Theorem naddsuc2 8749

Description: Natural addition with successor. (Contributed by RP, 1-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddsuc2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵))

Proof of Theorem naddsuc2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 +no suc 𝑏) = (𝑐 +no suc 𝑏))
2		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 +no 𝑏) = (𝑐 +no 𝑏))
3		suceq 6457	. . . 4 ⊢ ((𝑎 +no 𝑏) = (𝑐 +no 𝑏) → suc (𝑎 +no 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → suc (𝑎 +no 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
5	1, 4	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎 +no suc 𝑏) = suc (𝑎 +no 𝑏) ↔ (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)))
6		suceq 6457	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → suc 𝑏 = suc 𝑑)
7	6	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 +no suc 𝑏) = (𝑐 +no suc 𝑑))
8		oveq2 7459	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 +no 𝑏) = (𝑐 +no 𝑑))
9		suceq 6457	. . . 4 ⊢ ((𝑐 +no 𝑏) = (𝑐 +no 𝑑) → suc (𝑐 +no 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑑))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → suc (𝑐 +no 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑑))
11	7, 10	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏) ↔ (𝑐 +no suc 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑)))
12		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 +no suc 𝑑) = (𝑐 +no suc 𝑑))
13		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 +no 𝑑) = (𝑐 +no 𝑑))
14		suceq 6457	. . . 4 ⊢ ((𝑎 +no 𝑑) = (𝑐 +no 𝑑) → suc (𝑎 +no 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → suc (𝑎 +no 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑))
16	12, 15	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑎 +no suc 𝑑) = suc (𝑎 +no 𝑑) ↔ (𝑐 +no suc 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑)))
17		oveq1 7458	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no suc 𝑏) = (𝐴 +no suc 𝑏))
18		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no 𝑏) = (𝐴 +no 𝑏))
19		suceq 6457	. . . 4 ⊢ ((𝑎 +no 𝑏) = (𝐴 +no 𝑏) → suc (𝑎 +no 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝑏))
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc (𝑎 +no 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝑏))
21	17, 20	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no suc 𝑏) = suc (𝑎 +no 𝑏) ↔ (𝐴 +no suc 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝑏)))
22		suceq 6457	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → suc 𝑏 = suc 𝐵)
23	22	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 +no suc 𝑏) = (𝐴 +no suc 𝐵))
24		oveq2 7459	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 +no 𝑏) = (𝐴 +no 𝐵))
25		suceq 6457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +no 𝑏) = (𝐴 +no 𝐵) → suc (𝐴 +no 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝐵))
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → suc (𝐴 +no 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝐵))
27	23, 26	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 +no suc 𝑏) = suc (𝐴 +no 𝑏) ↔ (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵)))
28		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑐 +no suc 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no suc 𝑑) = suc (𝑎 +no 𝑑)) → ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑐 +no suc 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no suc 𝑑) = suc (𝑎 +no 𝑑)) → ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)))
30		df-suc 6394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc 𝑏 = (𝑏 ∪ {𝑏})
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → suc 𝑏 = (𝑏 ∪ {𝑏}))
32	31	raleqdv 3323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑑 ∈ (𝑏 ∪ {𝑏})(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥))
33		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑏 ∈ V)
35		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (𝑎 +no 𝑑) = (𝑎 +no 𝑏))
36	35	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
37	36	ralunsn 4830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ V → (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∪ {𝑏})(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
38	34, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∪ {𝑏})(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
39	38	biancomd 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∪ {𝑏})(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥)))
40	32, 39	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥)))
41		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑐(𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On)
42		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑐∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)
43	41, 42	nfan 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑐((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
44		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑥 ∈ On
45	43, 44	nfan 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑐(((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On)
46		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
47	46	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏))
48	47	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → ((𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥 ↔ suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
49	45, 48	ralbida 3277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
50	40, 49	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥) ↔ (((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
51		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
52		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ On)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑑 ∈ 𝑏)
54		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ On)
55		onelon 6413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑑 ∈ On)
56	54, 53, 55	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑑 ∈ On)
57		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → 𝑎 ∈ On)
58		naddel2 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑑 ∈ 𝑏 ↔ (𝑎 +no 𝑑) ∈ (𝑎 +no 𝑏)))
59	56, 54, 57, 58	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝑏 ↔ (𝑎 +no 𝑑) ∈ (𝑎 +no 𝑏)))
60	53, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → (𝑎 +no 𝑑) ∈ (𝑎 +no 𝑏))
61		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥)
62	60, 61	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → ((𝑎 +no 𝑑) ∈ (𝑎 +no 𝑏) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
63		ontr1 6436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ On → (((𝑎 +no 𝑑) ∈ (𝑎 +no 𝑏) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) → (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥))
64	52, 62, 63	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑑 ∈ 𝑏) → (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥)
65	64	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) → ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥)
66		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ On)
67		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)
68		onelon 6413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ On)
69	66, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ On)
70		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
71	69, 66, 70	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On))
72		naddelim 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑐 +no 𝑏) ∈ (𝑎 +no 𝑏)))
73	71, 67, 72	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → (𝑐 +no 𝑏) ∈ (𝑎 +no 𝑏))
74		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥)
75		elunii 4877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑐 +no 𝑏) ∈ (𝑎 +no 𝑏) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) → (𝑐 +no 𝑏) ∈ ∪ 𝑥)
76	73, 74, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → (𝑐 +no 𝑏) ∈ ∪ 𝑥)
77		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ On)
78		eloni 6398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
79	77, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → Ord 𝑥)
80		ordsucuniel 7869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑥 → ((𝑐 +no 𝑏) ∈ ∪ 𝑥 ↔ suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
81	79, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → ((𝑐 +no 𝑏) ∈ ∪ 𝑥 ↔ suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
82	76, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ∧ 𝑐 ∈ 𝑎) → suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)
83	82	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) → ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)
84	65, 83	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥) → (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
85	84	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 → (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
86	85	ad4ant124 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 → (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥)))
87	86	pm4.71d 571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ (∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥))))
88	51, 87	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((((𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 suc (𝑐 +no 𝑏) ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
89	50, 88	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥))
90	89	rabbidva 3422	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥})
91	90	inteqd 4917	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥})
92		onsuc 7858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ On → suc 𝑏 ∈ On)
93		naddov2 8726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ suc 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +no suc 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥)})
94	92, 93	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +no suc 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥)})
95	94	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) → (𝑎 +no suc 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑑 ∈ suc 𝑏(𝑎 +no 𝑑) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) ∈ 𝑥)})
96		naddcl 8724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +no 𝑏) ∈ On)
97		onsucmin 7866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 +no 𝑏) ∈ On → suc (𝑎 +no 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥})
98	96, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → suc (𝑎 +no 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥})
99	98	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) → suc (𝑎 +no 𝑏) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑎 +no 𝑏) ∈ 𝑥})
100	91, 95, 99	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏)) → (𝑎 +no suc 𝑏) = suc (𝑎 +no 𝑏))
101	100	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏) → (𝑎 +no suc 𝑏) = suc (𝑎 +no 𝑏)))
102	29, 101	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑐 +no suc 𝑑) = suc (𝑐 +no 𝑑) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑐 +no suc 𝑏) = suc (𝑐 +no 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 (𝑎 +no suc 𝑑) = suc (𝑎 +no 𝑑)) → (𝑎 +no suc 𝑏) = suc (𝑎 +no 𝑏)))
103	5, 11, 16, 21, 27, 102	on2ind 8716	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  Ord word 6387  Oncon0 6388  suc csuc 6390  (class class class)co 7451   +no cnadd 8712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-nadd 8713

This theorem is used by:  naddoa  8750  z12bdaylem2  28914  naddass1  44656  naddgeoa  44657  naddonnn  44658