Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsmolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmolem 8296
 Description: Lemma for omsmo 8297. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmolem (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem omsmolem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2840 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝑧𝑦𝑧 ∈ ∅))
2 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐹𝑦) = (𝐹‘∅))
32eleq2d 2837 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅)))
41, 3imbi12d 348 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅))))
5 eleq2 2840 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
6 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
76eleq2d 2837 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
85, 7imbi12d 348 . 2 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))))
9 eleq2 2840 . . 3 (𝑦 = suc 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧 ∈ suc 𝑤))
10 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘suc 𝑤))
1110eleq2d 2837 . . 3 (𝑦 = suc 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
129, 11imbi12d 348 . 2 (𝑦 = suc 𝑤 → ((𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
13 noel 4232 . . . 4 ¬ 𝑧 ∈ ∅
1413pm2.21i 119 . . 3 (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅))
1514a1i 11 . 2 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧 ∈ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘∅)))
16 vex 3413 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
1716elsuc 6243 . . . . 5 (𝑧 ∈ suc 𝑤 ↔ (𝑧𝑤𝑧 = 𝑤))
18 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
19 suceq 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
2019fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘suc 𝑥) = (𝐹‘suc 𝑤))
2118, 20eleq12d 2846 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
2221rspccva 3542 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))
2322adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))
24 peano2b 7601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ω ↔ suc 𝑤 ∈ ω)
25 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ω⟶𝐴 ∧ suc 𝑤 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴)
2624, 25sylan2b 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ω⟶𝐴𝑤 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴)
27 ssel 3887 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ On → ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑤) ∈ On))
28 ontr1 6220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ On → (((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
2928expcomd 420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘suc 𝑤) ∈ On → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3026, 27, 29syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ On → ((𝐹:ω⟶𝐴𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
3130impl 459 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3323, 32mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3433imim2d 57 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤))))
3534imp 410 . . . . . 6 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
36 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3736eleq1d 2836 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3822, 37syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
3938ad4ant23 752 . . . . . 6 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4035, 39jaod 856 . . . . 5 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → ((𝑧𝑤𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4117, 40syl5bi 245 . . . 4 (((((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))
4241exp31 423 . . 3 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑤 ∈ ω → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
4342com12 32 . 2 (𝑤 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)) → (𝑧 ∈ suc 𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹‘suc 𝑤)))))
444, 8, 12, 15, 43finds2 7616 1 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐹:ω⟶𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐹𝑥) ∈ (𝐹‘suc 𝑥)) → (𝑧𝑦 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  Oncon0 6174  suc csuc 6176  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  ωcom 7585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-om 7586 This theorem is referenced by:  omsmo  8297
 Copyright terms: Public domain W3C validator