MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddel12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddel12 8701
Description: Natural addition to both sides of ordinal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddel12 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Proof of Theorem naddel12
StepHypRef Expression
1 simprr 770 . . . 4 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐵𝐷)
2 onelon 6383 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵 ∈ On)
32ad2ant2l 743 . . . . 5 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐵 ∈ On)
4 simplr 766 . . . . 5 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐷 ∈ On)
5 onelon 6383 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ On)
65ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐴 ∈ On)
7 naddel2 8689 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐵𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
91, 8mpbid 231 . . 3 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷))
10 simprl 768 . . . 4 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐴𝐶)
11 simpll 764 . . . . 5 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → 𝐶 ∈ On)
12 naddel1 8688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
136, 11, 4, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
1410, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
15 naddcl 8678 . . . . 5 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
17 ontr1 6404 . . . 4 ((𝐶 +no 𝐷) ∈ On → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
199, 14, 18mp2and 696 . 2 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
2019ex 412 1 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  Oncon0 6358  (class class class)co 7405   +no cnadd 8666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-nadd 8667
This theorem is referenced by:  mulsproplem4  27974  mulsproplem5  27975  mulsproplem6  27976  mulsproplem7  27977  mulsproplem8  27978
  Copyright terms: Public domain W3C validator