Theorem naddel12 8636

Description: Natural addition to both sides of ordinal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddel12	⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Proof of Theorem naddel12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2		onelon 6348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ On)
3	2	ad2ant2l 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ On)
4		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐷 ∈ On)
5		onelon 6348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
6	5	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ On)
7		naddel2 8624	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
9	1, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷))
10		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
11		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ On)
12		naddel1 8623	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
13	6, 11, 4, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
14	10, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
15		naddcl 8613	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
17		ontr1 6370	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +no 𝐷) ∈ On → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
19	9, 14, 18	mp2and 700	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
20	19	ex 412	1 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Oncon0 6323  (class class class)co 7367   +no cnadd 8601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-nadd 8602

This theorem is referenced by:  mulsproplem4  28111  mulsproplem5  28112  mulsproplem6  28113  mulsproplem7  28114  mulsproplem8  28115