Theorem naddel12 8756

Description: Natural addition to both sides of ordinal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddel12	⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Proof of Theorem naddel12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2		onelon 6420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ On)
3	2	ad2ant2l 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ On)
4		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐷 ∈ On)
5		onelon 6420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
6	5	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ On)
7		naddel2 8744	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
9	1, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷))
10		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
11		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ On)
12		naddel1 8743	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
13	6, 11, 4, 12	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
14	10, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
15		naddcl 8733	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
17		ontr1 6441	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +no 𝐷) ∈ On → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
19	9, 14, 18	mp2and 698	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
20	19	ex 412	1 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Oncon0 6395  (class class class)co 7448   +no cnadd 8721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-nadd 8722

This theorem is referenced by:  mulsproplem4  28163  mulsproplem5  28164  mulsproplem6  28165  mulsproplem7  28166  mulsproplem8  28167