MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsmolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmolem 8269
Description: Lemma for omsmo 8270. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmolem (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem omsmolem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2898 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝑧𝑦𝑧 ∈ ∅))
2 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐹𝑦) = (𝐹‘∅))
32eleq2d 2895 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅)))
41, 3imbi12d 346 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅))))
5 eleq2 2898 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
6 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
76eleq2d 2895 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
85, 7imbi12d 346 . 2 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))))
9 eleq2 2898 . . 3 (𝑦 = suc 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧 ∈ suc 𝑤))
10 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘suc 𝑤))
1110eleq2d 2895 . . 3 (𝑦 = suc 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
129, 11imbi12d 346 . 2 (𝑦 = suc 𝑤 → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
13 noel 4293 . . . 4 ¬ 𝑧 ∈ ∅
1413pm2.21i 119 . . 3 (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅))
1514a1i 11 . 2 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅)))
16 vex 3495 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
1716elsuc 6253 . . . . 5 (𝑧 ∈ suc 𝑤 ↔ (𝑧𝑤𝑧 = 𝑤))
18 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
19 suceq 6249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
2019fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘suc 𝑥) = (𝐹‘suc 𝑤))
2118, 20eleq12d 2904 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
2221rspccva 3619 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))
2322adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))
24 peano2b 7585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ω ↔ suc 𝑤 ∈ ω)
25 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ω⟶𝐴 ∧ suc 𝑤 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴)
2624, 25sylan2b 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ω⟶𝐴𝑤 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴)
27 ssel 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ On → ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ On))
28 ontr1 6230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ On → (((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
2928expcomd 417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ On → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3026, 27, 29syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ On → ((𝐹:ω⟶𝐴𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
3130impl 456 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3231adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3323, 32mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3433imim2d 57 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3534imp 407 . . . . . 6 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
36 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3736eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3822, 37syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3938ad4ant23 749 . . . . . 6 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4035, 39jaod 853 . . . . 5 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → ((𝑧𝑤𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4117, 40syl5bi 243 . . . 4 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4241exp31 420 . . 3 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑤 ∈ ω → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
4342com12 32 . 2 (𝑤 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
444, 8, 12, 15, 43finds2 7599 1 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  c0 4288  Oncon0 6184  suc csuc 6186  wf 6344  cfv 6348  ωcom 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-om 7570
This theorem is referenced by:  omsmo  8270
  Copyright terms: Public domain W3C validator