex  6438  onunel  6496  oeordsuc  8641  oelimcl  8647  oeeui  8649  omopthlem2  8707  coflton  8718  cofon1  8719  cofon2  8720  naddssim  8733  omxpenlem  9135  oismo  9571  cantnflem1c  9725  cantnflem1  9727  cantnflem3  9729  rankr1ai  9843  rankxplim  9933  infxpenlem  10131  alephle  10206  pwcfsdom  10707  r1limwun  10860  oldbdayim  28332  addbdaylem  28460  negbdaylem  28499  oncutlt  28707  maxssj0  36047  k3n0j0lt  36061  k3n0k1lt  36064  k3n0k2lt  36065  ontr2d  37164  ltnmul  37180  ltnadd  37182  ontopbas  37431  ontgval  37434  onexlimgt  44506  nnoeomeqom  44575  omabs2  44595  oaun3lem2  44638  nadd2rabex  44649  nadd1suc  44655