Theorem naddel12 8671

Description: Natural addition to both sides of ordinal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddel12	⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Proof of Theorem naddel12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2		onelon 6371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ On)
3	2	ad2ant2l 756	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ On)
4		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐷 ∈ On)
5		onelon 6371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
6	5	ad2ant2r 757	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ On)
7		naddel2 8659	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
9	1, 8	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷))
10		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
11		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ On)
12		naddel1 8658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
13	6, 11, 4, 12	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
14	10, 13	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
15		naddcl 8647	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
17		ontr1 6393	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +no 𝐷) ∈ On → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
19	9, 14, 18	mp2and 709	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
20	19	ex 416	1 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Oncon0 6346  (class class class)co 7396   +no cnadd 8635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-nadd 8636

This theorem is referenced by:  mulsproplem4  28212  mulsproplem5  28213  mulsproplem6  28214  mulsproplem7  28215  mulsproplem8  28216