Theorem ontr2 6394

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontr2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6356	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6356	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3		ordtr2 6391	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  Ord word 6345  Oncon0 6346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349  df-on 6350

This theorem is referenced by:  onelssex  6395  onunel  6453  oeordsuc  8564  oelimcl  8570  oeeui  8572  omopthlem2  8630  coflton  8641  cofon1  8642  cofon2  8643  naddssim  8656  omxpenlem  9050  oismo  9488  cantnflem1c  9642  cantnflem1  9644  cantnflem3  9646  rankr1ai  9756  rankxplim  9837  infxpenlem  9969  alephle  10044  pwcfsdom  10541  r1limwun  10694  oldbdayim  27979  addbdaylem  28107  negbdaylem  28146  oncutlt  28354  ontopbas  36785  ontgval  36788  onexlimgt  43817  nnoeomeqom  43886  omabs2  43906  oaun3lem2  43949  nadd2rabex  43960  nadd1suc  43966