Theorem naddel12 8683

Description: Natural addition to both sides of ordinal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddel12	⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Proof of Theorem naddel12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2		onelon 6385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ On)
3	2	ad2ant2l 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ On)
4		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐷 ∈ On)
5		onelon 6385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
6	5	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ On)
7		naddel2 8671	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷)))
9	1, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷))
10		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
11		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ On)
12		naddel1 8670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
13	6, 11, 4, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
14	10, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
15		naddcl 8659	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
16	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐶 +no 𝐷) ∈ On)
17		ontr1 6408	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +no 𝐷) ∈ On → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (((𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐴 +no 𝐷) ∧ (𝐴 +no 𝐷) ∈ (𝐶 +no 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))
19	9, 14, 18	mp2and 711	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷))
20	19	ex 417	1 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ (𝐶 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-nadd 8648

This theorem is referenced by:  mulsproplem4  28312  mulsproplem5  28313  mulsproplem6  28314  mulsproplem7  28315  mulsproplem8  28316